La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème:

toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( );
on note un paramètre réel.

Partic I. Une démonstration probabiliste de la formule de Stirling

Pour tout

, soit

la fonction définie par :

.
Pour tout

, on pose :

.
1.a) À l'aide du changement de variable

, montrer que :

.
b) Montrer que pour tout

, on a :

.
c) En se référant à une densité de la loi normale centrée réduite, en déduire que :

.
2. On note

la restriction à l'intervalle ] 0,1 [ de la fonction

On pose pour tout

.
a) Montrer que

est prolongeable par continuité en 0 . On note encore

la fonction ainsi prolongée.
b) Montrer que la fonction

est convexe et strictement positive sur

.
c) En déduire que la fonction

réalise une bijection strictement croissante de

.
3. Soit

une suite convergente de limite nulle telle que :

.
a) Donner un exemple d'une telle suite

.
b) Soit

la suite définie par :

. Montrer que la suite

est convergente et préciser sa limite.
c) Établir pour tout

, l'encadrement :

.
d) Déduire des questions 1.c) et 3.c), un équivalent de

lorsque

tend vers

.
4. Soit

une suite de variables aléatoires définies sur (

), mutuellement indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout

, on pose :

.
a) Rappeler la loi suivie par la variable aléatoire

et montrer que

.
b) Pour tout

, on pose :

. Montrer que la suite

converge en probabilité vers la constante 0 .
c) En déduire que

.
5. Montrer que

(formule de Stirling),

Partie II. Quelques propriétés de la loi de Cauchy

On rappelle que la fonction Arctan est la fonction réciproque de la restriction à l'intervalle ouvert de la fonction tan, qu'elle est de classe sur admettant pour dérivée la fonction pour tout et qu'elle réalise une bijection de sur .
a) Montrer que la fonction Arctan est impaire.
b) Justifier l'existence d'un développement limité à l'ordre 3 de la fonction Arctan en 0 et le déterminer.
c) Établir pour tout , l'encadrement : .
d) Montrer que pour tout , on a : .
7.a) Montrer que la fonction est une densité de probabilité sur .

Dans toute la suite du problème, on note

une variable aléatoire à valeurs réelles, de densité

telle que :

On dit que

suit une loi de Cauchy de paramètre

et on note :

.
b) La variable aléatoire

admet-elle une espérance?
c) Pour

, tracer la courbe représentative de

dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
8.a) On note

la fonction de répartition de

. Pour tout

, calculer

.
b) Montrer que l'équation

d'inconnue

, admet une unique solution que l'on déterminera.

Cette solution est la médiane théorique de

Partie III. La loi de la moyenne empirique

Pour tout et pour tout , soit la fonction définie sur par :

On admet l'existence d'un unique quadruplet

de réels indépendants de

pour lesquels on a :

Pour tout

et pour tout

, on pose :

.
On admet sans démonstration que :

.
a) Établir la convergence de l'intégrale

.
b) À l'aide d'une primitive de la fonction

, montrer que

.
c) Établir la relation :

.
10. On pose :

. Pour

entier de

, soit

-échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loi que

.
Pour tout

, on pose :

(moyenne empirique de l'échantillon

).
a) Déterminer la fonction de répartition

. Quelle est la loi de

?
b) Quelle est la fonction de répartition de

? En déduire la loi de

.
c) Déterminer pour tout

, la loi de la variable aléatoire

.
d) La loi faible des grands nombres s'applique-t-elle à la suite

? Pourquoi ?
11. Soit

. On veut simuler

réalisations de la moyenne empirique'

On suppose que l'on connait une fonction Scilab cauchy telle que la commande

retourne une matrice

, réalisation d'une famille

de variables aléatoires indépendantes de loi

Soit

une matrice de

avec

. On rappelle que dans le langage Scilab :

la commande sum(M) retourne une matrice de contenant la somme de tous les éléments de ;
la commande sum ( , 'r') retourne un vecteur ligne de contenant les sommes des éléments de calculées colonne par colonne;
la commande sum ( , ' ') retourne un vecteur colonne de contenant les sommes des éléments de calculées ligne par ligne;
la commande linspace(a,b,m) retourne un vecteur ligne de valeurs régulièrement espacées entre et et l'on obtient le même vecteur avec la commande (a : en prenant ;
la commande histplot(y,data) permet de représenter les éléments du vecteur data sous la forme d'un histogramme; les classes de l'histogramme sont définies par le vecteur strictement croíssant y ; si ce vecteur contient éléments tels que , alors la première classe de l'histogramme est l'intervalle [y(1), y(2)] et les autres classes sont les intervalles ]y(i), y(i+1)] pour .
a) Compléter le programme suivant afin que la matrice MoyEmp contienne 12000 réalisations de la moyenne empirique .

histogramme 1

histogramme 2

b) Les histogrammes 1 et 2 ont été obtenus à l'aide de ce programme. Expliquer en quoi ce couple d'histogrammes illustre le résultat de la question 10.c).

Partie IV. La loi de la médiane empirique

Dans les questions 19, 14 et 15, on suppose que le paramètre

est inconnu.
On rappelle que

. Pour

entier de

, on note

un (

)-échantillon de variables aléatoires indépendantes et de même loí que

.
On admet l'existence de (

) fonctions

continues sur

à valeurs réelles, telles que les variables aléatoires réelles

définies par:

soient des variables aléatoires à densité et que pour tout

, les réels

soient un réarrangement par ordre croissant de

. En particulier, la variable aléatoire

est la médiane empirique de l'échantillon

.
12. Pour tout

et pour tout

, on note

la variable aléatoire discrète définie par :

On note

les deux événements suivants :

.
a) Établir la relation:

.
b) On suppose que le réel

est fixé. Montrer qu'il existe un réel

indépendant de

pour lequel on a :

c) Montrer que

admet une densité

donnée par :

13.a) Établir l'équivalence suivante :

.
b) En déduire l'existence de l'espérance

de la variable aléatoire

.
c) Justifier que

est un estimateur du paramètre

. Calculer

. Conclure.
d) À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur

, la variable aléatoire

admet-elle une variance?
14. On note

la fonction de répartition de

. Soit

un réel strictement positif.
a) Établir la relation :

. En déduire que

.
b) Montrer que la suite d'estimateurs

converge en probabilité vers

.
c) La suite

, converge-t-elle en loi vers la variable certaine

?
15. Pour tout entier

, on pose :

.
a) On note

la densité continue sur

. Montrer que :

b) Montrer que pour tout

, on a :

On admet que ce résultat implique la convergence en loi de la suite de variables aléatoires

vers une variable aléatoire

qui suit la loi normale centrée réduite.
c) On note

la fonction de répartition de

. Soit

un réel vérifiant

; on pose :

Déterminer un intervalle de confiance asymptotique pour

, centré sur

, au niveau de confiance

.
16. Dans le langage Scilab, la fonction gsort permet de trier les éléments d'une matrice réelle

la commande gsort(A, 'r') renvoie une copie de triée colonne par colonne, par ordre décroissant (chaque colonne est triée indépendamment des autres);
la commande gsort ( A , ' c ') renvoie une copie de triée ligne par ligne, par ordre décroissant (chaque ligne est triée indépendamment des autres).
On suppose que et on considère réalisations ( ) du ( )-échantillon ( ). Recopier et compléter le code suivant afin que son exécution retourne un vecteur MedianeEmp de réalisations de la médiane empirique , puis un vecteur W de réalisations de .

A=cauchy(p,2*n+1)
Smgsort ..........
MedianeEmp= .........
W= .........

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