BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2017Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2017

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Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2017.

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Conception : EDHEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

2 mai 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On désigne par

n

un entier naturel supérieur ou égal à 1 et on considère la fonction

f_n

définie par :

\forallx \in [0, 1], f_n(x) = \sum_(k = 1)^n x^k

a) Compléter la fonction Scilab suivante pour qu'elle renvoie la valeur de $f_n(x)$ à l'appel de $f(x, n)$ , où $x$ et $n$ sont donnés par l'utilisateur.

function y=f (x,n)
y=sum (------)
endfunction

b) Transformer, pour

x \neq 1

, l'expression de

f_n(x)

puis en déduire une deuxième façon de déclarer f , en complétant la déclaration suivante où la fonction est toujours nommée f :

function y=f (x,n)
    if x==1 then y=------
        else y=------
    end
endfunction

Montrer que l'équation $f_n(x) = 1$ , d'inconnue $x$ élément de $[0, 1]$ , possède une unique solution $α_n$ dans $[0, 1]$ .
a) Montrer que $f_(n + 1)(α_n) \geq 1$ et en déduire que la suite $(α_n)_(n \in ℕ^*)$ est décroissante.
b) En déduire que la suite $(α_n)_(n \in ℕ^*)$ converge.
a) Déterminer $α_2$ puis vérifier que $0 \leq α_2 < 1$ .
b) Utiliser les variations de la suite $(α_n)_(n \in ℕ^*)$ pour établir que $lim_(n \to + \infty)α_n^(n + 1) = 0$ .
c) En déduire que $lim_(n \to + \infty)α_n = 1/2$ .
On suppose que $f_n$ a été déclarée (voir question 1) et on considère les commandes supplémentaires suivantes :

n=input('entrer la valeur de n : ')
x=0
while f(x,n)<1
x=x+0.001
end
disp(x)

Quel est le lien entre le résultat affiché et

α_n

Exercice 2

On désigne par

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on considère

n

variables aléatoires, notées

X_1, X_2, \dots, X_n

, définies sur le même espace probabilisé, indépendantes, et suivant toutes la loi uniforme sur

[0, 1]

On note $M_n$ la variable aléatoire définie par $M_n = max(X_1, X_2, \dots, X_n)$ , c'est-à-dire que, pour tout $ω$ de $Ω$ , on a $M_n(ω) = max(X_1(ω), X_2(ω), \dots, X_n(ω))$ . On admet que $M_n$ est une variable aléatoire et on note $F_(M_n)$ sa fonction de répartition.
a) Déterminer, pour tout réel $x$ , l'expression de $F_(M_n)(x)$ puis montrer que $M_n$ est une variable à densité.
b) En déduire une densité $f_(M_n)$ de $M_n$ .
c) Établir l'existence et donner la valeur de $E(M_n)$ et $E(M_n^2)$ .
d) Donner, pour tout $ε > 0$ , un majorant, ne dépendant que de $n$ et $ε$ , de $P((M_n - 1)^2 \geq ε^2)$ .
e) Conclure que $lim_(n \to + \infty)P(|M_n - 1| \geq ε) = 0$ . Que signifie ce résultat?
On pose $Y_n = n(1 - M_n)$ .
a) On rappelle que grand $(1, n, ^' u_n f^', 0, 1)$ simule $n$ variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur $[0, 1]$ .
Compléter la déclaration de fonction Scilab suivante afin qu'elle simule la variable aléatoire $Y_n$ .

function Y=f(n)
X = grand(1,n,'unf',0,1)
Y =------
endfunction

b) Voici deux scripts (celui de droite utilise la fonction f définie ci-dessus) :

e=grand (1,10000, 'exp', 1)
s=linspace (0, 10, 11)
histplot(s,e)
    Script (1)

n=input('entrez la valeur de n : ')
\(\mathrm{Y}=[]\)
for \(\mathrm{k}=1: 10000\)
    \(\mathrm{Y}=[\mathrm{Y}, \mathrm{f}(\mathrm{n})]\)
end
\(\mathrm{s}=l i n s p a c e(0,10,11)\)
histplot(s, Y)

Script (2)

Chacun de ces scripts simule 10000 variables indépendantes, regroupe les valeurs renvoyées en 10 classes qui sont les intervalles

