BCE Maths approfondies HEC ECS 2017Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2017

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2017.

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Conception : HEC Paris

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 26 avril 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans tout le problème :

pour tout entier naturel $n$ , on note $R_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à cœfficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ ;
on identifie le polynôme $P = \sum_(k = 0)^n λ_k X^k$ de $R_n[X]$ avec la fonction polynomiale $x ⟼ \sum_(k = 0)^n λ_k x^k$ , avec la convention $0^0 = 1$ ;
on rappelle la formule de Stirling : $n$ ! est équivalent à $n^n e^(- n)\sqrt(2πn)$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+ \infty$ .

Le problème a pour objet l'approximation d'une fonction réelle par des fonctions polynomiales.
Dans la partie I, on étudie le cas des polynômes de Bernstein. Les parties II et III sont consacrées aux polynômes d'interpolation de Lagrange.
Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I. Quelques propriétés des polynômes de Bernstein

Pour tout entier

n \in N^*

et tout entier

k \in [ [0, n] ]

, on note

B_(n, k)

le polynôme de

R_n[X]

défini par :

B_(n, k)(X) = (n/k)X^k(1 - X)^(n - k)

On pose pour tout

k \in [ [0, n] ], A_k = X^k

et on note

C_n = (A_0, A_1, \dots, A_n)

la base canonique de

R_n[X]

.
Soit

T_n

l'application définie sur

R_n[X]

telle que :

\forallP \in R_n[X], (T_n(P))(X) = \sum_(k = 0)^n P(k/n)B_(n, k)(X)

Dans cette question uniquement, on choisit $n = 2$ .
a) Déterminer la matrice $K_2$ de la famille ( $B_(2, 0), B_(2, 1), B_(2, 2)$ ) dans la base $C_2$ .
b) En déduire que la famille ( $B_(2, 0), B_(2, 1), B_(2, 2)$ ) est une base de $R_2[X]$ .
c) Calculer $T_2(A_0), T_2(A_1)$ et $T_2(A_2)$ ; déterminer la matrice $H_2$ de $T_2$ dans la base $C_2$ . Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de $T_2$ .
On revient au cas général où $n$ est un entier supérieur ou égal à 1.
a) Montrer que la famille ( $B_(n, 0), B_(n, 1), \dots, B_(n, n)$ ) est libre; en déduire que cette famille est une base de $R_n[X]$ .
b) Montrer que l'application $T_n$ est un automorphisme de $R_n[X]$ .
c) Calculer $T_n(A_0)$ et montrer que $T_n(A_1) = A_1$ .
d) Montrer que pour tout $k \in [ [0, n] ]$ , le degré du polynôme $T_n(A_k)$ est égal à $k$ .

Pour établir ce résultat, on pourra utiliser la propriété suivante que l'on ne demande pas de démontrer :

\forallk \in [ [0, n - 1] ], (T_n(A_(k + 1)))(X) = 1/nX(1 - X)(T_n(A_k))^'(X) + X(T_n(A_k))(X)

où

(T_n(A_k))^'

est le polynôme dérivé de

T_n(A_k)

.
e) Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, soit

α_k

le cœfficient de

X^k

du polynôme

T_n(A_k)

. Calculer

α_k

en fonction de

k

n

. L'automorphisme

T_n

est-il diagonalisable?
3. Soit

f

une fonction continue sur [ 0,1 ]. On pose:

\foralln \in N^*

\forallz \in [0, 1], f_n(z) = \sum_(k = 0)^n f(k/n)B_(n, k)(z)

Soit

z \in [0, 1]

. Soit

(Ω, A, P)

un espace probabilisé et pour tout

n \in N^*

, soit

Z_n

une variable aléatoire définie sur cet espace suivant la loi binomiale de paramètres

n

z

. Pour tout

n \in N^*

, on pose:

Z¯_n = (Z_n)/n

.
a) Montrer que la suite de variables aléatoires

(Z¯_n)_(n ⩾ 1)

converge en probabilité vers le réel

z

.
b) Justifier l'existence de

M = max_([0, 1])|f|

.
c) Soit

ε

un réel strictement positif. Pour tout

n \in N^*

, soit

U_n

l'événement :

U_n = [|f(Z¯_n) - f(z)| > ε]

