BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2014, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2014

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2014.

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Conceptions : HEC Paris - ESCP Europe

MATHEMATIQUES II

OPTION SCIENTIFIQUE

Mercredi 7 mai 2014, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème,

k

désigne un entier supérieur ou égal à 2 .

Notations algébriques

Pour tout $n \in ℕ^*$ , on note $M_(n, 1)(ℝ)$ l'ensemble des matrices-colonnes à $n$ lignes à coefficients réels et $M_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices carrées à $n$ lignes et $n$ colonnes à coefficients réels. On identifie les ensembles $M_1(ℝ)$ et $ℝ$ en assimilant une matrice de $M_1(ℝ)$ à son unique coefficient.
La base canonique de $M_(k, 1)(ℝ)$ est notée $C_k = (e_1, e_2, \dots, e_k)$ et l'espace vectoriel $M_(k, 1)(ℝ)$ est muni de sa structure euclidienne usuelle pour laquelle la base $C_k$ est orthonormale. On note $⟨u, v⟩$ le produit scalaire de deux vecteurs $u$ et $v$ de $M_(k, 1)(ℝ)$ et $‖u‖ = \sqrt(⟨u, u⟩)$ la norme du vecteur $u$ .
Pour toute matrice-colonne $d$ de $M_(n, 1)(ℝ)$ de composantes $d_1, d_2, \dots, d_n$ , on note Diag( $d$ ) la matrice diagonale de $M_n(ℝ)$ définie par :

Diag(d) = (d_1, 0, \dots, 0; 0, d_2, \dots, 0; ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; 0, 0, \dots, d_n).

La transposée d'une matrice $M$ est notée $^t M$ et $I_k$ désigne la matrice identité de $M_k(ℝ)$ .

Notations probabilistes

Toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définis sur un même espace probabilisé ( $Ω, A, P$ ).
On dit qu'un vecteur aléatoire discret $(Y_1, Y_2, \dots, Y_k)$ , à valeurs dans $ℝ^k$ , admet une espérance lorsque chacune de ses composantes en admet une.
On note $Y$ la matrice-colonne de $M_(k, 1)(ℝ)$ de composantes $Y_1, Y_2, \dots, Y_k$ et $E(Y)$ la matrice-colonne de $M_(k, 1)(ℝ)$ dont les composantes sont les espérances $E(Y_1), E(Y_2), \dots, E(Y_k)$ .

Lorsque chacune des composantes

Y_i(i \in [ [1, k] ])

admet une variance, on appelle matrice de variance-covariance de

Y

, notée

V(Y)

, la matrice symétrique de

M_k(ℝ)

dont les coefficients diagonaux sont les variances

V(Y_i)

et les coefficients non diagonaux les covariances

Cov(Y_i, Y_j)

pour tout

(i, j) \in [ [1, k] ]^2

avec

i \neq j

.
En résumé, on pose sous réserve d'existence :

E(Y) = (E(Y_1); E(Y_2); ⋮; E(Y_k)) et V(Y) = (V(Y_1), Cov(Y_1, Y_2), \dots, Cov(Y_1, Y_k); Cov(Y_2, Y_1), V(Y_2), \dots, Cov(Y_2, Y_k); ⋮, ⋮, ⋱, ⋮; Cov(Y_k, Y_1), Cov(Y_k, Y_2), \dots, V(Y_k))

Dans tout le problème, on note $p = (p_1; p_2; ⋮; p_k)$ une matrice-colonne de $M_(k, 1)(ℝ)$ vérifiant $\sum_(i = 1)^k p_i = 1$ et pour tout $i \in [ [1, k] ], p_i ⩾ 0$ .
L'objet du problème est l'étude des propriétés des matrices de variance-covariance en liaison avec la loi des vecteurs aléatoires correspondants.

Partie I. Lois généralisées de Bernoulli

Dans cette partie, on note

u

la matrice-colonne de

M_(k, 1)(ℝ)

dont tous les coefficients valent 1 .

