Jeudi 6 mal 2004 de Sh a 12 h
La présentation, la lisibilité, Porthographe, la qualté de la redaction, la charté et la précision des raisonnements entrerout pour une part importante dans l'apprediation des coples.
Les candidats sont invites a encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent fare usage d'atcum document. I'milisation de toute calculatrice et de tout matérid electronique est interdite. Sente lutilisation d'une règle gradure est autorisée.
Si au cours de IBpreuve, un candidat repere ce qui lui semble Brre ane urrenr denonce, il la signalora sur sa copie et poursurvra sa composition en expliquant les raisons des initatives qu’il sera amemé à prendre.
Notations
Dans tout le probleme, z designe un entier naturel superiour ou egal 2.
On note E_n = {1, 2, …, n} = [1, n] et Ω lensemble des permutations de E_n. Pour tout ensemble fint A, on note card(A) son cardinal, cest-a-dire le nombre de ses elements.
On note (n/k), on C_n^k, lo nombre {(n!)/(k!(n − k)!) si 0 ⩽ k ⩽ n; 0 sinon
Partie 1
Pour tout ω ∈ Ω, on appelle point fixe dx ω, tout écment k ∈ E_z tel que ω(k) = k.
Or, appelle dérangement toute permutation ω ∈ Ω telle que pour tout ξ ∈ E_n, w(k) ≠ k Ainsi un derangement est une permutation sans point fixe-
On note D_(n, n) = {ω ∈ Ω|∀i ∈ E_n, ω(i) ≠ i}, et pour tont k ∈ E_n
D_(n, k) = {ω ∈ Ω, tel que ω admette exactement k points fixes }
Enfin, on note d_(n, 0) = card(D_(n, 0)) et pour tout k ∈ E_n, d_(n, k) = card(D_(2, k)).
Montrar que
où w/, eat la restriction de la permutation w a /, Id reprègente la permutation identitè et wl, wy est la restriction de la permutation w an complémentaire de I
2 En deduire que pour tout k ∈ E_n, d_(n, k) = (n/k)d_(n − k, 0)
HARCHADS
Exall
Of VERBARTS MALTHEN TVBLINES.
3. a) Soit ω ∈ Ω un dérangement de E_n. Solt j ∈ {1, 2, …, n}. On définit l'application Sy sur E_(n + 1) par
σ_j(k) = {ω(k), si k ∉ {j, n + 1}; n + 1, si k = j; ω(j), si k = n + 1
Montrer que l'on défnit ainsi un dérangement de Enqi-
b) Soit Δ ∈ Ω admettant un unique polnt fixe { ∈ {1, 2, …, n}. Montrer que ω_j defini ci dessus est un dérangement de E_(a + 1).
c) Montrer que les dérangements de E_(n + 1) construits dans les questions 3.a) et 3.b) sont distincts, et que tout derangement de E_(n + 1) peut etre obtenu de cette fagon.
d) En décluire que d_(n + 1, 0) = nd_(n, 0) + d_(n, 1) = n(d_(n, 0) + d_(n − 1, 0)).
4. Pour tout n ≥ 2, on pose
u_n = d_(n, 0) − nd_(n, 0) − 1, 0
a) Déterminer u_(x + 1) en fonction de u_(x,) puis u_n en fonction de n
b) En déduite que d_(n, 0) = nd_(n, − 1, 0) + (− 1)^n.
d) On pose v_1 ≥ 0 et pour n ⩾ 2, v_n = (d_(n, 0))/(n!) Déterminer v_n en fonction de n, puis montrer que
d_(13, 0) = n!(∑_(k = 0)^n((− 1)^k)/(k!))
Partie II
Afin de lancer un nouveau produk sur le marché, le service marketing d'une entreprise propose au directeur général la campagne suivante :
mettre en vente au prix unitaire de b Euros, re exemplaires du produit.
chaque exemplaire sera numéroté de fagon apparente d'un nombre compris entre 1 et r.
a I'utérienr de chaque exemplaire du produit, et de facon cachée, se trouve un second munéro,
l'acheteur qui trouvera à lintérieur de lexemplaire un munéro identique à celui figurant al lextérieur gagnera B Euros.
On suppose que les mumeros cachés sont tous différents, compris entra I et n et sont choisis au hasard. Avant de domner son accord, le directeur général souhaite éludier le ucout a d'une telle campagne.
Afin de fommaliser la notion de choix au hasard, et pour toute la suite du probleme, on mumt ( Ω, P(Q) ) de la probabilité taniforme discrite P definie pour tout A ⊆ Ω par
P(A) = (card(A))/(card(Q))
Enfin, on note X_r la variable albatoire représentant le nombre de gagnants.
a) En utilisant les résultats de la première partie, déterminer la lot de X_m.
b) Etablir les égalités survantes
(on justifiera de maniere prédise linterversion des deux signes sommes)
2. Calenler l'espérance E(X_n) et la variance V(X, X_n ) de la variable alsatotre X_n (on pourra dabord culealer EX X_n(X_n − 1) ).
