BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2016Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2016

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Présentation du sujet

Suite récurrente et point fixe, décomposition noyau-image d'endomorphismes, estimation par maximum de vraisemblance, et chaîne de Markov sur deux urnes

Le sujet comporte trois exercices et un problème. L'exercice 1 étudie une suite définie par itération d'une fonction et la convergence de ses sous-suites. L'exercice 2 généralise la décomposition en somme directe du noyau et de l'image d'un endomorphisme annulé par un polynôme. L'exercice 3 construit l'estimateur du maximum de vraisemblance des paramètres d'une loi normale. Le problème étudie la matrice de transition d'une chaîne de Markov modélisant un échange de boules entre deux urnes et détermine sa loi stationnaire.

1Exercice 1 : étude d'une suite récurrenteOn étudie la fonction f(x) = exp(-x)/x, la suite définie par itération de f, et la convergence de ses sous-suites de rangs pairs et impairs vers un point fixe.
2Exercice 2 : décomposition noyau-imageOn établit, dans des cas particuliers puis dans le cas général d'un polynôme annulateur sans terme constant, que l'espace se décompose en somme directe du noyau et de l'image de l'endomorphisme.
3Exercice 3 : estimation du maximum de vraisemblanceOn construit la fonction de vraisemblance d'un échantillon gaussien, on détermine son point critique et on étudie les propriétés (biais, convergence) des estimateurs de la moyenne et de la variance obtenus.
4Problème, parties 1 à 3 : chaîne de Markov sur deux urnesOn étudie la matrice de transition d'une chaîne de Markov modélisant l'échange répété de boules entre deux urnes, sa diagonalisation, et on détermine sa loi stationnaire par le calcul de la limite de ses puissances.

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2016.

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MATHÉMATIQUES

mardi 3 mai 2016, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On considère la fonction

f

définie sur

ℝ_(+ +)^*

par:

\forallx \in ℝ_+^*, f(x) = (e^(- x))/x

.
On considère également la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par

u_0 = 1

et par la relation

u_(n + 1) = f(u_n)

, valable pour tout entier naturel

n

a) Dresser le tableau de variation de $f$ , limites comprises.
b) Vérifier que chaque terme de la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est parfaitement défini et strictement positif.
Les scripts suivants renvoient, pour celui de gauche, la valeur 5, et pour celui de droite, la valeur 6. Que sait-on de $u_5$ et $u_6$ ? Quelle conjecture peut-on émettre sur le comportement de la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ ?

u=1
n = 0
while u> 0.00001
u= exp(-u)/u
n = n+1
end
disp(n)

u=1
n = 0
while u<100 000
u= exp (-u)/u
n = n+1
end
disp(n)

a) Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $ℝ_+$ par: $\forallx \in ℝ_+, g(x) = e^(- x) - x^2$ .
b) En déduire que l'équation $f(x) = x$ , d'inconnue $x$ , possède une seule solution, que l'on notera $α$ , sur $ℝ_+^*$ .
c) Montrer que $1/e < α < 1$ .
a) Établir les deux inégalités: $u_2 > u_0$ et $u_3 < u_1$ .
b) En déduire les variations des suites $(u_(2n))_(n \in ℕ)$ et $(u_(2n + 1))_(n \in ℕ)$ .
On pose : $h(x) = {(f \circ f)(x) si x > 0; 0 si x = 0$ .
a) Déterminer $h(x)$ pour tout réel $x$ strictement positif et vérifier que $h$ est continue en 0 .
b) Résoudre l'équation $h(x) = x$ , d'inconnue $x$ élément de $ℝ_+$ .
c) En déduire la limite de la suite $(u_(2n + 1))_(n \in ℕ)$ .
d) Montrer par l'absurde que la suite $(u_(2n))_(n \in ℕ)$ diverge puis donner $lim_(n \to + \infty)u_(2n)$ .

