BCE Maths approfondies HEC ECS 2007Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2007.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CODE SUJET :
280
HEC_M1_S

Concepteur : H.E.C.

OPTION : SCIENTITIQUE

MATHEMATIQUES I

Mercredi 2 Mai 2007, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Pour tout entier

n

supérieur ou égal à 2 , on note

M_n(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre

n

à coefficients réels,

I

la matrice identité, et

M_(n, 1)(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes et 1 colonne. On confond

M_(n, 1)(ℝ)

ℝ^n

Préliminaire

Soit

E

un espace vectoriel réel. On appelle norme sur

E

, toute application

ν

E

dans

ℝ^+

vérifiant :
i)

ν(x) = 0

si et seulement si

x = 0

;
ii) pour tout

λ

réel, pour tout

x

E : ν(λx) = |λ|ν(x)

;
iii) pour tout couple

(x, y)

E^2 : ν(x + y) ⩽ ν(x) + ν(y)

Montrer que l'application

‖‖_\infty

ℝ^n

à valeurs dans

ℝ^+

définie par : pour tout vecteur

X = (x_1; ⋮; x_n)

ℝ^n

‖X‖_\infty = max_(1 ⩽ i ⩽ n)|x_i|

, est une norme sur

ℝ^n

Partie I

A. Une norme sur

M_n(ℝ)

Montrer que l'application qui, à toute matrice $A = (a_(i, j))$ de $M_n(ℝ)$ , associe le réel $max_(1 ⩽ i ⩽ n)(\sum_(j = 1)^n|a_(i, j)|)$ , définit une norme sur $M_n(ℝ)$ . La norme de $A$ sera notée $‖A‖$ .
a) Établir pour tout $X$ de $ℝ^n$ , l'inégalité : $‖AX‖_\infty ⩽ ‖A‖ \times ‖X‖_\infty$ .
b) Montrer qu'il existe un vecteur $X_0$ de $ℝ^n$ , non nul, tel que $‖AX_0‖_\infty = ‖A‖ \times ‖X_0‖_\infty$ .

En déduire que

‖A‖ = sup_(X \in ℝ^n, X \neq 0)(‖AX‖_\infty)/(‖X‖_\infty)

.
c) Établir alors que pour tout couple

(A, B)

(M_n(ℝ))^2

, on a

‖AB‖ ⩽ ‖A‖ \times ‖B‖

On dit qu'une suite

(A_m)_(m ⩾ 0)

de matrices de

M_n(ℝ)

converge vers une matrice

A

M_n(ℝ)

, si

lim_(m \to + \infty)‖A_m - A‖ = 0

. On pose

A_m = (a_(i, j)(m))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

.
3. a) Montrer que

(A_m)_(m ⩾ 0)

converge vers

A

si et seulement si pour tout

(i, j)

[ [1, n] ]^2 : lim_(m \to + \infty)a_(i, j)(m) = a_(i, j)

.
b) Montrer que si

(A_m)_(m ⩾ 0)

converge vers

A

(B_m)_(m ⩾ 0)

converge vers

B

, alors

(A_m B_m)_(m ⩾ 0)

converge vers

AB

.
4. Soit

A

un élément de

M_n(ℝ)

tel que

‖A‖ < 1

.
a) Déterminer

lim_(m \to + \infty)A^m

.
b) Montrer que si

λ

est une valeur propre réelle de

A

, alors

|λ| < 1

. En déduire que les matrices

I - A

I + A

sont inversibles.
c) Montrer que la suite

(\sum_(k = 0)^m A^k)_m

converge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice

A

Soit

(A_m)_(m ⩾ 0)

une suite de matrices de

M_n(ℝ)

