BCE Maths appliquées emlyon ECG 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : emlyon bs

MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

import numpy as np
import numpy.random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

Exercice 1

Partie A : Étude d'une fonction de deux variables

• 1.a) Calculer le gradient ∇f(x, y) pour tout (x, y) ∈ 𝒟.
  • b)Montrer que f admet un unique point critique (x_0, y_0) dans 𝒟.
  • c)Calculer la matrice hessienne ∇^2 f(x_0, y_0), puis déterminer la nature du point critique (x_0, y_0).

• 2.a) Soit k ∈ R et soit (x, y) ∈ 𝒟 avec x ≠ 0, montrer que :
  f(x, y) = k ⟺ y = (e^(k − x) − 1)/x.
  • b)Le graphique ci-dessous, obtenu à l'aide d'un programme Python, représente certaines lignes de niveau de la fonction f.

Recopier et compléter la ligne 5 du programme ci-dessous afin qu'il produise le graphique ci-dessus. À la lecture du programme, préciser pour quelles valeurs de k la ligne de niveau k apparaît sur le graphique.

K = [-0.4+i/5 for i in range(8)]
X = np.linspace(-2,2,100)
for k in K:
    M = [ ...... for x in X]
    plt.plot(X,M,color='black')
plt.xlim(-2,2)
plt.ylim(-3,1)
plt.show()

Partie B : Étude de la ligne de niveau zéro

• 3.Donner le signe de g sur R^∗.
• 4.Montrer que la fonction g admet un prolongement continu en 0 .

• 5.Montrer que g est dérivable en 0 , et préciser la valeur de g^′(0).
• 6.a) Calculer g^′(x) pour tout x ∈ R^∗.
  • b)Montrer que g^′(x) > 0 pour tout x ∈ R^∗.
  • c)Déterminer soigneusement les limites de g en − ∞ et + ∞, puis dresser son tableau de variation.
• 7.On suppose le plan muni d'un repère orthonormé.
  • a)Représenter sur un même dessin :
    • -la courbe d'équation 1 + xy = 0 qui délimite le domaine 𝒟;
    • -la ligne de niveau 0 de f qui est formée de la droite d'équation x = 0 et de la courbe de g.
  • b)La ligne de niveau 0 de la fonction f divise le domaine 𝒟 en quatre zones, dans chacune d'elles f est de signe constant. Hachurer (sur votre dessin) les deux zones dans lesquelles f prend des valeurs positives.

Partie C : Aire de la surface délimitée par la ligne de niveau zéro

• 8.Justifier que la fonction G est bien définie et de classe 𝒞^1 sur R, donner sa dérivée.
• 9.Montrer que, pour tout x > 0,
  G(x) = G(1) + ∫_1^x(e^(− t))/t dt − ln(x).
• 10.En déduire qu'au voisinage de + ∞ on a: G(x) ∼ − ln(x).
• 11.Montrer que, pour x > 0 voisin de 0, on a :
  ∫_x^1(e^(− t))/t dt = − ln(x) + G(1) + x + o(x).

Exercice 2

Partie A : Un endomorphisme de ℳ_2(R)

1. Montrer que l'application tr est linéaire.
   On définit une application φ : ℳ_2(R) → ℳ_2(R) en posant, pour toute matrice M ∈ ℳ_2(R),

• 2.a) Montrer que φ est un endomorphisme de ℳ_2(R).
  • b)Vérifier que φ(I) = I.
  • c)Soit M ∈ ℳ_2(R), montrer que tr(φ(M)) = tr(M).
• 3.a) Déterminer la matrice A de φ dans la base canonique ℬ de ℳ_2(R).
  • b)Calculer A^2. En déduire que A est inversible et donner son inverse.
  • c)Déterminer le spectre de A, ainsi qu'une base de chacun de ses sous-espaces propres.

