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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2003, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2003.

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HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé ( Ω, B, P ) et à valeurs réelles.
L'espérance d'une variable aléatoire X est notée E(X). Si A est un événement de probabilité non nulle on note P(E/A) la probabilité conditionnelle sachant A de l'événement E.
Si n est un entier naturel non nul et si x_1, …, x_n sont n réels on note min(x_1, …, x_n) ou min_(1 ⩽ i ⩽ n)x_i le plus petit d'entre eux.
On rappelle que deux variables aléatoires X et Y prenant des valeurs positives ou nulles sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple ( a, b ) de réels positifs ou nuls, on a :
P([X ⩽ a] ∩ [Y ⩽ b]) = P([X ⩽ a])P([Y ⩽ b])
On rappelle qu'une variable aléatoire X prenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentielle si et seulement si elle vérifie la propriété, dite d'absence de mémoire :
∀(x, y) ∈ ℝ_+^2 P([X > x + y]/[X > x]) = P([X > y])
L'objet du problème est l'obtention de diverses caractérisations de la loi exponentielle.

Partie I: Un résultat d'analyse

On considère une fonction réelle φ continue sur [0, 1]. On note M le maximum de la fonction |φ| sur [0, 1].
Pour tout entier naturel n non nul et tout réel v de [0, 1], on note Y_(n, v) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n et v.
  1. Soit n un entier naturel non nul, x un réel de ]0, 1[, ε un réel strictement positif vérifiant les inégalités
0 < x − ε < x < x + ε < 1
a) Comparer, pour tout réel v de [x + ε, 1], les événements [Y_(n, v) ⩽ nx] et [|Y_(n, v) − nv| ⩾ n(v − x)] et en déduire les inégalités:
P([Y_(n, v) ⩽ nx]) ⩽ (v(1 − v))/(nε^2) ⩽ 1/(4nε^2)
b) Justifier d'une façon analogue, pour tout réel v de [0, x − ε], l'inégalité :
P([Y_(n, v) > nx]) ⩽ 1/(4nε^2)
c) Établir les inégalités :
|∫_(x + ε)^1 φ(v)P([Y_(n, v) ⩽ nx])dv| ⩽ (M(1 − x))/(2nε^2) et |∫_0^(x − ε)φ(v)(1 − P([Y_(n, v) ⩽ nx]))dv| ⩽ (Mx)/(2nε^2)
d) En déduire l'inégalité :
|∫_0^x φ(v)dv − ∫_0^1 φ(v)P([Y_(n, v) ⩽ nx])dv| ⩽ (1/(4nε^2) + 2ε)M
  1. Établir que, pour tout réel x de ]0, 1[, on a, pour tout entier naturel n assez grand, l'inégalité:
|∫_0^x φ(v)dv − ∫_0^1 φ(v)P([Y_(n, v) ⩽ nx])dv| ⩽ (9M)/(43√n)
  1. On suppose maintenant que la fonction φ vérifie, pour tout entier naturel n,
∫_0^1 φ(v)v^n dv = 0
a) Justifier, pour tout polynôme P à coefficient réels, l'égalité : ∫_0^1 φ(v)P(v)dv = 0.
b) Déduire des questions précédentes que, pour tout réel x de ]0, 1[, on a l'égalité :
∫_0^x φ(v)dv = 0
c) Montrer que la fonction φ est nulle.
Ainsi, on a montré dans cette partie que si φ est une fonction continue sur [0, 1] vérifiant pour tout entier naturel n, ∫_0^1 φ(v)v^n dv = 0, alors φ est nulle.
Dans toute la suite du problème, on considère une suite (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) de variables aléatoires indépendantes, positives ou nulles, admettant toutes la même densité (nulle sur l'intervalle ] − ∞, 0[ ) dont on note f la restriction à l'intervalle [ 0, + ∞[. On suppose que la fonction f est continue et strictement positive sur [0, + ∞[.
On note F la restriction à l'intervalle [ 0, + ∞ [ de la fonction de répartition commune à toutes ces variables.
On suppose de plus que X_1 (et donc chaque variable X_i ) admet une espérance.

Partie II: Caractérisations de la loi exponentielle à l'aide du minimum d'un n-échantillon