On note

1_(U_n)

la variable indicatrice de l'événement

U_n

U¯_n

l'événement contraire de

U_n

. Établir l'inégalité :

|f(Z¯_n) - f(z)| ⩽ 2M \times 1_(U_n) + ε \times 1_(U¯_n)

.
d) Montrer que

lim_(n \to + \infty)E(f(Z¯_n)) = f(z)

. En déduire que

lim_(n \to + \infty)f_n(z) = f(z)

.
4.a) Compléter le code Scilab suivant afin qu'un appel à la fonction binom (

n, z

) renvoie une réalisation d'une loí binomiale de paramètres

n

z

function Z=binom(n,z)
    Z= .........
endfunction

b) Soit une fonction Scilab

f

et une variable

z

définies par:

function }\mp@subsup{y}{}{=f}(x
    if x=m=0 then y=0, else y=-x*log(x), end
endfunction
z=0.4

On considère le code Scilab suivant :

n=100; N=1000
S=0
for k=1:N
    S=S+f(binom(n,z)/n)
end
disp(S/N)

Ce code affiche une valeur approchée d'une certaine quantité. Laquelle?
Cette valeur affichée est le résultat de la mise en œuvre de certaines méthodes. Lesquelles?

Partie II. Les polynômes d'interpolation de Lagrange

Soit $n \in N^*$ et $x_0, x_1, \dots, x_n$ des réels deux à deux distincts. Soit $Φ$ l'application de $R_n[X]$ dans $R^(n + 1)$ telle que: $\forallP \in R_n[X], Φ(P) = (P(x_0), P(x_1), \dots, P(x_n))$ .
a) Montrer que l'application $Φ$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
b) On note ( $e_0, e_1, \dots, e_n$ ) la base canonique de $R^(n + 1)$ avec $e_0 = (1, 0, 0, \dots, 0), e_1 = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots\dots$ et $e_n = (0, 0, 0, \dots, 1)$ . Pour tout $i \in [ [0, n] ]$ , on note $L_i$ le polynôme de $R_n[X]$ tel que $Φ(L_i) = e_i$ .
Montrer que pour tout $i \in [ [0, n] ]$ , on a : $L_i(X) = \prod_(k \in [0, n]; k \neq i)(X - x_k)/(x_i - x_k)$ .
c) Soit $Ψ$ l'application définie sur $(R_n[X])^2$ par : $\forall(P, Q) \in (R_n[X])^2, Ψ(P, Q) = \sum_(k = 0)^n P(x_k)Q(x_k)$ .

Vérifier que

Ψ

est un produit scalaire sur

R_n[X]

. On munit alors

R_n[X]

de ce produit scalaire.
Montrer que (

L_0, L_1, \dots, L_n

) est une base orthonormée de

R_n[X]

.
d) Expliciter la matrice

A

de passage de la base

(L_0, L_1, \dots, L_n)

à la base canonique

C_n

R_n[X]

.
e) Soit

f

une fonction continue sur

R

à valeurs réelles.

Montrer que pour tout

n \in N^*

, il existe un unique polynôme de

R_n[X]

, noté

P_f

, vérifiant les relations :

P_f(x_0) = f(x_0), P_f(x_1) = f(x_1), \dots, P_f(x_n) = f(x_n)

On dit que

P_f

est le polynôme d'interpolation de la fonction

f

aux points

x_0, x_1, \dots, x_n

.
Exprimer

P_f

dans la base

(L_0, L_1, \dots, L_n)

.
6. Soit

x_0, x_1, \dots, x_n

des réels appartenant à un intervalle

[a, b](a < b)

tels que

a ⩽ x_0 < x_1 < \dots < x_n ⩽ b

Soit

f

une fonction de classe

C^(n + 1)

sur

[a, b]

x¯

un réel de

[a, b]

différent de

x_0, x_1, \dots, x_n

.
On note

P_f

le polynôme d'interpolation de la fonction

f

aux points

x_0, x_1, \dots, x_n

Q_f

le polynôme d'interpolation de la fonction

f

aux points

x_0, x_1, \dots, x_n, x¯

. On pose :

w(X) = \prod_(k = 0)^n(X - x_k)

.
a) Établir l'existence d'un réel

δ

tel que pour tout

t \in [a, b]

, on a :

Q_f(t) - P_f(t) = δ \times w(t)