[0, 1]]1, 2], ]2, 3, ], \dots]9, 10

], ettracel^' histogrammecorrespondant

(la largeur de chaque rectangle est égale à 1 et leur hauteur est proportionnelle à l'effectif de chaque classe).
Le script (1) dans lequel les variables aléatoires suivent la loi exponentielle de paramètre 1 , renvoie l'histogramme (1) ci-dessous, alors que le script (2) dans lequel les variables aléatoires suivent la même loi que

Y_n

, renvoie l'histogramme (2) ci-dessous, pour lequel on a choisi

n = 1000

Quelle conjecture peut-on émettre quant au comportement de la suite des variables aléatoires

(Y_n)

.
3) a) Déterminer la fonction de répartition

F_(Y_n)

de la variable

Y_n

définie à la question 2).
b) Pour tout réel

x

positif ou nul, calculer

lim_(n \to + \infty)F_(Y_n)(x)

.
c) Démontrer le résultat conjecturé à la question 2b).

Exercice 3

Dans tout l'exercice,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .

Soit $A$ la matrice de $M_n(ℝ)$ dont les éléments diagonaux sont égaux à $- n$ , les autres étant tous égaux à 1 . On note $J$ la matrice de $ℳ_n(ℝ)$ dont tous les éléments sont égaux à 1 et $I$ la matrice identité de $M_n(ℝ)$ .
a) Exprimer $A$ comme combinaison linéaire de $I$ et $J$ , puis écrire $A^2$ comme combinaison linéaire de $I$ et $J$ .
b) En déduire un polynôme annulateur de $A$ puis donner les valeurs propres possibles de $A$ .
c) Montrer que $A$ est inversible.

Dans la suite, on considère un espace euclidien

E

, de dimension

n + 1

, dont le produit scalaire est noté

⟨

é ⟩etlanormeassociée‖‖

On note

(ε_0, ε_1, \dots, ε_n)

une base orthonormale de

E

et on pose :

u = 1/(\sqrt(n + 1))\sum_(k = 0)^n ε_k

On pose aussi :

\foralli \in [ [0, n] ], e_i = \sqrt((n + 1)/n)(ε_i - ⟨ε_i, u⟩u)

Calculer la norme du vecteur $u$ .
a) Montrer que, pour tout $i$ de $[ [0, n] ]$ , on a : $‖e_i‖ = 1$ .
b) Montrer également que, pour tout couple $(i, j)$ d'entiers distincts de $[ [0, n] ]$ , on a :

⟨e_i, e_j⟩ = - 1/n

c) Montrer que les vecteurs

e_0, e_1, \dots, e_n

appartiennent tous au sous-espace

F = (Vect(u))^⊥

E

.
d) Montrer, en utilisant le résultat de la question 1c), que (

e_1, e_2, \dots, e_n

) est une base de

F

.
4) On considère l'application

f

F \times F

dans

ℝ

définie par :

\forall(x, y) \in F \times F, f(x, y) = \sum_(k = 0)^n⟨x, e_k⟩⟨y, e_k⟩ - (n + 1)/n⟨x, y⟩

a) Montrer que

f

est une forme bilinéaire symétrique.
b) Pour tout couple

(i, j)

[ [1, n] ]^2

, déterminer

f(e_i, e_j)

en distinguant les cas

i = j

i \neq j

.
c) En déduire que :

\forall(x, y) \in F \times F, \sum_(k = 0)^n⟨x, e_k⟩⟨y, e_k⟩ = (n + 1)/n⟨x, y⟩

d) En déduire également que, pour tout

x

F

, on a :

‖x‖^2 = n/(n + 1)\sum_(k = 0)^n⟨x, e_k⟩^2

Problème

Dans ce problème,

n

désigne un entier naturel non nul et

ℝ_n[X]

est l'espace vectoriel formé du polynôme nul et des polynômes à coefficients réels dont le degré est inférieur ou égal à

n

.
On note

B = (e_0, e_1, \dots, e_n)

la base canonique de

ℝ_n[X]

. On rappelle que

e_0 = 1

et que :

\forallk \in [ [1, n] ], e_k = X^k

Partie 1 : étude d'une application définie sur $ℝ_n[X]$

On considère l'application

φ

, qui à tout polynôme

P

ℝ_n[X]

associe

φ(P) = \sum_(k = 0)^n P^((k))

, où

P^((k))

désigne la dérivée

è k^(ème)

P

avec la convention

P^((0)) = P

Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $ℝ_n[X]$ .
a) Calculer $φ(e_0)$ et en déduire une valeur propre de $φ$ .
b) Montrer que :

