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BCE Maths approfondies HEC ECS 2007

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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Algèbre linéaireTopologie/EVNProbabilités finies, discrètes et dénombrementInformatiqueSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2007
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2007ECS MathématiquesMathématiques 2007

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2007.

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PDF
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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CODE SUJET :
280
HEC_M1_S

Concepteur : H.E.C.

OPTION : SCIENTITIQUE

MATHEMATIQUES I

Mercredi 2 Mai 2007, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on note l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre à coefficients réels, la matrice identité, et l'espace vectoriel des matrices à lignes et 1 colonne. On confond et .

Préliminaire

Soit un espace vectoriel réel. On appelle norme sur , toute application de dans vérifiant :
i) si et seulement si ;
ii) pour tout réel, pour tout de ;
iii) pour tout couple de .
Montrer que l'application de à valeurs dans définie par : pour tout vecteur de , , est une norme sur .

Partie I

A. Une norme sur
  1. Montrer que l'application qui, à toute matrice de , associe le réel , définit une norme sur . La norme de sera notée .
  2. a) Établir pour tout de , l'inégalité : .
    b) Montrer qu'il existe un vecteur de , non nul, tel que .
En déduire que .
c) Établir alors que pour tout couple de , on a .
On dit qu'une suite de matrices de converge vers une matrice de , si . On pose et .
3. a) Montrer que converge vers si et seulement si pour tout de .
b) Montrer que si converge vers et converge vers , alors converge vers .
4. Soit un élément de tel que .
a) Déterminer .
b) Montrer que si est une valeur propre réelle de , alors . En déduire que les matrices et sont inversibles.
c) Montrer que la suite converge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice .
Soit une suite de matrices de . On dit que la série de terme général (qu'on notera converge, si la suite converge. Dans ce cas, sa limite est notée .
5. On considère dans cette question, une matrice non nulle de qui vérifie la propriété suivante : il existe un entier supérieur ou égal à 2 tel que et .
a) Montrer que la série converge. On note .
b) Montrer que .
6. a) Soit une matrice diagonale de . Montrer que la série converge.
b) Soit une matrice de diagonalisable, une matrice diagonale et une matrice inversible telles que . Montrer que la série converge, et exprimer sa somme en fonction de et .
On admet jusqu'à la fin du problème que pour toute matrice de , la série converge, et on note .
7. Soit un élément de . On pose, pour tout de .
a) Établir l'inégalité :
b) En déduire que la suite converge vers .

B. Propriétés de l'exponentielle de matrice

On admet que si et sont éléments de tels que , alors, .
  1. Montrer que pour toute matrice de , la matrice est inversible et déterminer son inverse.
  2. a) Soit une matrice de . Montrer qu'il existe une matrice telle que .
    b) Étudier la fonction définie sur par : .
    c) En déduire que si , alors .
    d) On suppose que et que . Montrer que est la matrice nulle.
  3. On note l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre , et l'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre dont les valeurs propres sont strictement positives.
    a) Montrer que si est un élément de , alors est un élément de .
    b) Montrer que l'application exp restreinte à est une surjection de sur .
  4. Soit et deux matrices de telles que . On note (resp. v) l'endomorphisme de canoniquement associé à (resp. ), et (resp. ) l'endomorphisme de canoniquement associé à (resp. ).
    a) Montrer que et ont les mêmes valeurs propres.
    b) Montrer que .
    c) Soit un sous-espace propre de .
    i) Montrer que est également un sous-espace propre de .
    ii) Montrer que la restriction de à induit un endomorphisme de diagonalisable.
    d) En se plaçant dans une base de diagonalisation de , montrer alors que et ont les mêmes vecteurs propres. En déduire que .

Partie II

  1. On considère muni de sa base canonique .
Soit l'endomorphisme de défini par , et pour tout de , .
On note la matrice associée à relativement à la base . Déterminer, pour tout de , la matrice .
2. Soit un réel de . On définit les matrices et par : .
a) Établir l'égalité : .
b) Calculer et . Montrer que .
3. a) Soit un entier supérieur ou égal à 1 , et des réels de l'intervalle . On pose pour tout de et . Montrer les égalités suivantes :
b) Établir la relation suivante :

c) En déduire la majoration suivante : .
4. a) Montrer l'égalité : .
b) En déduire successivement les deux inégalités :

Partie III.

Les notations sont celles de la partie II.
On considère pièces de monnaie , telles que pour tout de , la -ième pièce donne Pile avec la probabilité , et Face avec la probabilité . On pose .
Un joueur lance successivement la première pièce, la deuxième pièce, etc. jusqu'à la -ième pièce, cette expérience étant modélisée par un espace probabilisé . Pour tout de , on note la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus à l'issue des premiers lancers.
  1. a) Montrer que pour tout de , les premiers éléments de la première ligne du produit matriciel représentent la loi de .
    b) Montrer la relation suivante : .
    c) En déduire l'inégalité suivante : .
  2. Dans un programme Pascal sont faites les déclarations suivantes :
const m =...;
Type tab = array[1..m] of real;
Var prob : tab;
On suppose que prob contient les probabilités (ainsi prob[1] contient etc.)
Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Sm(prob : tab) : integer qui simule la variable aléatoire .

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