.
b) Soit

h

la fonction définie sur

[a, b]

par:

\forallt \in [a, b], h(t) = f(t) - Q_f(t)

Montrer que la fonction

h

s'annule en les (

n + 2

) points

x¯, x_0, x_1, \dots, x_n

et en déduire l'existence d'un réel

θ \in ]a, b[

tel que

h^((n + 1))(θ) = 0

.
c) Établir l'égalité :

f(x¯) - P_f(x¯) = 1/((n + 1)!) \times f^((n + 1))(θ) \times w(x¯)

.
d) En déduire que pour tout

t \in [a, b]

, on a :

|f(t) - P_f(t)| ⩽ 1/((n + 1)!) \times |w(t)| \times sup_([a, b])|f^((n + 1))|

Partie III. Exemple d'interpolation et phénomène de Runge

Dans cette partie, on suppose que l'entier

n

appartient à

N^*

et n'est plus fixé.
Pour tout

k \in [ [0, n] ]

, on pose :

x_(k, n) = - 1 + (2k)/n

.
Pour tout réel

ρ > 0

, on note

f_ρ

la fonction définie sur

R

telle que :

\forallx \in R, f_ρ(x) = 1/(x^2 + ρ^2)

.
Pour tout

n \in N^*

et pour tout

ρ > 0

, on note

P_(f_ρ, n)

le polynôme d'interpolation aux points

x_(0, n), x_(1, n), \dots, x_(n, n)

de la fonction

f_ρ

.
Pour tout

n \in N^*

, on pose :

w_n(X) = \prod_(k = 0)^n(X - x_(k, n))

Cette partie se propose de mettre en évidence des conditions suffisantes de convergence de la suite

(P_(f_p, n)(x))_(n ⩾ 1)

vers

f_ρ(x)

pour

x

appartenant à un intervalle

I \subset R

.
7.a) Justifier que la fonction

f_ρ

est de classe

C^\infty

sur

R

.
b) Montrer que pour tout

n \in N^*

et pour tout

x \in R

, on a :

|f_ρ^((n))(x)| = |f_ρ^((n))(- x)|

.
c) Montrer que pour tout réel

x

vérifiant

|x| < ρ

, on a :

1/(x^2 + ρ^2) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)((- 1)^k)/(ρ^(2k + 2))x^(2k)

.
8. Dans cette question, on admet le résultat qui suit.

Pour tout

k \in N

, soit

A_k

la fonction définie sur

R

par :

A_k(t) = t^k

. Soit

R

un réel strictement positif.
Soit

(u_k)_(k \in ℕ)

une suite réelle. On suppose que pour tout

t \in ] - R, R[

, la série de terme général

u_k \times A_k(t)

est convergente ; on note

φ(t)

sa somme.
Alors, la fonction

φ

est de classe

C^\infty

sur

] - R, R[

\forallt \in ] - R, R[

\foralln \in N^*

, on a

: φ^((n))(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)u_k \times A_k^((n))(t)

.
Soit

ρ > 0

. On pose:

\forallx \in ] - ρ, ρ[, v(x) = (ρ^2)/(ρ^2 - x^2)

.
a) Déterminer les réels

p

q

pour lesquels on a :

\forallx \in ] - ρ, ρ[, v(x) = p/(ρ - x) + q/(ρ + x)

.
b) Comparer pour tout

n \in N^*

et pour tout

n \in ] - ρ, ρ[, |v^((n))(x)|

|v^((n))(- x)|

.
c) Montrer que pour tout

x \in ] - ρ, ρ[

et pour tout

n \in N^*

, on a :

|f_ρ^((n))(x)| ⩽ 1/(ρ^2) \times |v^((n))(x)|

.
d) On suppose que

ρ > 1

. Montrer que pour tout

x \in [ - 1, 1]

et pour tout

n \in N^*

, on a :

|f_p^((n))(x)| ⩽ 1/ρ \times (n!)/((ρ - 1)^(n + 1)).

