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BCE Maths approfondies HEC ECS 2006Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2006.

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Concepteur : H.E.C.
OPTION : SCIENTIFIQUE
CODE EPREUVE :
280
HEC_M1_S

MATHEMATIQUES I

Mercredi 3 Mai 2006, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Pour tout couple (p, q) d'entiers strictement positifs, on note M_(p, q)(ℝ) l'ensemble des matrices à p lignes et q colonnes à coefficients réels. Si A est un élément quelconque de M_(p, q)(ℝ), on note A^T la transposée de A.
Dans tout le problème, pour n dans ℕ^∗, on identifie ℝ^n et l'ensemble M_(n, 1)(ℝ) des matrices colonnes à n lignes et à coefficients réels. L'espace vectoriel ℝ^n est muni de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire de deux vecteurs X et Y étant noté ⟨X, Y⟩ ou Y^T X.
Pour tout vecteur X = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) de ℝ^n, sa norme est donnée par ‖X‖ = √(X^T X) = (∑_(k = 0)^(n − 1)x_k^2)^(1/2).
Le module et le conjugué d'un nombre complexe z sont notés respectivement |z| et z¯. On rappelle que |z|^2 = zz¯. Le nombre complexe de module 1 et d'argument π/2 est noté i.
L'objet du problème est l'étude de quelques propriétés de la matrice H_n = (h_(k, j)^((n)))_(1 ⩽ k, j ⩽ n) (appelée matrice de Hilbert) de M_(n, n)(ℝ), de terme générique h_(k, j)^((n)) = 1/(k + j − 1), les entiers k et j décrivant [ [1, n] ].
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , la matrice H_n s'écrit donc :
H_n = (1, 1/2, ⋯, 1/n; 1/2, 1/3, ⋯, 1/(n + 1); ⋮, ⋱, ⋮; 1/n, 1/(n + 1), ⋯, 1/(2n − 1))

Préliminaire

On rappelle que la restriction de la fonction tangente à l'intervalle ] − π/2, π/2 [ admet une fonction réciproque notée arctan. On note ( arctan)^′ sa dérivée.
  1. a) Pour tout réel x, rappeler l'expression de (arctan)^′(x) en fonction de x.
    b) Montrer, pour tout x de ℝ^(+ ∗), l'égalité : arctanx + arctan1/x = π/2.
    c) Établir, pour tout x de ℝ^+, l'encadrement : 0 ⩽ arctanx ⩽ x.
  2. a) Montrer que la fonction ψ définie sur ℝ par ψ(x) = 1/(π(1 + x^2)) est une densité de probabilité sur ℝ.
    b) Soit U une variable aléatoire réelle de densité ψ. On note F sa fonction de répartition. Déterminer la loi de la variable aléatoire F(U).
    c) On rappelle que la fonction Pascal random rend un nombre aléatoire de l'intervalle [0, 1] suivant une loi uniforme sur cet intervalle. Écrire, dans le langage Pascal, une fonction Cauchy simulant la variable aléatoire U.

Partie I. Dimension du sous-espace propre associé à la plus grande valeur propre de H_n

  1. Calculer, pour tout couple (k, j) de [ [1, n] ]^2, l'intégrale ∫_0^1 t^(k + j − 2)dt.
En déduire, pour tout vecteur X = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) de ℝ^n, l'égalité : X^T H_n X = ∫_0^1(x_0 + x_1 t + ⋯ + x_(n − 1)t^(n − 1))^2 dt.
2. a) Justifier l'existence d'une matrice diagonale D à coefficients diagonaux strictement positifs, et d'une matrice orthogonale P telles que : H_n = PDP^T.
b) On désigne par α_n (resp. β_n ) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de H_n.
Montrer, pour tout vecteur X de ℝ^n, l'encadrement suivant :
α_n‖X‖^2 ⩽ X^T H_n X ⩽ β_n‖X‖^2
  1. On note V le sous-espace propre de H_n associé à la valeur propre β_n.
    a) Soit Y un vecteur de V. Montrer que Y^T H_n Y = β_n‖Y‖^2.
    b) Réciproquement, soit Y un vecteur non nul de ℝ^n vérifiant Y^T H_n Y = β_n‖Y‖^2. Montrer que Y appartient à V.
  2. Soit X_0 = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) un vecteur non nul de V. On note |X_0| = (|x_0|; |x_1|; ⋮; |x_(n − 1)|) le vecteur dont les composantes sont les valeurs absolues des composantes de X_0.
    a) Établir l'inégalité : |X_0|^T H_n|X_0| ⩾ X_0^T H_n X_0.
    b) En déduire que |X_0| est un élément de V.
    c) Montrer que les composantes du vecteur H_n|X_0| sont toutes strictement positives. En déduire que le vecteur X_0 n'a aucune composante nulle.
    d) En utilisant le fait que X_0^T H_n X_0 = |X_0|^T H_n|X_0|, montrer que les composantes de X_0 sont toutes de même signe.
  3. a) Montrer qu'il n'existe pas deux vecteurs non nuls de V orthogonaux.
    b) En déduire la dimension du sous-espace propre V.

