La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème,

désigne un entier supérieur ou égal à 2 .

Notations algébriques

Pour tout , on note l'ensemble des matrices-colonnes à lignes à coefficients réels et l'ensemble des matrices carrées à lignes et colonnes à coefficients réels. On identifie les ensembles et en assimilant une matrice de à son unique coefficient.
La base canonique de est notée et l'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne usuelle pour laquelle la base est orthonormale. On note le produit scalaire de deux vecteurs et de et la norme du vecteur .
Pour toute matrice-colonne de de composantes , on note Diag( ) la matrice diagonale de définie par :

La transposée d'une matrice est notée et désigne la matrice identité de .

Notations probabilistes

Toutes les variables aléatoires et tous les vecteurs aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définis sur un même espace probabilisé ( ).
On dit qu'un vecteur aléatoire discret , à valeurs dans , admet une espérance lorsque chacune de ses composantes en admet une.
On note la matrice-colonne de de composantes et la matrice-colonne de dont les composantes sont les espérances .

Lorsque chacune des composantes

admet une variance, on appelle matrice de variance-covariance de

, notée

, la matrice symétrique de

dont les coefficients diagonaux sont les variances

et les coefficients non diagonaux les covariances

pour tout

avec

.
En résumé, on pose sous réserve d'existence :

Dans tout le problème, on note une matrice-colonne de vérifiant et pour tout .
L'objet du problème est l'étude des propriétés des matrices de variance-covariance en liaison avec la loi des vecteurs aléatoires correspondants.

Partie I. Lois généralisées de Bernoulli

Dans cette partie, on note

la matrice-colonne de

dont tous les coefficients valent 1 .

Soit une matrice-colonne non nulle de et . On pose : .
a) Calculer la matrice et préciser son rang.
b) Calculer la matrice et en déduire une valeur propre de .
c) Montrer que . Que peut-on en déduire sur les valeurs propres de ?
d) Montrer que est diagonalisable si et seulement si .
e) Pour quelles valeurs de la matrice est-elle inversible?
f) On suppose que . Montrer que est la matrice dans la base canonique de d'un projecteur dont on précisera l'image et le noyau. Dans quel cas ce projecteur est-il orthogonal ?
On dit qu'un vecteur aléatoire suit la loi généralisée de Bernoulli de paramètre , notée . si on a :

Soit un vecteur aléatoire suivant la loi .
a) Pour , comparer les événements et ; en déduire que chaque variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre et écrire la matrice .
b) Quelle est la loi de la variable aléatoire ?
c) Montrer que .
d) Écrire la matrice .
Soit la matrice de définie par : .
a) Vérifier l'égalité : .
b) Montrer que si sont différents de 0 , le rang de est égal à .
c) Soit une permutation de et la matrice-colonne de de composantes . Montrer que est semblable à .
d) Exprimer le rang de en fonction du nombre d'éléments de pour lesquels on a .

Partie II. Tirages avec remise dans une population stratifiée

Dans cette partie, on suppose que pour tout

, on a

et que

sont les proportions d'individus appartenant aux diverses catégories d'une population statistique scindée en

catégories distinctes. Pour modéliser une suite illimitée de tirages équiprobables avec remise effectués dans cette population, on utilise des variables aléatoires

définies par:

è à è é

On suppose que les vecteurs aléatoires

suivent chacun la loi

(partie I) et sont mutuellement indépendants. Cette indépendance mutuelle signifie que pour tout entier

et pour toutes fonctions

définies sur

à valeurs réelles, les variables aléatoires

sont indépendantes.
Pour tout

, on note

la matrice-colonne de

de composantes

la matrice-colonne de

de composantes

, où pour tout

, on a

.
4.a) Préciser l'ensemble

des matrices-colonnes

pour lesquelles on a

.
b) Déterminer les lois respectives des deux variables aléatoires

. Sont-elles indépendantes?
c) Montrer que

.
5. Soit

un élément de

vérifiant

l'événement contraire de

une variable aléatoire discrète admettant une variance.
a) Justifier l'existence de

, espérance de

pour la probabilité conditionnelle

.
b) On pose :

(variance de

pour la probabilité conditionnelle

). En utilisant le système complet d'événements

et la formule de l'espérance totale pour

, établir l'inégalité :

.
6. Pour tout

, on note

le temps d'attente du premier tirage d'un individu de la

-ème catégorie et on note

la matrice-colonne de

de composantes

.
a) Soit

. Justifier que la probabilité que

soit infini est nulle. Quelle est la loi de

?
b) On pose :

. Calculer

. Préciser la loi conditionnelle de

sachant

. En déduire

.
c) En exploitant le résultat de la question 5.b), établir pour tout vecteur

, l'inégalité:

d) Montrer plus généralement que pour tout

, on a :

Partie III. Support et rang stochastiques d'un vecteur aléatoire

Dans toute cette partie,

désigne un vecteur aléatoire discret, à valeurs dans

, dont chaque composante admet une espérance et une variance. On rappelle que

est la matrice-colonne de

de composantes

.
7. On appelle support vectoriel de

, tout sous-espace vectoriel

tel que

. On note

l'ensemble des supports vectoriels de

.
a) Justifier l'existence d'un plus petit élément de l'ensemble des dimensions des éléments de

. Ce plus petit élément est appelé le rang stochastique de

et noté

.
b) Dans quels cas le rang stochastique

est-il nul?
c) Montrer que l'intersection de deux supports vectoriels

est un support vectoriel de

.
d) En déduire l'existence d'un unique élément

tel que la dimension de

soit égale à

. L'espace vectoriel

est appelé le support stochastique de

.
8. Soit

une matrice-colonne de

de composantes

.
a) Montrer que la variable aléatoire

admet une variance, égale à

.
b) Établir l'existence d'un unique vecteur (

) de

tel que

soit semblable à la matrice

et pour lequel

(on note

la matrice diagonale de

de coefficients diagonaux

).
c) On pose:

. Montrer que

.
9. Soit

un sous-espace vectoriel de

de dimension

une base orthonormale de

.
a) Soit

. Justifier l'existence de

et montrer que:

b) À l'aide de la question 8 , établir l'égalité :

.
c) Que devient l'égalité précédente lorsque

?
10.a) Montrer que pour toute matrice-colonne

vérifiant

, on a :

.
b) En déduire la borne inférieure de

lorsque

décrit l'ensemble des droites vectorielles de

.
c) Dans cette question, on suppose que

suit la loi

, où pour tout

, on a

Calculer les valeurs propres de

et la borne inférieure de

pour l'ensemble des droites vectorielles

, puis préciser pour quelle(s) droite(s) cette borne est atteinte.
11. On suppose que le rang

est non nul. On note

la somme des sous-espaces propres associés aux valeurs propres non nulles de

un sous-espace vectoriel de

tel que

.
a) Calculer

et en déduire que

est un support vectoriel de

.
b) Justifier l'existence d'un vecteur

, orthogonal à

et de norme 1 .
c) Montrer que

et en déduire que

.
d) Montrer que le rang stochastique

est égal à

.
12. Dans cette question, on reprend les définitions et notations de la question 6.
a) À l'aide de la question 6.d), montrer que le rang stochastique

est égal à

.
b) Montrer que pour tout

, on a :

.
c) Établir la relation :

.
d) On note

la matrice de

définie par ;

Montrer que la matrice

est inversible.

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\title{Conceptions : HEC Paris - ESCP Europe }

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