BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2004Sujet et corrigé

Mercredi 12 Mai 2004 de 8h à 12h

La présemation, la lisibillte, Ionthographe, la qualle de la redaction, a clarté et la précisien des raixamements entreront pour une part importante dans I appriciation des copies.
les comdidas sont imntés à encadrer dans la mevure du porvible les resultats de leurs calculs.
imerchte. Senle I'mblistrion d'me regle granuée est autorixée.

Dans ce problème, on désigne par n un nombre entier naturel non nul et on convient d'identifier tout vecteur X de R^n à la matrice-colonne de ses composantes x_1, x_2, …, x_n dans la base canonique de R^n, clest à dire :

La transposée d'une telle matrice X est la matrice-ligne X = (x_1, x_2, …, x_n),
Le produit scalaire canonique dun vecteur X et dun vecteur Y de R^(′′) est alors égal à :

La norme cuclidienne de X est définie par ‖X‖ = √(⟨X, X⟩) et on dira qu'une suite de vecteurs (X_p) de R^n converge vers un vecteur X de R^n si la suite ‖X_p − X‖ converge vers 0 .
Pour finir, on désigne par :

FEREC.MEN
MENGL MEMANE NISSCH - NE 165
WINKI CROPERONTEISE CEDEX FEANCE

USSC

EXSEC. BESTRINS KONKOL
ASARMERTION INY INOI.
PER RAKEACENGENT EONEATION.

1^∘ ) Dans cette question, on note ( un vecteur non nul de composantes c_1, c_2…, c_n de ℝ^t.
a) Expliciter le produit matriciel C^′ C. La matrice C^′ C est-elle diagonalisable?
b) Exprimer ( C^′ C)^2 en fonction de C^′ C et de la norme de C.
c) En déduire que toute valeur propre de ('C'est égale à 0 ou à ‖(‖^3,
d) Préciser le sous-espace propre associé à 0 .

Calculer C^′(C en fonction de ('et préciser le sous-espace propre associé à ‖r‖^2.
e) En déduire la nature de l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice C^f C.

Montrer qu'il s'agit dune projection orthogonale lorsque le vecteur C est unitaire.
20 ) Dans cette question, on désigne par X et Y deux vecteurs de R^(′′).
a) Etablir que ^′ XY = ^′ YX, ^′ XAY = ∠X, AY = ∠AX, B ×, (X)^′ = ^′ X(Y^′ Y)X = ^′ Y(X^′ X)Y
b) Justifier lexistence dune base orthonormale de vecteurs U_1, U_2, …, U_n de ℝ^(2n) pour lesquels existent des réels λ_1, λ_2, …, λ_n tels que AU_1 = λ_1 U_1, AU_2 = λ_2 U_2, …, AU_n = λ_n tℓ_n.
c) Exprimer les vecteurs Y et AX dans la base (U_1, U_2, …, U_n) ainsi que leurs normes à laide des produits scalaires ⟨U_n, X⟩ et ⟨U_n, AX⟩ oủ 1 ≤ i ≤ n, puis prouver l'égalité suivante :

d) En déduire les égalités matricielles suivamtes:

Reconnaître les endomorphismes canoniquement associes aux matrices W_1^i U_2.
e) En déduire les inégalités suivantes:
f) Application : encadrer par deux nombres entiers les valeurs propres de la matrice dordre n définie ci-dessous (tous les eléments sont nuls, sauf sur les trois diagonales centrales) :

Prouver que ‖AX‖ ≤ ρ(A)‖X‖ et exhiber un vecteur realisant l'égalité.
b) Etablir l'équivalence des deux propositions suivantes:
i. Pour tout vecteur X, la suite (P^#X) tend vers 0 quand p tend vers + ∞.
II. ρ(A) < 1.

Dans toute cette partie, R_p[X] désigne l'ensemble des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à p et α, β sont deux réels vérifiant 0 < α < β.
On se propose de minimiser supl Q(t)/α ≤ i ≤ β ) où Q décrit R_p[X] et vérifie Q(0) = 1.
1^∘) On considere la suite de fonctions T_p definie par T_0(t) = 1, T_1(t) = t, et, si p ≥ 1, par la relation de récurrence T_(p + 1)(t) - 2tT_p(t) − T_(p − 1)(t).
a) Montrer que T_p est une fonction-polynöme de degré p et prèciser le coefficient de f^p.
b) Prouver, pour tout réel θ et tout entrer naturel p que T_p(cos(θ)) = cos(pθ).