Pour $x \in [ - 1, 1]$ avec $x ∉ {x_(0, n), x_(1, n), …, x_(n, n)}$ , soit $k$ l'entier de $[0, n - 1]$ tel que $x \in ]x_(k, n), x_(k + 1, n)[$ .
a) Établir les inégalités : $|w_n(x)| ⩽ (2/n)^(n + 1) \times (k + 1)!(n - k)! ⩽ (2/n)^(n + 1) \times n!$ .
b) À l'aide de la formule de Stirling (rappelée dans le préambule du problème), montrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que pour tout $n ⩾ n_0$ , on a pour tout $x \in [ - 1_1 1] : |w_n(x)| ⩽ (2/e)^(n + 1)$ .
c) Déduire des questions 6.d), 8.d) et 9.b) qu'une condition suffisante pour que $lim_(n \to + \infty)|f_ρ(x) - P_(f_ρ n)(x)| = 0$ pour tout $x \in [ - 1, 1]$ , est : $ρ > 1 + 2/e$ .
10.a) On pose : $\forallρ > 0, H(ρ) = 1/4\int_(- 1)^1 ln(t^2 + ρ^2)dt$ . À l'aide d'une intégration par parties, calculer $H(ρ)$ .

Montrer que la fonction

H

est prolongeable par continuité en 0 . On note encore

H

la fonction prolongée.
b) Montrer que la fonction

H

réalise une bijection strictement croissante de

R_+

sur un intervalle à déterminer.
c) Montrer qu'il existe un unique réel

ρ_0 > 0

tel que

H(ρ_0) = ln2 - 1

. Montrer que

ρ_0 < 1

(on donne

ln2 ≃ 0.693

).
d) On note

i

le nombre complexe de module 1 et d'argument

π/2

|iρ|

le module du nombre complexe

iρ

. Vérifier que pour tout

ρ > 0

, on a :

|w_n(iρ)| > 0

. Montrer alors que

lim_(n \to + \infty)1/nln|w_n(iρ)| = H(ρ)

.
11. La fonction Arctan est codée dans le langage Scilab par atan.

Le programme suivant renvoie une valeur approchée d'un réel

s_0

à 0.001 près.

function z=G(x); z=(1/2)*(log((1+x-2)/4))+x*(atan(1/x)); endfunction
u=0.25; v=1;
while (v-u)>0.001 do
    if G((u+v)/2)>Q then v=(u+v)/2; and
    if G((u+v)/2)<0 then u=(u+v)/2; end
    if G((u+v)/2)=x 0 then v=(u+v)/2;u=(u+v)/2; end
end
disp ((u+v)/2)

a) Quelle est la méthode mise en ceuvre dans ce programme? Donner une équation vérifiée par

s_0

.
b) Comparer

s_0

ρ_0

.
12. Pour tout

n \in N^*

, on pose :

S_n(X) = 1 - (X^2 + ρ^2)P_(f_p, n)(X)

.
a) Montrer que le polynôme

w_n

divise le polynôme

S_n

.
b) Montrer que le polynôme

P_(f_β, n)

est pair.
c) Pour tout

n \in N^*

, on pose :

y_n = 1 - 1/n

. Exprimer

|w_n(y_n)|

en fonction de

n

Trouver un équivalent de

|w_n(y_n)|

lorsque

n

tend vers

+ \infty

, de la forme

τ/n \times σ^n

, où

τ

σ

sont des réels strictement positifs que l'on déterminera.
d) On admet sans démonstration que :

lim_(n \to + \infty)(ln|w_n(iρ)| - nH(ρ)) = 0

Déduire de ce résultat admis et de la question 12.c), un équivalent de

|(w_n(y_n))/(w_n(iρ))|

lorsque

n

tend vers

+ \infty

. Dans les questions 19 et 14, on suppose que

n

est impair.
13.a) Montrer que

w_n(iρ) \in R^*

et exprimer

S_n(X)

en fonction de

w_n(X)

w_n(iρ)

.
b) En déduire que pour tout

x \in [ - 1, 1]

, on a :

|f_ρ(x) - P_(f_ρ, n)(x)| = f_ρ(x) \times |(w_n(x))/(w_n(iρ))|

.
14. On suppose que

0 < ρ < ρ_0

.
a) Déterminer

lim_(n \to + \infty)|f_ρ(y_n) - P_(f_ρ n)(y_n)|

.
b) En déduire que

lim_(n \to + \infty)sup_([ - 1, 1])|f_ρ(x) - P_(f_ρ, n)(x)| = + \infty

(phénomène de Runge).

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