Partie B : Deux formules d'inversion

• 4.Soit M = (a, b; c, d) une matrice de ℳ_2(R), exprimer φ(M) comme un tableau de nombres puis établir :
  Mφ(M) = det(M)I.
• 5.a) Déduire de cette égalité que M est inversible si et seulement si det(M) ≠ 0, et que dans ce cas
  M^(− 1) = 1/(det(M))φ(M).
  • b)Soient M et N deux matrices inversibles de ℳ_2(R) telles que M + N soit inversible. Montrer que :
    (M + N)^(− 1) = (det(M))/(det(M + N))M^(− 1) + (det(N))/(det(M + N))N^(− 1).

Partie C : Polynômes de Tchebychev et trace des matrices de déterminant 1

• 6.a) Déterminer les polynômes P_2 et P_3.

• • b)Montrer que, pour tout n ∈ N^∗, on a deg(P_n) = n − 1.
• 7.Soit M une matrice de ℳ_2(R) de déterminant 1, c'est-à-dire avec det(M) = 1.
  On définit une suite de nombres réels (a_n)_(n ⩾ 0) en posant, pour tout n ∈ N,
  a_n = P_n(tr(M)).
  • a)À l'aide de l'identité établie en question 4, montrer que :
    M^2 = tr(M)M − I.
  • b)Démontrer que, pour tout n ⩾ 1, on a :
    M^n = − a_(n − 1)I + a_n M
  • c)En déduire que, pour tout n ∈ N^∗, il existe un polynôme Q_n tel que :
    tr(M^n) = Q_n(tr(M)).
    Exprimer le polynôme Q_n à l'aide des polynômes de Tchebychev.
• 8.
  a) Compléter la fonction Python «P(n,x)» ci-dessous qui prend en argument un entier naturel n et un réel x, et qui renvoie le nombre P_n(x). Vous pouvez utiliser autant de lignes que vous le souhaitez dans la boucle «for».

  def P(n,x):
      P0 = 0
      P1 = 1
      for k in range(1,n+1):
          .....
          .....
          .....
      return(PO)
  

  • b)En utilisant la fonction « P(n, x) » ainsi que l'identité (*) ci-dessus, rédiger une fonction Python «Puissance(n,M)» qui prend en argument un entier n ⩾ 1 et une matrice M de déterminant 1, et qui renvoie la matrice M^n. On suppose la matrice M construite à l'aide de la commande «np . array ».
    Rappel Python : La commande «np.eye(2) » renvoie la matrice identité d'ordre 2.

Exercice 3

• - P_k l'évènement : « on obtient pile au k-ième lancer »,
• - F_k l'évènement : « on obtient face au k-ième lancer ».

• -double pile tout évènement de la forme P_(k − 1)P_k avec k ∈ [ [2, n] ],
• -pile isolé tout évènement de la forme P_1 F_2 ou F_(k − 1)P_k F_(k + 1) avec k ∈ [ [2, n − 1] ].

Partie A : Rang moyen du premier double pile

• - N la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués,
• - S l'évènement «le dernier lancer donne pile».

• 1.a) Reconnaître la loi de la variable aléatoire N − 1 qui donne le rang du premier lancer pile.
  • b)En déduire la loi de N, puis donner son espérance E(N) et sa variance V(N).
• 2.a) Soit n ⩾ 2, calculer la probabilité P((N = n) ∩ S).
  • b)Montrer que P(S) = p.

• - R la variable aléatoire égale au nombre de répétitions de la première expérience aléatoire,
• - T la variable aléatoire égale au nombre total de lancers effectués,

• - N_i la variable aléatoire égale au nombre de lancers réalisés lors de la i-ème répétition de la première expérience aléatoire si R ⩾ i, et égale à 0 si R < i.