Partie II. Croissance et convergence de la suite (β_n)_(n ⩾ 1)

On rappelle que β_n désigne la plus grande valeur propre de la matrice H_n.
  1. Soit X^′ = (x_0^′; x_1^′; ⋮; x_(n − 1)^′) ∈ ℝ^n un vecteur propre de H_n associé à β_n. Soit Z le vecteur de ℝ^(n + 1) défini par Z = (x_0^′; x_1^′; ⋮; x_(n − 1)^′; 0). Montrer que Z^T H_(n + 1)Z = X^T H_n X^′. En déduire que la suite (β_n)_(n ⩾ 1) est croissante.
  2. Soit φ_1 et φ_2 deux fonctions définies et continues sur le segment [a, b] de ℝ. On définit le nombre complexe ∫_a^b(φ_1(θ) + iφ_2(θ))dθpar :
∫_a^b(φ_1(θ) + iφ_2(θ))dθ = ∫_a^b φ_1(θ)dθ + i∫_a^b φ_2(θ)dθ
et on rappelle que pour tout réel x, on a : e^(ix) = cosx + isinx.
a) Calculer, pour tout k de ℤ, les deux nombres complexes : ∫_(− π)^π e^(ikθ)dθ et ∫_0^π e^(ikθ)dθ.
b) Montrer, pour tout entier p de ℕ, l'égalité : ∫_(− 1)^1 x^p dx = − i∫_0^π e^(i(p + 1)θ)dθ.
c) En déduire, pour tout polynôme P à coefficients complexes, l'égalité : ∫_(− 1)^1 P(x)dx = − i∫_0^π P(e^(iθ))e^(iθ)dθ.
d) Dans le cas où P est un polynôme à coefficients réels, établir l'inégalité suivante :
|∫_(− 1)^1 P(x)dx| ⩽ ∫_0^π|P(e^(iθ))|dθ
Dans les questions 3 et 4, on désigne par X = (x_0; x_1; ⋮; x_(n − 1)) un vecteur quelconque de ℝ^n.
3. a) Établir l'encadrement : 0 ⩽ X^T H_n X ⩽ ∫_(− 1)^1(x_0 + x_1 t + ⋯ + x_(n − 1)t^(n − 1))^2 dt.
b) En déduire que l'on a : 0 ⩽ X^T H_n X ⩽ ∫_0^π|x_0 + x_1 e^(iθ) + ⋯ + x_(n − 1)e^(i(n − 1)θ)|^2 dθ.
4. a) Soit φ la fonction définie sur ℝ par : φ(θ) = |∑_(k = 0)^(n − 1)x_k e^(ikθ)|^2.
Montrer que φ est 2π-périodique et paire ; en déduire l'égalité : ∫_0^π φ(θ)dθ = 1/2∫_(− π)^(+ π)φ(θ)dθ.
b) Établir l'inégalité : X^T H_n X ⩽ π‖X‖^2.
c) En déduire que la suite (β_n)_(n ⩾ 1) est majorée, puis qu'elle est convergente.
Partie III. Limite de la suite (β_n)_n ⩾ 1
Dans cette partie, le vecteur W de ℝ^n est défini par W = (1; 1/√2; ⋮; 1/√n).
  1. Montrer les égalités suivantes :
W^T H_n W = ∑_(k = 1)^n∑_(j = 1)^n 1/(√k√j(k + j − 1)) = ∫_0^1(∑_(ℓ = 1)^n(t^(ℓ − 1))/(√ℓ))^2 dt
  1. En déduire, pour n ⩾ 2, l'inégalité suivante :
W^T H_n W ⩾ ∑_(p = 2)^n 1/(p − 1)∑_(k = 1)^(p − 1)1/(√k√(p − k))
(on pourra utiliser le développement du produit de deux polynômes)
Dans les questions suivantes, p est un entier supérieur ou égal à 2 .
3. a) Étudier les variations de la fonction g définie sur ]0, p[par : g(x) = 1/(√(x(p − x))).
b) En déduire, quelle que soit la parité de p, l'inégalité suivante :
∑_(k = 1)^(p − 1)1/(√(k(p − k))) ⩾ ∫_1^(p − 1)(dx)/(√(x(p − x)))
  1. Justifier la validité du changement de variable x = p/(1 + t^2) dans l'intégrale ∫_1^(p − 1)(dx)/(√(x(p − x))), et établir la relation :
∫_1^(p − 1)(dx)/(√(x(p − x))) = π − 4arctan(1/(√(p − 1)))
  1. On pose : u_p = 1/(p − 1)arctan(1/(√(p − 1))). Montrer que la série de terme général u_p est convergente.
  2. a) Montrer que ‖W‖^2 est équivalent à lnn, lorsque n tend vers + ∞.
    b) En déduire la limite de la suite (β_n)_(n ⩾ 1).

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