J. a) Montret que lo cout aléntoire de loperation pour l'entreprise est donné par
C_n = nb − BX_(n_2)
En deduire le cout moyen E(C_n), ansi que le risque, donné par Técart type σ(C_n).
b) Quelle sera, daprès vous, la réponse du directeur géneral?
4. Montrex que le gain aléatoire d'un acheteur ayant acquis un seul produit est domné par G_n = BY_n − B_, où Y_n est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/n. En déduíre le gain moyen ale l'acheteur.
Partie III
Montrer que la suite des variables aléatoires ( X_n ) converge en loi vers une loi de Poisson de parametre λ = 1.
Montrer que pour tout E ∈ E_n
|P(x_n = k) − (e^(− 1))/(k!)| = |1/(k!)∑_(k = n − k + 1)^∞((− 1)^i)/(1!)|
epa ;= 0.00001;
x := 2;
k := 2;
While x > eps/2 do
oogin
x ;m x*(2/x);
k t = k+1
end:
wxiteln(k)
a) On entra dans la boucle whila avec x = 2. On suppose quion est pase j ⩾ 1 fois dans cette boucta Quelle est la whleur de x a lentrica de la boucle la fois suivante?
b) Montrer que la sunte (u_n)_(n ≥ 1) définie par u_(y,) = (2^(n + 1))/((n + 1)!) est décroissante et admet une liralte que lon calculera.
c) En déduire que la boucle While ci-dessus sa termins.
d) La valeur affichée par la derniôre ligne du programme est 11. Que représente-t-elle?
Partie IV
St X est une vatiable aléatote rédle, on appelle moment factoriel d'ordre k ≥ 1, Pespéramee de la wriable alontoire X(X − 1)⋯(X − k + 1), sot.
m_k(X) = E[X(X − 1)⋯(X − k + 1)]
Montret que si k ⩾ n + 1, alors m_k(X_k) = 0.
Soit k ∈ [0, n]. Montrer que
m_k(X_n) = ∑_(j = 0)^(n − k)P(X_(n − k) = j) = 1
Soit Z une variable aléatohe suivant une loi de Poisson de parametre 1. Déterminer me ( Z ), pour tout k ∈ [0, n].
a) Montrer que la famille ( P_S )askan forme une base de K_n[X], wape vectoriel des polynômes à coefficients réds de degré inférieur ou égal à n.
b) En dedurre que X_n et Z ont les memes moments d'ordre k, pour tout k tel que 0 ⩽ k ⩽ n.
5. Montrer que pour tout k ∈ [0, n], 11 existe ( ω_(0, k), a_(1, k), …, a_(k, k) ) resks tels que
X^k = ∑_(j = 0)^k a_j, (P_j(X))/(j^′)
On soubaite desormais calculer les reels ( ω_0, …, u_1, …, …, a_k, ).
a) Determiner (P_j(y))/1, pour tout j ∈ [0, n] et :∈N_n
b) Montrer que pour i ∈ [0, k], i^k = ∑_(j ∈ 0)^k(1/j)a_(j, k)
c) Écrire la maurice 4 de ce système d'équations.
d) En se placant dans l'espace vectoriel πII_L[X] des polynomes reels de degré inférieur ou égal a E_1 ecrire Iexpression de lendomorphisme representé par AT (transposée de la matrice A) daus la base cancuique.
e) Montrer que A^T est inversible et déterminer son inverse
D. En deduire que la matrice A est inversible Déterminer A Y puis Pexpression de a, fo pour tout j ∈ [0, k].
g) Donner lexpression des moments dordre k_,(1 ⩽ k ⩽ n), de la variable aléatoire X_n.
Partie V
On suppose dans crtto partie qu'un acheteur a aqquis ξ(ξ > 1), exemphaires du produit. L'ensemble de ces exemplaires est noté L = (1, 2, 2, …, 3}).
On note Yí la variable aléatoire egale au nombre dexemplaires gagnants du produit parmi cos C exemplairss achetes.
Enfin, pour tont 1 ∈ E_m, on pose A_1 = {ω ∈ Ω|ω(t) = 1}.
Pour tour A ∈ n, on note 1 , la variable alwatoire definee par
1_d(ω) = {1, si ω ∈ A; 0, sinon
Justiner legalité
1_n^t = 1_(A_2) + 1_k A_3 + ⋯ ⋅ + 1_(A_k)
En dédurre l'asperance E(Y_n^t) de la variable aleatoire Y_n^t.
2. a) Montrer que
b) En deduire la wriance de la variable aleatoire Yi.
3. a) Montrer que le gain de l'acheteur est egal AG_n = BY_n^∗ − b.
b) Déterminer son gain moyen, ainsi que lXeart type de ce gain.
c) Du point de vue de l'acheteur, est-il intéressant d'acquérir plusieurs exemplaires du produt?
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