• 3.a) Déterminer la loi de R.
  • b)En moyenne, combien de piles isolés obtient-on avant le premier double pile?
• 4.Soit i ⩾ 1 un entier. On admet que la loi conditionnelle de N_i sachant (R ⩾ i) est la loi de N.
  • a)Calculer P(N_i = 0).
  • b)Montrer que, pour tout entier k ⩾ 2, P(N_i = k) = pq^(i + k − 3).
  • c)Montrer que N_i admet une espérance donnée par : E(N_i) = q^(i − 1)(1 + p)/p.
• 5.Établir que la série ∑_(i ⩾ 1)E(N_i) converge et calculer sa somme.

• 6.Soit n ⩾ 2.
  • a)Justifier que, pour tout k ∈ [ [0, n] ], P(T = k) = P(N_1 + ⋯ + N_n = k).
  • b)En déduire que : ∑_(k = 2)^n kP(T = k) ⩽ ∑_(i = 1)^n E(N_i).
  • c)Établir que T admet une espérance.
• 7.Conclure que E(T) = ∑_(i = 1)^(+ ∞)E(N_i).

Partie B : Simulation informatique

• 8.
  Recopier et compléter la fonction «Exp_1(p)» ci-dessous qui simule la première expérience aléatoire (décrite en début de partie A). Cette fonction prend en argument le paramètre p ∈ ]0, 1[ et renvoie un couple d'entiers (N, S), où N représente le nombre de lancers effectués, et S ∈ {0, 1} prend la valeur 1 si le dernier lancer a donné pile et 0 sinon.

  def Exp_1(p):
      N = 1
      while ..... :
          N = N + 1
      if ..... :
          S = .....
      else:
          S = .....
      return N+1, S
  

• 9.Rédiger une fonction «Exp_2(p) » qui simule la deuxième expérience aléatoire consistant à répéter la première expérience aléatoire jusqu'à la réalisation de l'évènement S. Cette fonction prend en argument le paramètre p et renvoie le couple d'entiers (R, T), où R est le nombre de répétitions de la première expérience aléatoire, et T est le nombre total de lancers effectués.
  On vous demande de suivre cet algorithme :
  On affecte aux variables R, S et T la valeur 0 .
  Tant que S = 0 :
  On augmente la variable R de 1
  On affecte à la variable E le résultat de Exp_1 (p)
  On affecte à la variable S la deuxième composante de E
  On ajoute à la variable T la première composante de E
  On renvoie le couple (R, T)
• 10.a) Rédiger une fonction «Freq_T(n,p)» qui prend en argument un entier n ⩾ 2 ainsi que le paramètre p, et qui renvoie la fréquence d'apparition de n parmi 10^4 réalisations de la variable aléatoire T (on pourra simuler T par la deuxième composante de «Exp_2(p)»).
  • b)En exécutant la commande «Freq_T(4,1/2) » l'ordinateur affiche «0.123».
    Ce résultat vous paraît-il cohérent? Justifier votre réponse.

Partie C : Nombre de doubles piles

• 11.Soit n ⩾ 1 un entier. Reconnaître la loi de Y_n, puis donner son espérance E(Y_n) et sa variance V(Y_n).
• 12.Soit n et m deux entiers avec n ⩾ 1 et m ⩾ n + 2.
  • a)Les variables aléatoires Y_n et Y_(n + 1) sont-elles indépendantes? Même question avec Y_n et Y_m.
  • b)Calculer les covariances cov(Y_n, Y_(n + 1)) et cov(Y_n, Y_m).

• 13.a) Calculer l'espérance E(S_n), et montrer que la variance V(S_n) est donnée par :
  V(S_n) = np^2(1 − p^2) + 2(n − 1)p^3(1 − p).
  b) En déduire que :
  v((S_n)/n) ⩽ (3p^2)/n.
• 14.Soit ε > 0, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev établir :
  P(|(S_n)/n − p^2| ⩾ ε) ⩽ 3(p/ε)^2 1/n.
  En déduire :
  lim_(n → + ∞)P(|(S_n)/n − p^2| ⩾ ε) = 0.