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BCE Maths approfondies HEC ECS 2006

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités continuesSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2006
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2006ECS MathématiquesMathématiques 2006

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2006.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
29184263-f48a-4d45-99ab-ec1049e4ac7c
Concepteur : H.E.C.
OPTION : SCIENTIFIQUE
CODE EPREUVE :
280
HEC_M1_S

MATHEMATIQUES I

Mercredi 3 Mai 2006, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Pour tout couple d'entiers strictement positifs, on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels. Si est un élément quelconque de , on note la transposée de .
Dans tout le problème, pour dans , on identifie et l'ensemble des matrices colonnes à lignes et à coefficients réels. L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire de deux vecteurs et étant noté ou .
Pour tout vecteur de , sa norme est donnée par .
Le module et le conjugué d'un nombre complexe sont notés respectivement et . On rappelle que . Le nombre complexe de module 1 et d'argument est noté .
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice (appelée matrice de Hilbert) de , de terme générique , les entiers et décrivant .
Pour tout entier supérieur ou égal à 1 , la matrice s'écrit donc :

Préliminaire

On rappelle que la restriction de la fonction tangente à l'intervalle [ admet une fonction réciproque notée arctan. On note ( sa dérivée.
  1. a) Pour tout réel , rappeler l'expression de en fonction de .
    b) Montrer, pour tout de , l'égalité : .
    c) Établir, pour tout de , l'encadrement : .
  2. a) Montrer que la fonction définie sur par est une densité de probabilité sur .
    b) Soit une variable aléatoire réelle de densité . On note sa fonction de répartition. Déterminer la loi de la variable aléatoire .
    c) On rappelle que la fonction Pascal random rend un nombre aléatoire de l'intervalle suivant une loi uniforme sur cet intervalle. Écrire, dans le langage Pascal, une fonction Cauchy simulant la variable aléatoire .

Partie I. Dimension du sous-espace propre associé à la plus grande valeur propre de

  1. Calculer, pour tout couple de , l'intégrale .
En déduire, pour tout vecteur de , l'égalité : .
2. a) Justifier l'existence d'une matrice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs, et d'une matrice orthogonale telles que : .
b) On désigne par (resp. ) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de .
Montrer, pour tout vecteur de , l'encadrement suivant :
  1. On note le sous-espace propre de associé à la valeur propre .
    a) Soit un vecteur de . Montrer que .
    b) Réciproquement, soit un vecteur non nul de vérifiant . Montrer que appartient à .
  2. Soit un vecteur non nul de . On note le vecteur dont les composantes sont les valeurs absolues des composantes de .
    a) Établir l'inégalité : .
    b) En déduire que est un élément de .
    c) Montrer que les composantes du vecteur sont toutes strictement positives. En déduire que le vecteur n'a aucune composante nulle.
    d) En utilisant le fait que , montrer que les composantes de sont toutes de même signe.
  3. a) Montrer qu'il n'existe pas deux vecteurs non nuls de orthogonaux.
    b) En déduire la dimension du sous-espace propre .

Partie II. Croissance et convergence de la suite

On rappelle que désigne la plus grande valeur propre de la matrice .
  1. Soit un vecteur propre de associé à . Soit le vecteur de défini par . Montrer que . En déduire que la suite est croissante.
  2. Soit et deux fonctions définies et continues sur le segment de . On définit le nombre complexe
et on rappelle que pour tout réel , on a : .
a) Calculer, pour tout de , les deux nombres complexes : et .
b) Montrer, pour tout entier de , l'égalité : .
c) En déduire, pour tout polynôme à coefficients complexes, l'égalité : .
d) Dans le cas où est un polynôme à coefficients réels, établir l'inégalité suivante :
Dans les questions 3 et 4, on désigne par un vecteur quelconque de .
3. a) Établir l'encadrement : .
b) En déduire que l'on a : .
4. a) Soit la fonction définie sur par : .
Montrer que est -périodique et paire ; en déduire l'égalité : .
b) Établir l'inégalité : .
c) En déduire que la suite est majorée, puis qu'elle est convergente.
Partie III. Limite de la suite
Dans cette partie, le vecteur de est défini par .
  1. Montrer les égalités suivantes :
  1. En déduire, pour , l'inégalité suivante :
(on pourra utiliser le développement du produit de deux polynômes)
Dans les questions suivantes, est un entier supérieur ou égal à 2 .
3. a) Étudier les variations de la fonction définie sur .
b) En déduire, quelle que soit la parité de , l'inégalité suivante :
  1. Justifier la validité du changement de variable dans l'intégrale , et établir la relation :
  1. On pose : . Montrer que la série de terme général est convergente.
  2. a) Montrer que est équivalent à , lorsque tend vers .
    b) En déduire la limite de la suite .

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