BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2004

Mercredi 12 Mai 2004 de 8h à 12h

La présemation, la lisibillte, Ionthographe, la qualle de la redaction, a clarté et la précisien des raixamements entreront pour une part importante dans I appriciation des copies.
les comdidas sont imntés à encadrer dans la mevure du porvible les resultats de leurs calculs.
imerchte. Senle I'mblistrion d'me regle granuée est autorixée.

Dans ce problème, on désigne par un nombre entier naturel non nul et on convient d'identifier tout vecteur de à la matrice-colonne de ses composantes dans la base canonique de , clest à dire :

La transposée d'une telle matrice est la matrice-ligne ,
Le produit scalaire canonique dun vecteur et dun vecteur de est alors égal à :

La norme cuclidienne de est définie par et on dira qu'une suite de vecteurs de converge vers un vecteur de si la suite converge vers 0 .
Pour finir, on désigne par :

FEREC.MEN
MENGL MEMANE NISSCH - NE 165
WINKI CROPERONTEISE CEDEX FEANCE

USSC

EXSEC. BESTRINS KONKOL
ASARMERTION INY INOI.
PER RAKEACENGENT EONEATION.

) Dans cette question, on note ( un vecteur non nul de composantes de .
a) Expliciter le produit matriciel . La matrice est-elle diagonalisable?
b) Exprimer ( en fonction de et de la norme de .
c) En déduire que toute valeur propre de ('C'est égale à 0 ou à ,
d) Préciser le sous-espace propre associé à 0 .

Calculer en fonction de ('et préciser le sous-espace propre associé à .
e) En déduire la nature de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice .

Montrer qu'il s'agit dune projection orthogonale lorsque le vecteur C est unitaire.
20 ) Dans cette question, on désigne par et deux vecteurs de .
a) Etablir que
b) Justifier lexistence dune base orthonormale de vecteurs de pour lesquels existent des réels tels que .
c) Exprimer les vecteurs et dans la base ainsi que leurs normes à laide des produits scalaires et oủ , puis prouver l'égalité suivante :

d) En déduire les égalités matricielles suivamtes:

Reconnaître les endomorphismes canoniquement associes aux matrices .
e) En déduire les inégalités suivantes:
f) Application : encadrer par deux nombres entiers les valeurs propres de la matrice dordre définie ci-dessous (tous les eléments sont nuls, sauf sur les trois diagonales centrales) :

Prouver que et exhiber un vecteur realisant l'égalité.
b) Etablir l'équivalence des deux propositions suivantes:
i. Pour tout vecteur , la suite tend vers 0 quand tend vers .
II. .

Dans toute cette partie, désigne l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à et sont deux réels vérifiant .
On se propose de minimiser supl ) où décrit et vérifie .
On considere la suite de fonctions definie par , et, si , par la relation de récurrence - .
a) Montrer que est une fonction-polynöme de degré et prèciser le coefficient de .
b) Prouver, pour tout réel et tout entrer naturel que .

On rappelle à cet effet la formule de trigonométrie .
c) En deduire sup et montrer que admet dans zeros distincts que Ton précisera.
) On designe par a un réel tel que |d| .
On se propose de minimiser supi|O(t)| où décrit et vérifie .
Pour cela, on désigne par la fonction .
a) On considère, s'il en existe, une fonction polynome de telle que - 1 et vérifiant :
.
Préciser pour le signe de ).
En deduire que a au moins racines réelles distinctes, et en tirer une contradiction en examinant le degré de .
b) En déduire que sup où décrit et vérifie est minimal pour et vaut .
c) Si 'est un polynôme satisfaisant à ce problème de minimisation, montrer que est aussi un polynòme satisfaisant à ce problème, et qu'on a pour .

En déduire que .
) Établir que le polynôme suivant est l'unique solution du problème de minimisation posé dans le préambule de cefte partie:

PARTIE III : Résolution itérative d'un système
On supposera de plus, dans cette partie, que les valeurs propres de sont strictement positives et on les classe comme suit : .
On étudie une méthode itérative de résolution du système de Cramer , quon définit à partir d'une suite de réels strictement positifs et d'un vecteur de :

Justifier P'existence et l'unicité de la solution du systéme.
) Dans cette question, on suppose la suite ( ) constante, egale à .
a) Montrer, pour tout nombre entier natural , que .
b) Preciser les valeurs propres de la matrice , ainsi que .

Tracer la courbe représentative de la fonction définie par .
c) En déduire que converge vers si et seulement si .

Montrer que la convergence est optimale en un sens que l'on précisera pour et montrer qualors :

a) Préciser les valeurs propres de la matrice , et montrer que vérifie l'inégalité .
b) Etablir que , puis que :

c) Lorsque l'entier est fixé, comment peut-on choisir les nombres a, ou pour minimiser le réel sup , 1? Etablir quon a alors:

Montrer que est équivalent lorsque tend vers a .
Comparer la convergence de la méthode tiérative à a constant de la question avec celle de la méthode itérative optimale développée à cette question.