. On dit que la série de terme général

A_m

(qu'on notera

\sum_(m ⩾ 0)A_m)

converge, si la suite

(\sum_(m = 0)^p A_m)_p

converge. Dans ce cas, sa limite est notée

\sum_(m = 0)^(+ \infty)A_m

.
5. On considère dans cette question, une matrice non nulle

N

M_n(ℝ)

qui vérifie la propriété suivante : il existe un entier

p

supérieur ou égal à 2 tel que

N^p = 0

N^(p - 1) \neq 0

.
a) Montrer que la série

\sum_(k ⩾ 0)1/(k!)N^k

converge. On note

M = \sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(k!)N^k

.
b) Montrer que

{X ∈ ℝ^n/(M − I)X = 0} = {X ∈ ℝ^n/NX = 0}

.
6. a) Soit

D

une matrice diagonale de

M_n(ℝ)

. Montrer que la série

\sum_(k ⩾ 0)1/(k!)D^k

converge.
b) Soit

A

une matrice de

M_n(ℝ)

diagonalisable,

D

une matrice diagonale et

P

une matrice inversible telles que

A = PDP^(- 1)

. Montrer que la série

\sum_(k ⩾ 0)1/(k!)A^k

converge, et exprimer sa somme

\sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(k!)A^k

en fonction de

P

\sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(k!)D^k

.
On admet jusqu'à la fin du problème que pour toute matrice

A

M_n(ℝ)

, la série

\sum_(k ⩾ 0)1/(k!)A^k

converge, et on note

: exp(A) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)1/(k!)A^k

.
7. Soit

A

un élément de

M_n(ℝ)

. On pose, pour tout

m

ℕ^* : A_m = (I + 1/mA)^m

.
a) Établir l'inégalité :

‖\sum_(k = 0)^m 1/(k!)A^k - A_m‖ ⩽ \sum_(k = 0)^m(1 - (m(m - 1)\dots(m - k + 1))/(m^k))(‖A‖^k)/(k!)

b) En déduire que la suite

(A_m)_m

converge vers

exp(A)

B. Propriétés de l'exponentielle de matrice

On admet que si

A

B

sont éléments de

M_n(ℝ)

tels que

AB = BA

, alors,

exp(A + B) = exp(A)exp(B)

Montrer que pour toute matrice $A$ de $M_n(ℝ)$ , la matrice $exp(A)$ est inversible et déterminer son inverse.
a) Soit $A$ une matrice de $M_n(ℝ)$ . Montrer qu'il existe une matrice $S_A$ telle que $exp(A) - I = A(I + S_A)$ .
b) Étudier la fonction définie sur $ℝ^+$ par : $x ⟼ e^x - 1 - 2x$ .
c) En déduire que si $‖A‖ < 1$ , alors $‖S_A‖ < 1$ .
d) On suppose que $‖A‖ < 1$ et que $exp(A) = I$ . Montrer que $A$ est la matrice nulle.
On note $S_n$ l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ , et $S_n^(+ +)$ l'ensemble des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ dont les valeurs propres sont strictement positives.
a) Montrer que si $A$ est un élément de $S_n$ , alors $exp(A)$ est un élément de $S_n^(+ +)$ .
b) Montrer que l'application exp restreinte à $S_n$ est une surjection de $S_n$ sur $S_n^(+ +)$ .
Soit $A$ et $B$ deux matrices de $S_n$ telles que $exp(A) = exp(B)$ . On note $u$ (resp. v) l'endomorphisme de $ℝ^n$ canoniquement associé à $A$ (resp. $B$ ), et $exp(u)$ (resp. $exp(v)$ ) l'endomorphisme de $ℝ^n$ canoniquement associé à $exp(A)$ (resp. $exp(B)$ ).
a) Montrer que $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs propres.
b) Montrer que $A \times exp(B) = exp(B) \times A$ .
c) Soit $F$ un sous-espace propre de $v$ .
i) Montrer que $F$ est également un sous-espace propre de $exp(v)$ .
ii) Montrer que la restriction de $u$ à $F$ induit un endomorphisme de $F$ diagonalisable.
d) En se plaçant dans une base de diagonalisation de $v$ , montrer alors que $u$ et $v$ ont les mêmes vecteurs propres. En déduire que $A = B$ .

Partie II

On considère $ℝ^n$ muni de sa base canonique $B = (e_1, e_2, \dots, e_n)$ .