Soit $a = (a_1; a_2; ⋮; a_k)$ une matrice-colonne non nulle de $M_(k, 1)(ℝ)$ et $α = \sum_(i = 1)^k a_i$ . On pose : $M = a^i u$ .
a) Calculer la matrice $M$ et préciser son rang.
b) Calculer la matrice $Ma$ et en déduire une valeur propre de $M$ .
c) Montrer que $M^2 = αM$ . Que peut-on en déduire sur les valeurs propres de $M$ ?
d) Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $α \neq 0$ .
e) Pour quelles valeurs de $α$ la matrice $I_k - M$ est-elle inversible?
f) On suppose que $α = 1$ . Montrer que $M$ est la matrice dans la base canonique de $ℝ^k$ d'un projecteur dont on précisera l'image et le noyau. Dans quel cas ce projecteur est-il orthogonal ?
On dit qu'un vecteur aléatoire $(X_1, X_2, \dots, X_k)$ suit la loi généralisée de Bernoulli de paramètre $p$ , notée $B_k(p)$ . si on a :

\foralli \in [ [1, k] ], P([X = e_i]) = p_i, avec X = (X_1; X_2; ⋮; X_k).

Soit $(X_1, X_2, \dots, X_k)$ un vecteur aléatoire suivant la loi $B_k(p)$ .
a) Pour $i \in [ [1, k] ]$ , comparer les événements $[X = e_i]$ et $[X_i = 1]$ ; en déduire que chaque variable aléatoire $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p_i$ et écrire la matrice $E(X)$ .
b) Quelle est la loi de la variable aléatoire $X_1 + X_2$ ?
c) Montrer que $Cov(X_1, X_2) = - p_1 p_2$ .
d) Écrire la matrice $V(X)$ .
Soit $M(p)$ la matrice de $M_k(ℝ)$ définie par : $M(p) = p^t u$ .
a) Vérifier l'égalité : $V(X) = (I_k - M(p))Diag(p)$ .
b) Montrer que si $p_1, p_2, \dots, p_k$ sont différents de 0 , le rang de $V(X)$ est égal à $k - 1$ .
c) Soit $σ$ une permutation de $[ [1, k] ]$ et $p_σ$ la matrice-colonne de $M_(k, 1)(ℝ)$ de composantes $p_(σ(1)), p_(σ(2)), \dots, p_(σ(k))$ . Montrer que $V(X)$ est semblable à $(I_k - p_σ^t u)Diag(p_σ)$ .
d) Exprimer le rang de $V(X)$ en fonction du nombre d'éléments $i$ de $[ [1, k] ]$ pour lesquels on a $p_i \neq 0$ .

Partie II. Tirages avec remise dans une population stratifiée

Dans cette partie, on suppose que pour tout

i \in [ [1, k] ]

, on a

p_i > 0

et que

p_1, p_2, \dots, p_k

sont les proportions d'individus appartenant aux diverses catégories d'une population statistique scindée en

k

catégories distinctes. Pour modéliser une suite illimitée de tirages équiprobables avec remise effectués dans cette population, on utilise des variables aléatoires

X_i^((n))

définies par:

èàèé∀n ∈ ℕ^∗, ∀i ∈ [ [1, k] ], X_i^((n)) = {1, si l'individu extrait au n-ième tirage appartient à la i-ème catégorie; 0, sinon.

On suppose que les vecteurs aléatoires

(X_1^((n)), X_2^((n)), \dots, X_k^((n)))(n \in ℕ^*)

suivent chacun la loi

B_k(p)

(partie I) et sont mutuellement indépendants. Cette indépendance mutuelle signifie que pour tout entier

n ⩾ 2

et pour toutes fonctions

φ_1, φ_2, \dots, φ_n

définies sur

ℝ^k

à valeurs réelles, les variables aléatoires

φ_1(X_1^((1)), X_2^((1)), \dots, X_k^((1)))

φ_2(X_1^((2)), X_2^((2)), \dots, X_k^((2))), \dots, φ_n(X_1^((n)), X_2^((n)), \dots, X_k^((n)))

sont indépendantes.
Pour tout

n \in ℕ^*

, on note

X^((n))

la matrice-colonne de

M_(k, 1)(ℝ)

de composantes

X_1^((n)), X_2^((n)), \dots, X_k^((n))

