CAPES mathématiques externe 2005, épreuve 2Sujet

Le sujet étudie une transformation géométrique historique, dite de Descartes, qui construit de nouvelles courbes à partir d'une courbe donnée et d'une droite fixe. La première partie étudie une courbe paramétrée liée à une droite et une projection. La deuxième établit des propriétés classiques des hyperboles et paraboles (tangentes, foyer, directrice, puissance d'un point). Les troisième et quatrième parties appliquent la transformation à des droites, paraboles et cercles. La cinquième généralise le procédé à des courbes polynomiales, dans l'esprit du traité de Descartes.

1. 1Partie 1 : étude d'une courbe paramétrée liée à une droiteOn étudie les variations, l'allure et une équation cartésienne et polaire d'une courbe Phi construite à partir d'un point projeté sur une droite fixe.
2. 2Partie 2 : propriétés des coniques (hyperboles et paraboles)On établit des propriétés classiques de l'hyperbole et de la parabole à l'aide du théorème de Thalès, de la tangente, du foyer, de la directrice et de la puissance d'un point par rapport à un cercle.
3. 3Partie 3 : transformée de Descartes de droites et de parabolesOn définit la transformation de Descartes d'une courbe par rapport à un point et une droite fixes, et on l'applique à des droites puis à une parabole, en étudiant les asymptotes de la courbe obtenue.
4. 4Partie 4 : transformée de Descartes d'un cercleOn étudie la transformée de Descartes d'un cercle passant par l'origine et on la relie à une parabole par des constructions géométriques.
5. 5Partie 5 : généralisation à des courbes polynomialesOn généralise la transformation de Descartes à des courbes définies par une équation polynomiale de degré quelconque en x et y, et on étudie le degré de la courbe transformée.