Exercice 2

Dans cette question, $f$ est un endomorphisme de $ℝ^n$ qui vérifie $f \circ (f - Id)^2 = 0$ , où $Id$ désigne l'endomorphisme identité de $ℝ^n$ .
a) Déterminer $(f - Id)^2 + f \circ (2Id - f)$ .
b) En déduire que : $\forallx \in ℝ^n, x = (f - Id)^2(x) + (f \circ (2Id - f))(x)$ .
c) Utiliser ce dernier résultat pour établir que $ℝ^n = Ker(f) \oplus Im(f)$ .
Dans cette question, $f$ est un endomorphisme de $ℝ^n$ tel que : $f \circ (f - Id) \circ (f - 4Id) = 0$ .
a) Déterminer un polynôme $P$ du premier degré vérifiant $1/4(X - 1)(X - 4) + XP(X) = 1$ .
b) En déduire que : $ℝ^n = Ker(f) \oplus Im(f)$ .
Dans cette question, $f$ est un endomorphisme de $ℝ^n$ et $P$ est un polynôme annulateur de $f$ , dont le degré est égal à $p$ (avec $p \geq 2$ ), et tel que $P(0) = 0$ et $P^'(0) \neq 0$ .
a) Montrer qu'il existe $p$ réels $a_1, \dots, a_p$ avec $a_1 \neq 0$ , tels que $P = a_1 X + \dots + a_p X^p$ .
b) En déduire que $Ker(f) \cap Im(f) = {0}$ , puis établir que $ℝ^n = Ker(f) \oplus Im(f)$ .
c) En quoi cette question est-elle une généralisation des deux questions précédentes ?

Exercice 3

Les questions 1) et 2) sont indépendantes des suivantes.
Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres

m

σ^2

(avec

σ > 0

). On rappelle qu'une densité de

X

est la fonction

φ_(m, σ^2)

définie sur

ℝ

par:

\forallx \in ℝ, φ_(m, σ^2)(x) = 1/(σ\sqrt(2π))e^(- ((x - m)^2)/(2σ^2))

.
On suppose que l'on ne connaît pas les paramètres

θ_1 = m

θ_2 = σ^2

et on souhaite les estimer par une méthode appelée méthode du maximum de vraisemblance.
Pour ce faire, on considère un

n

-échantillon (

X_1, \dots, X_n

) de la loi de

X

, avec

n \geq 2

. On rappelle que les variables aléatoires

X_1, \dots, X_n

sont indépendantes et suivent toutes la même loi que

X

.
On appelle vraisemblance du couple

(θ_1, θ_2)

, la fonction notée

L

définie par :

ù é é L(θ_1, θ_2) = \prod_(i = 1)^n φ_(θ_1, θ_2)(x_i), où x_1, \dots, x_n sont des réels donnés

Donner l'expression de $L(θ_1, θ_2)$ , puis celle de $ln(L(θ_1, θ_2))$ en fonction de $θ_1, θ_2$ et $x_1, \dots$ , $x_n$ .
a) Justifier que la fonction $f : (θ_1, θ_2) \mapsto ln(L(θ_1, θ_2))$ , définie sur l'ouvert $U = ℝ \times ℝ_+^*$ , est de classe $C^2$ sur $U$ .
b) Montrer que $f$ admet un seul point critique $A = (θ_1 ˆ, θ_2 ˆ)$ sur $U$ tel que :

θ_1 ˆ = 1/n\sum_(i = 1)^n x_i et θ_2 ˆ = 1/n\sum_(i = 1)^n x_i^2 - θˆ_1^2

c) Déterminer les valeurs des dérivées partielles d'ordre 2 de

f

A

On vérifiera en particulier que :

\partial_(2, 2)^2(f)(θ_1 ˆ, θ_2 ˆ) = (- n)/(2θˆ_2^2)

.
d) En déduire que

f

admet un maximum local en

(θ_1 ˆ, θ_2 ˆ)

.
e) Expliquer pourquoi la fonction

L

admet aussi un maximum local en

(θˆ_1, θˆ_2)

On pose dorénavant

X_n^- = 1/n\sum_(i = 1)^n X_i

Z_n = 1/n\sum_(i = 1)^n X_i^2 - X_n^-^2

.
3) Vérifier que

X_n^-

est un estimateur sans biais de

m

.
4) Montrer que

Z_n

est un estimateur asymptotiquement sans biais de

σ^2

.
5) On se propose, dans cette question, de montrer que

Z_n

est un estimateur convergent de

σ^2

.
a) Rappeler pourquoi la suite

(X_n^-)

converge en probabilité vers

m

. Qu'en déduire pour la suite

(X_n^-^2)