S^((n))

la matrice-colonne de

M_(k, 1)(ℝ)

de composantes

S_1^((n)), S_2^((n)), \dots, S_k^((n))

, où pour tout

i \in [ [1, k] ]

, on a

S_1^((n)) = \sum_(j = 1)^n X_i^((j))

.
4.a) Préciser l'ensemble

N_n

des matrices-colonnes

s

M_(k, 1)(ℝ)

pour lesquelles on a

P([S^((n)) = s]) > 0

.
b) Déterminer les lois respectives des deux variables aléatoires

S_1^((n))

S_1^((n)) + S_2^((n))

. Sont-elles indépendantes?
c) Montrer que

V(S^((n))) = nV(X^((1)))

.
5. Soit

H

un élément de

A

vérifiant

0 < P(H) < 1, H¯

l'événement contraire de

H

W

une variable aléatoire discrète admettant une variance.
a) Justifier l'existence de

E(W^2|H)

, espérance de

W^2

pour la probabilité conditionnelle

P_H

.
b) On pose :

V(W|H) = E(W^2|H) - (E(W|H))^2

(variance de

W

pour la probabilité conditionnelle

P_H

). En utilisant le système complet d'événements

(H, H¯)

et la formule de l'espérance totale pour

W

W^2

, établir l'inégalité :

V(W) ⩾ P(H)V(W|H)

.
6. Pour tout

i \in [ [1, k] ]

, on note

T_i

le temps d'attente du premier tirage d'un individu de la

i

-ème catégorie et on note

T

la matrice-colonne de

M_(k, 1)(ℝ)

de composantes

T_1, T_2, \dots, T_k

.
a) Soit

i \in [ [1, k] ]

. Justifier que la probabilité que

T_i

soit infini est nulle. Quelle est la loi de

T_i

?
b) On pose :

H_k = ⋂_(i = 1)^(k - 1)[T_i = i]

. Calculer

P(H_k)

. Préciser la loi conditionnelle de

T_k - (k - 1)

sachant

H_k

. En déduire

E(T_k|H_k)

V(T_k|H_k)

.
c) En exploitant le résultat de la question 5.b), établir pour tout vecteur

v = (v_1, v_2, \dots, v_k)

ℝ^k

, l'inégalité:

V(\sum_(i = 1)^k v_i T_i) ⩾ (v_k^2(1 - p_k))/(p_k^2) \times \prod_(i = 1)^(k - 1)p_i

d) Montrer plus généralement que pour tout

j \in [ [1, k] ]

, on a :

V(\sum_(i = 1)^k v_i T_i) ⩾ (v_j^2(1 - p_j))/(p_j^2) \times \prod_(i \in [1, k]; i \neq j)p_i

Partie III. Support et rang stochastiques d'un vecteur aléatoire

Dans toute cette partie,

(Y_1, Y_2, \dots, Y_k)

désigne un vecteur aléatoire discret, à valeurs dans

ℝ^k

, dont chaque composante admet une espérance et une variance. On rappelle que

Y

est la matrice-colonne de

M_(k, 1)(ℝ)

de composantes

Y_1, Y_2, \dots, Y_k

.
7. On appelle support vectoriel de

Y

, tout sous-espace vectoriel

F

M_(k, 1)(ℝ)

tel que

P([Y - E(Y) \in F]) = 1

. On note

S(Y)

l'ensemble des supports vectoriels de

Y

.
a) Justifier l'existence d'un plus petit élément de l'ensemble des dimensions des éléments de

S(Y)

. Ce plus petit élément est appelé le rang stochastique de

Y

et noté

R_s(Y)

.
b) Dans quels cas le rang stochastique

R_s(Y)

est-il nul?
c) Montrer que l'intersection de deux supports vectoriels

F_1

F_2

Y

est un support vectoriel de

Y

.
d) En déduire l'existence d'un unique élément

F

S(Y)

tel que la dimension de

F

soit égale à

R_s(Y)