\forallj \in [ [1, n] ], φ(e_j) - e_j \in ℝ_(j - 1)[X]

c) En déduire que la matrice de

φ

dans la base

ℬ

est triangulaire et que la seule valeur propre de

φ

est celle trouvée à la question précédente.
d) Montrer que

φ

est un automorphisme de

ℝ_n[X]

.
3) a) Pour tout polynôme

P

ℝ_n[X]

, calculer

φ(P - P^')

.
b) Déterminer

φ^(- 1)

puis écrire la matrice de

φ^(- 1)

dans la base (

e_0, e_1, \dots, e_n

).
c) On donne le script Scilab suivant :

n=input('entrez la valeur de n : ')
M=eye (n+1,n+1)
for k=1:n
M(k, k+1)=-k
end
A=------
disp(A)

Compléter la sixième ligne de ce script pour qu'il affiche la matrice

A

φ

dans la base (

e_0, e_1, \dots, e_n

) lorsque la valeur de

n

est entrée par l'utilisateur.

Partie 2 : étude d'une autre application définie sur

ℝ_n[X]

.
On désigne par

x

un réel quelconque.
4) a) Montrer que, pour tout entier naturel

k

, l'intégrale

\int_x^(+ \infty)t^k e^(- t)dt

est convergente.
b) En déduire que, si

P

est un polynôme de

ℝ_n[X]

, alors l'intégrale

\int_x^(+ \infty)P(t)e^(- t)dt

est convergente.
5) a) Donner la valeur de

\int_x^(+ \infty)e^(- t)dt

b) Établir que, pour tout entier naturel

k

, on a :

\int_x^(+ \infty)t^k e^(- t)dt = k!\sum_(i = 0)^k(x^i)/(i!)e^(- x)

.
6) Informatique.
a) On admet que, si u est un vecteur, la commande prod (

u

) renvoie le produit des éléments de

u

et la commande cumprod (

u

) renvoie un vecteur de même format que u dont le

è k^(ème)

élément est le produit des

k

premiers éléments de u. Utiliser l'égalité obtenue à la question 5b) pour compléter le script Scilab suivant afin qu'il calcule et affiche la variable

s

contenant la valeur de l'intégrale

\int_x^(+ \infty)t^k e^(- t)dt

, les valeurs de

x

et de

k

étant entrées par l'utilisateur.

k=input('entrez la valeur de k : ')
x=input('entrez la valeur de x : ')
p=prod(1:k)
u=------ ./------
s=p*------*exp (-x)
disp(s)

b) Montrer, grâce à un changement de variable simple, que :

\int_x^(+ \infty)t^k e^(- t)dt = e^(- x)\int_0^(+ \infty)(u + x)^k e^(- u)du

En déduire la commande manquante du script Scilab suivant afin qu'il permette de calculer et d'afficher une valeur approchée de

\int_x^(+ \infty)t^k e^(- t)dt

grâce à la méthode de Monte Carlo.

x=input('entrez la valeur de x : ')
k=input('entrez la valeur de k : ')
Z=grand(1,100000,'exp',1)
s=exp (-x) *mean (------)
disp(s)

On considère maintenant l'application qui, à tout polynôme

P

ℝ_n[X]

, associe la fonction

F = ψ(P)

définie par :

\forallx \in ℝ, F(x) = e^x\int_x^(+ \infty)P(t)e^(- t)dt

a) Montrer que $ψ$ est un endomorphisme de $ℝ_n[X]$ .
b) Justifier que $F$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ et donner une relation entre $F, F^'$ et $P$ .
c) Montrer que $ψ$ est un automorphisme de $ℝ_n[X]$ .
On considère un polynôme $P$ non nul, vecteur propre de $ψ$ pour une valeur propre $λ$ non nulle.
a) Utiliser la relation obtenue à la question 7b) pour établir que : $P^' = (λ - 1)/λP$ .
b) En déduire, en considérant les degrés, que $λ = 1$ est la seule valeur propre possible de $ψ$ .
c) Montrer enfin que $λ = 1$ est la seule valeur propre de $ψ$ (on ne demande pas le sous-espace propre associé).
a) Montrer que les endomorphismes $φ$ et $ψ$ sont égaux.
b) En déduire que, si $P$ est un polynôme de $ℝ_n[X]$ et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à $a$ , on a $P(x) \geq 0$ , alors :

\forallx \geq a, \sum_(i = 0)^n P^((i))(x) \geq 0

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Partie 1 : étude d'une application définie sur $ℝ_n[X]$