Soit

f

l'endomorphisme de

ℝ^n

défini par

f(e_1) = 0

, et pour tout

i

[ [2, n] ]

f(e_i) = e_(i - 1)

.
On note

N

la matrice associée à

f

relativement à la base

B

. Déterminer, pour tout

k

ℕ

, la matrice

N^k

.
2. Soit

p

un réel de

]0, 1[

. On définit les matrices

R_p

Q_p

par :

R_p = (1 - p)I + pN = I + Q_p

.
a) Établir l'égalité :

exp(Q_p) = \sum_(j = 0)^(n - 1)e^(- p)(p^j)/(j!)N^j

.
b) Calculer

‖R_p‖

‖Q_p‖

. Montrer que

‖exp(Q_p)‖ ⩽ 1

.
3. a) Soit

m

un entier supérieur ou égal à 1 , et

p_1, p_2, \dots, p_m

des réels de l'intervalle

]0, 1[

. On pose pour tout

i

[ [1, m] ], R_i = R_(p_i)

Q_i = Q_(p_i)

. Montrer les égalités suivantes :

\prod_(k = 1)^m exp(Q_k) = exp(\sum_(k = 1)^m Q_k) = exp([ - \sum_(k = 1)^m p_k](I - N))

b) Établir la relation suivante :

\prod_(k = 1)^m R_k - \prod_(k = 1)^m exp(Q_k) = [R_1 - exp(Q_1)](R_2 \times \dots \times R_m) - exp(Q_1)[exp(Q_2) \times \dots \times exp(Q_m) - R_2 \times \dots \times R_m]

c) En déduire la majoration suivante :

‖\prod_(k = 1)^m R_k - \prod_(k = 1)^m exp(Q_k)‖ ⩽ \sum_(k = 1)^m‖R_k - exp(Q_k)‖

.
4. a) Montrer l'égalité :

‖exp(Q_1) - R_1‖ = |e^(- p_1) - 1 + p_1| + p_1|e^(- p_1) - 1| + e^(- p_1)\sum_(k = 2)^(n - 1)(p_1^k)/(k!)

.
b) En déduire successivement les deux inégalités :

‖exp(Q_1) - R_1‖‖ ⩽ 2p_1^2 et ‖\prod_(k = 1)^m R_k - \prod_(k = 1)^m exp(Q_k)‖ ⩽ 2\sum_(k = 1)^m p_k^2

Partie III.

Les notations sont celles de la partie II.
On considère

m

pièces de monnaie

(1 ⩽ m < n)

, telles que pour tout

i

[ [1, m] ]

, la

i

-ième pièce donne Pile avec la probabilité

p_i

, et Face avec la probabilité

1 - p_i

. On pose

λ = \sum_(i = 1)^m p_i

.
Un joueur lance successivement la première pièce, la deuxième pièce, etc. jusqu'à la

m

-ième pièce, cette expérience étant modélisée par un espace probabilisé

(Ω, A, P)

. Pour tout

k

[ [1, m] ]

, on note

S_k

la variable aléatoire égale au nombre de Pile obtenus à l'issue des

k

premiers lancers.

a) Montrer que pour tout $k$ de $[ [1, m] ]$ , les $k + 1$ premiers éléments de la première ligne du produit matriciel $R_1 \times R_2 \times \dots \times R_k$ représentent la loi de $S_k$ .
b) Montrer la relation suivante : $‖\prod_(i = 1)^m R_i - \prod_(i = 1)^m exp(Q_i)‖ = \sum_(k = 0)^(n - 1)|P([S_m = k]) - e^(- λ)(λ^k)/(k!)|$ .
c) En déduire l'inégalité suivante : $\sum_(k = 0)^(+ \infty)|P([S_m = k]) - e^(- λ)(λ^k)/(k!)| ⩽ 2\sum_(i = 1)^m p_i^2$ .
Dans un programme Pascal sont faites les déclarations suivantes :

const m =...;
Type tab = array[1..m] of real;
Var prob : tab;

On suppose que prob contient les probabilités

p_1, p_2, \dots, p_m

(ainsi prob[1] contient

p_1

etc.)
Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Sm(prob : tab) : integer qui simule la variable aléatoire

S_m

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