Pour tout entier naturel n non nul, on note I_n l'application définie, pour tout ω de Ω, par I_n(ω) = min_(1 ⩽ i ⩽ n)X_i(ω) et on admet que I_n est une variable aléatoire qui admet une espérance.
  1. Déterminer à l'aide de F, pour tout entier naturel n non nul, la fonction de répartition de I_n.
  2. Dans cette question, on suppose que la loi de X_1 (qui est la loi commune à tous les X_i ) est exponentielle de paramètre λ strictement positif.
    a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, la variable nI_n a même loi que X_1.
    b) Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, l'espérance de I_n.
L'objet des questions suivantes est d'établir que chacune de ces propriétés est caractéristique de la loi exponentielle.
3) Dans cette question, on suppose que, pour tout entier naturel n non nul, nI_n a même loi que X_1.
a) Établir, pour tout entier naturel n non nul et tout réel x positif ou nul, l'égalité :
F(x) = 1 − (1 − F(x/n))^n
b) Déterminer, pour tout réel x positif ou nul, la valeur de : lim_(n → + ∞)nln(1 − F(x/n)).
c) Montrer que la loi de X_1 est exponentielle de paramètre F^′(0).
4) On revient au cas général.
a) Montrer que la fonction F réalise une bijection de [0, + ∞[ sur [0, 1[. On note F^(− 1) sa réciproque.
b) À l'aide d'un changement de variable, établir, pour tout entier naturel n non nul, l'égalité :
E(I_n) = n∫_0^1 F^(− 1)(u)(1 − u)^(n − 1) du
c) Établir, pour tout réel u de [0, 1[, les inégalités :
0 ⩽ (1 − u)F^(− 1)(u) ⩽ ∫_u^1 F^(− 1)(t)dt
En déduire que la fonction G définie sur [0, 1] par G(u) = (1 − u)F^(− 1)(u) si u est élément de [0, 1[ et par G(1) = 0 est continue.
Établir, pour tout entier n au moins égal à 2 , les égalités :
E(I_n) = n∫_0^1 G(u)(1 − u)^(n − 2) du et E(I_n) = n∫_0^1 G(1 − v)v^(n − 2) dv
d) On suppose maintenant qu'il existe un réel λ strictement positif tel que, pour tout entier naturel n non nul, l'espérance de I_n est égale à 1/(nλ).
On note F_λ la restriction à [0, + ∞[ de la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ et G_λ la fonction définie sur [ 0,1 ] par G_λ(u) = (1 − u)F_λ^(− 1)(u) si u est élément de [0, 1[ et par G_λ(1) = 0.
i. Quelle est, pour n entier naturel au moins égal à 2 , la valeur de : n∫_0^1 G_λ(1 − v)v^(n − 2) dv ?
ii. À l'aide du résultat de la partie I, montrer que G et G_λ sont égales.
iii. En déduire que la loi de X_1 est exponentielle de paramètre λ.

Partie III: Caractérisation de la loi exponentielle à l'aide des deux premiers records

On pose R_1 = X_1. On note R_2 l'application définie, pour tout élément ω de Ω, par :
R_2(ω) = {X_n(ω), si n est le plus petit des entiers k tels que X_k(ω) > X_1(ω); X_1(ω), si un tel entier n'existe pas.
On admet que R_2 est une variable aléatoire.

A. Préliminaire

  1. Exprimer l'événement [R_2 = R_1] à l'aide de la suite d'événements ([X_k ⩽ X_1])_(k ∈ ℕ^∗).
  2. Établir, pour tout réel t positif ou nul et pour tout entier naturel n non nul, l'inégalité :
P(⋂_(k = 2)^(n + 1)[X_k ⩽ X_1]) ⩽ (F(t))^(n + 1) + 1 − F(t)
  1. Soit ε un réel strictement positif. En choisissant un réel t de façon convenable et à l'aide de l'inégalité précédente, montrer que, pour tout entier n assez grand, on a :
P(⋂_(k = 2)^(n + 1)[X_k ⩽ X_1]) ⩽ 2ε
Comment énoncer le résultat obtenu ?
4) En déduire que, presque sûrement, R_2 > R_1.

B. La caractérisation

Pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls on pose : φ(x, y) = P([R_1 ⩽ x] ∩ [R_2 − R_1 > y]).
  1. Soit (x, y) un couple de réels positifs ou nuls et h un réel strictement positif.
    a) Justifier l'égalité :
φ(x + h, y) − φ(x, y) = ∑_(j = 1)^(+ ∞)P([x < X_1 ⩽ x + h] ∩ (⋂_(i = 2)^j[X_i ⩽ X_1]) ∩ [X_(j + 1) > y + X_1])
b) En déduire les inégalités :
(F(x + h) − F(x))/(1 − F(x))(1 − F(x + y + h)) ⩽ φ(x + h, y) − φ(x, y) ⩽ (F(x + h) − F(x))/(1 − F(x + h))(1 − F(x + y))
  1. Calculer, pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls, la limite de (φ(x + h, y) − φ(x, y))/h quand h tend vers 0 par valeurs supérieures et, en admettant que le résultat tient encore pour la limite quand h tend vers 0 par valeurs inférieures, en déduire l'égalité :
(∂φ)/(∂x)(x, y) = (f(x))/(1 − F(x))(1 − F(x + y))
  1. Dans cette question on suppose que la loi de X_1 est exponentielle de paramètre λ strictement positif.
    a) Établir, pour tout couple (x, y) de réels positifs ou nuls, l'égalité : φ(x, y) = (1 − e^(− λx))e^(− λy).
    b) En déduire la loi de R_2 − R_1 puis l'indépendance des variables R_1 et R_2 − R_1.
  2. Réciproquement, dans cette question, on suppose que les variables R_1 et R_2 − R_1 sont indépendantes et on note G la fonction de répartition de R_2 − R_1.
    a) Établir, pour tout couple ( x, y ) de réels positifs ou nuls, l'égalité : (1 − F(x + y))/(1 − F(x)) = 1 − G(y).
    b) En déduire que les fonctions G et F sont égales puis, à l'aide de la propriété d'absence de mémoire, montrer que la loi de X_1 est exponentielle.

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