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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2003

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Probabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesStatistiquesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2003
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2003ECS MathématiquesMathématiques 2003

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2003.

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f56e574b-d30c-4cc6-9198-65a4f2c969b1

HEC, ESCP-EAP, EM Lyon 2003, Math 2, option scientifique.

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé ( ) et à valeurs réelles.
L'espérance d'une variable aléatoire est notée . Si est un événement de probabilité non nulle on note la probabilité conditionnelle sachant de l'événement .
Si est un entier naturel non nul et si sont réels on note ou le plus petit d'entre eux.
On rappelle que deux variables aléatoires et prenant des valeurs positives ou nulles sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple ( ) de réels positifs ou nuls, on a :
On rappelle qu'une variable aléatoire prenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentielle si et seulement si elle vérifie la propriété, dite d'absence de mémoire :
L'objet du problème est l'obtention de diverses caractérisations de la loi exponentielle.

Partie I: Un résultat d'analyse

On considère une fonction réelle continue sur . On note le maximum de la fonction sur .
Pour tout entier naturel non nul et tout réel de , on note une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres et .
  1. Soit un entier naturel non nul, un réel de un réel strictement positif vérifiant les inégalités
a) Comparer, pour tout réel de , les événements et et en déduire les inégalités:
b) Justifier d'une façon analogue, pour tout réel de , l'inégalité :
c) Établir les inégalités :
d) En déduire l'inégalité :
  1. Établir que, pour tout réel de , on a, pour tout entier naturel assez grand, l'inégalité:
  1. On suppose maintenant que la fonction vérifie, pour tout entier naturel ,
a) Justifier, pour tout polynôme à coefficient réels, l'égalité : .
b) Déduire des questions précédentes que, pour tout réel de , on a l'égalité :
c) Montrer que la fonction est nulle.
Ainsi, on a montré dans cette partie que si est une fonction continue sur vérifiant pour tout entier naturel , alors est nulle.
Dans toute la suite du problème, on considère une suite de variables aléatoires indépendantes, positives ou nulles, admettant toutes la même densité (nulle sur l'intervalle ) dont on note la restriction à l'intervalle [ . On suppose que la fonction est continue et strictement positive sur .
On note la restriction à l'intervalle [ [ de la fonction de répartition commune à toutes ces variables.
On suppose de plus que (et donc chaque variable ) admet une espérance.

Partie II: Caractérisations de la loi exponentielle à l'aide du minimum d'un -échantillon

Pour tout entier naturel non nul, on note l'application définie, pour tout de , par et on admet que est une variable aléatoire qui admet une espérance.
  1. Déterminer à l'aide de , pour tout entier naturel non nul, la fonction de répartition de .
  2. Dans cette question, on suppose que la loi de (qui est la loi commune à tous les ) est exponentielle de paramètre strictement positif.
    a) Montrer que pour tout entier naturel non nul, la variable a même loi que .
    b) Déterminer, pour tout entier naturel non nul, l'espérance de .
L'objet des questions suivantes est d'établir que chacune de ces propriétés est caractéristique de la loi exponentielle.
3) Dans cette question, on suppose que, pour tout entier naturel non nul, a même loi que .
a) Établir, pour tout entier naturel non nul et tout réel positif ou nul, l'égalité :
b) Déterminer, pour tout réel positif ou nul, la valeur de : .
c) Montrer que la loi de est exponentielle de paramètre .
4) On revient au cas général.
a) Montrer que la fonction réalise une bijection de sur . On note sa réciproque.
b) À l'aide d'un changement de variable, établir, pour tout entier naturel non nul, l'égalité :
c) Établir, pour tout réel de , les inégalités :
En déduire que la fonction définie sur par si est élément de et par est continue.
Établir, pour tout entier au moins égal à 2 , les égalités :
d) On suppose maintenant qu'il existe un réel strictement positif tel que, pour tout entier naturel non nul, l'espérance de est égale à .
On note la restriction à de la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre et la fonction définie sur [ 0,1 ] par si est élément de et par .
i. Quelle est, pour entier naturel au moins égal à 2 , la valeur de : ?
ii. À l'aide du résultat de la partie I, montrer que et sont égales.
iii. En déduire que la loi de est exponentielle de paramètre .

Partie III: Caractérisation de la loi exponentielle à l'aide des deux premiers records

On pose . On note l'application définie, pour tout élément de , par :
On admet que est une variable aléatoire.

A. Préliminaire

  1. Exprimer l'événement à l'aide de la suite d'événements .
  2. Établir, pour tout réel positif ou nul et pour tout entier naturel non nul, l'inégalité :
  1. Soit un réel strictement positif. En choisissant un réel de façon convenable et à l'aide de l'inégalité précédente, montrer que, pour tout entier assez grand, on a :
Comment énoncer le résultat obtenu ?
4) En déduire que, presque sûrement, .

B. La caractérisation

Pour tout couple de réels positifs ou nuls on pose : .
  1. Soit un couple de réels positifs ou nuls et un réel strictement positif.
    a) Justifier l'égalité :
b) En déduire les inégalités :
  1. Calculer, pour tout couple de réels positifs ou nuls, la limite de quand tend vers 0 par valeurs supérieures et, en admettant que le résultat tient encore pour la limite quand tend vers 0 par valeurs inférieures, en déduire l'égalité :
  1. Dans cette question on suppose que la loi de est exponentielle de paramètre strictement positif.
    a) Établir, pour tout couple de réels positifs ou nuls, l'égalité : .
    b) En déduire la loi de puis l'indépendance des variables et .
  2. Réciproquement, dans cette question, on suppose que les variables et sont indépendantes et on note la fonction de répartition de .
    a) Établir, pour tout couple ( ) de réels positifs ou nuls, l'égalité : .
    b) En déduire que les fonctions et sont égales puis, à l'aide de la propriété d'absence de mémoire, montrer que la loi de est exponentielle.

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