On rappelle à cet effet la formule de trigonométrie cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b).
c) En deduire sup {P_p(1)/ − 1 ≤ r ≤ 1} et montrer que T_p admet dans [ − 1, 1]p zeros distincts que Ton précisera.
^(2 ∘) ) On designe par a un réel tel que |d| > 1.
On se propose de minimiser supi|O(t)| t − 1 ≤ 1 ≤ 1 où Q décrit R_2[X] et vérifie Q(a) = 1.
Pour cela, on désigne par S_p la fonction (T_p)/(T_p(a)).
a) On considère, s'il en existe, une fonction polynome P de R_p[X] telle que P(a) - 1 et vérifiant :
sup||t(a)|/ − 1 ≤ i ≤ 1| < 1/(|T_p(a)|).
Préciser pour 0 ≤ j ≤ p le signe de S_p(cos((jπ)/p)) − μcos((jπ)/p) ).
En deduire que S_1 − P a au moins P + I racines réelles distinctes, et en tirer une contradiction en examinant le degré de S_p, P.
b) En déduire que sup |Q(0)| − 1 ≤ 1 ≤ 1| où Q décrit R_p[X] et vérifie Q(a) = 1 est minimal pour S_p et vaut 1/(|f_p(α)|).
c) Si P 'est un polynôme satisfaisant à ce problème de minimisation, montrer que 1/2(P + S_p) est aussi un polynòme satisfaisant à ce problème, et qu'on a pour 0 ≤ j ≤ p.

En déduire que P = S_p.
3^∘ ) Établir que le polynôme suivant est l'unique solution du problème de minimisation posé dans le préambule de cefte partie:

PARTIE III : Résolution itérative d'un système AX = B
On supposera de plus, dans cette partie, que les valeurs propres de A sont strictement positives et on les classe comme suit : 0 < λ_1 ≤ … ≤ λ_2.
On étudie une méthode itérative de résolution du système de Cramer AX = B, quon définit à partir d'une suite de réels strictement positifs (α_p) et d'un vecteur X_0 de R^n :

Justifier P'existence et l'unicité de la solution X^∗ du systéme.
1^∘ ) Dans cette question, on suppose la suite ( α_p ) constante, egale à α > 0.
a) Montrer, pour tout nombre entier natural p, que X_p − X^∗ = (I − αA)^p(X_0 − X^∗).
b) Preciser les valeurs propres μ_1, …, μ_n de la matrice I − αA, ainsi que αI − αA) = max_(n, n)(|n|).

Tracer la courbe représentative de la fonction définie par f(α) = αl − αA).
c) En déduire que (X_p) converge vers X^∗ si et seulement si α < 2/λ_n.

Montrer que la convergence est optimale en un sens que l'on précisera pour α = 2/(λ_1 + λ_n) et montrer qualors :

a) Préciser les valeurs propres v_1, …, v_n de la matrice P_1, A, et montrer que ∂p_p(A)) = max_(1 ≤ s a)(|y|) vérifie l'inégalité ∂(p_p, A) ≤ sup|p_p(t)|λ_1 ≤ 1 ≤ λ_n}.
b) Etablir que X_p, N^∗ = P_p, (A)(X_0 X^∗), puis que :

c) Lorsque l'entier p est fixé, comment peut-on choisir les nombres a, ou 0 ≤ j ≤ p − 1 pour minimiser le réel sup |p_p(r)|λ_1 ≤ 1 ≤ λ_n, 1? Etablir quon a alors:

Montrer que | n_p((λ_1 + λ_n)/(λ_1 − λ_n)) est équivalent lorsque p tend vers + ∞ a 2^(p − 1)((λ_n + λ_1)/(λ_n − λ_1))^p.
Comparer la convergence de la méthode tiérative à a constant de la question 1^∘ avec celle de la méthode itérative optimale développée à cette question.