. L'espace vectoriel

F

est appelé le support stochastique de

Y

.
8. Soit

u

une matrice-colonne de

M_(k, 1)(ℝ)

de composantes

u_1, u_2, \dots, u_k

.
a) Montrer que la variable aléatoire

\sum_(i = 1)^k u_i Y_i

admet une variance, égale à

tV(Y)u

.
b) Établir l'existence d'un unique vecteur (

λ_1, λ_2, \dots, λ_k

) de

ℝ^k

tel que

V(Y)

soit semblable à la matrice

Diag(λ)

et pour lequel

λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ \dots ⩾ λ_k ⩾ 0

(on note

Diag(λ)

la matrice diagonale de

M_k(ℝ)

de coefficients diagonaux

λ_1, λ_2, \dots, λ_k

).
c) On pose:

‖Y - E(Y)‖^2 = \sum_(i = 1)^k(Y_i - E(Y_i))^2

. Montrer que

E(‖Y - E(Y)‖^2) = \sum_(i = 1)^k λ_i

.
9. Soit

q \in [ [1, k] ], F

un sous-espace vectoriel de

M_(k, 1)(ℝ)

de dimension

q

(f^((1)), f^((2)), \dots, f^((q)))

une base orthonormale de

F

.
a) Soit

ω \in Ω

. Justifier l'existence de

Q_F(ω) = Inf{‖Y(ω) − E(Y) − x‖^2; x ∈ F}

et montrer que:

‖Y(ω) - E(Y)‖^2 = Q_F(ω) + \sum_(j = 1)^q⟨Y(ω) - E(Y), f^((j))⟩^2

b) À l'aide de la question 8 , établir l'égalité :

E(Q_F) = \sum_(i = 1)^k λ_i - \sum_(j = 1)^q^t f^((j))V(Y)f^((j))

.
c) Que devient l'égalité précédente lorsque

F = M_(k, 1)(ℝ)

?
10.a) Montrer que pour toute matrice-colonne

f

M_(k, 1)(ℝ)

vérifiant

‖f‖ = 1

, on a :

^t fV(Y)f ⩽ λ_1

.
b) En déduire la borne inférieure de

E(Q_F)

lorsque

F

décrit l'ensemble des droites vectorielles de

M_(k, 1)(ℝ)

.
c) Dans cette question, on suppose que

(Y_1, Y_2, \dots, Y_k)

suit la loi

B_k(p)

, où pour tout

i \in [ [1, k] ]

, on a

p_i = 1/k

Calculer les valeurs propres de

V(Y)

et la borne inférieure de

E(Q_F)

pour l'ensemble des droites vectorielles

F

M_(k, 1)(ℝ)

, puis préciser pour quelle(s) droite(s) cette borne est atteinte.
11. On suppose que le rang

r

V(Y)

est non nul. On note

F_0

la somme des sous-espaces propres associés aux valeurs propres non nulles de

V(Y)

F

un sous-espace vectoriel de

M_(k, 1)(ℝ)

tel que

F \subset F_0

F \neq F_0

.
a) Calculer

E(Q_(F_0))

et en déduire que

F_0

est un support vectoriel de

Y

.
b) Justifier l'existence d'un vecteur

f^((r))

F_0

, orthogonal à

F

et de norme 1 .
c) Montrer que

f^((r))V(Y)f^((r)) > 0

et en déduire que

E(Q_F) \neq 0

.
d) Montrer que le rang stochastique

R_s(Y)

Y

est égal à

r

.
12. Dans cette question, on reprend les définitions et notations de la question 6.
a) À l'aide de la question 6.d), montrer que le rang stochastique

R_s(T)

T

est égal à

k

.
b) Montrer que pour tout

i \in ℕ^*

, on a :

E(T_1 T_2|[T_1 = i] \cap [T_2 > i]) = i(i + 1/(p_2))

.
c) Établir la relation :

E(T_1 T_2) = 1/(p_1 p_2) - 1/(p_1 + p_2)

.
d) On note

Π = (π_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ k)

la matrice de

M_k(ℝ)

définie par ;

π_(i, j) = {(1 − p_i)/(p_i^2), si i = j; − 1/(p_i + p_j), si i ≠ j

Montrer que la matrice

Π

est inversible.

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