? Justifier.
b) Montrer que

X

possède un moment d'ordre 4 . En déduire que la suite

(1/n\sum_(i = 1)^n X_i^2)

converge en probabilité vers

σ^2 + m^2

.
c) Établir que, pour tout

ε

strictement positif, on a :

(|Z_n - σ^2| \geq ε) \subset (|1/n\sum_(i = 1)^n X_i^2 - (σ^2 + m^2)| \geq ε/2) \cup (|Xn^-_n^2 - m^2| \geq ε/2)

d) Déduire des questions précédentes que

Z_n

est un estimateur convergent de

σ^2

Problème

Partie 1 : résultats préliminaires

Pour chaque entier naturel $n$ , on considère une matrice $A_n$ de $ℳ_4(ℝ)$ , dont l'élément situé à l'intersection de la $è i^(ème)$ ligne et de la $è j^(ème)$ colonne est noté $a_(i, j)(n)$ , ainsi qu'une matrice $A$ de $M_4(ℝ)$ , dont l'élément situé à l'intersection de la $ì i^(ìme)$ ligne et de la $è j^(ème)$ colonne est $a_(i, j)$ .
On suppose que la suite de matrices ( $A_n$ ) converge vers la matrice $A$ , c'est-à-dire que :

\forall(i, j) \in [ [1, 4] ] \times [ [1, 4] ], lim_(n \to + \infty)a_(i, j)(n) = a_(i, j)

Soient

B

C

deux autres matrices de

M_4(ℝ)

, indépendantes de

n

.
Montrer que

lim_(n \to + \infty)BA_n = BA

. On admet que ceci reste vrai si

B

appartient à

M_(1, 4)(ℝ)

.
On admet que

lim_(n \to + \infty)A_n C = AC

et que ceci reste vrai si

C

appartient à

ℳ_(4, 1)(ℝ)

.
On admet également que

lim_(n \to + \infty)BA_n C = BAC

.
2) Montrer que, si une matrice

A

M_4(ℝ)

est telle que, pour tout

i

[ [1, 4] ], \sum_(j = 1)^4 a_(i, j)

est une constante

c

, alors

c

est valeur propre de

A

.
3) Montrer que si une matrice

A

M_4(ℝ)

est diagonalisable, alors la somme de ses valeurs propres, (chacune étant comptée un nombre de fois égal à la dimension du sous-espace propre associé) est égale à la trace de

A

Partie 2 : étude de la matrice d'une chaîne de Markov

On considère deux urnes

U

V

contenant chacune 3 boules. Au départ, l'urne

U

contient 3 boules blanches et l'urne

V

contient 3 boules noires.
On effectue une suite de tirages dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à tirer au hasard une boule de chaque urne et à la mettre dans l'autre urne (un tirage est un échange de 2 boules).

Pour tout entier naturel

n

, on note

X_n

la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient

U

avant le

è (n + 1)^(ème)

tirage (c'est-à-dire après le

è n^(ème)

échange) et on a donc

X_0 = 3

.
On considère le vecteur ligne

L_n = (P(X_n = 0)P(X_n = 1)P(X_n = 2)P(X_n = 3))

.
4) Pour tout couple

(i, j)

d'éléments de

[ [0, 3] ]

, déterminer

P_((X_n = i))(X_(n + 1) = j)

.
5) a) Soit

M

la matrice de

ℳ_4(ℝ)

dont l'élément de la (

è i + 1)^(ème)

ligne et de la (

j + 1

) ème colonne est égal à

P_((X_n = i))(X_(n + 1) = j)

. Justifier soigneusement que

M

est la matrice donnée à la question 12).
b) Montrer que:

\foralln \in ℕ, L_(n + 1) = L_n M

.
c) En déduire que:

\foralln \in ℕ, L_n = L_0 M^n

.
6) a) Montrer sans calcul que 1 est valeur propre de

M

.
b) On considère les vecteurs

E_1 = (9, - 1, - 1; 9)

E_2 = (3, 1, - 1)

Montrer que

^t E_1

^t E_2

sont vecteurs propres de

M

et donner les valeurs propres associées.
c) Montrer que, si

M

est diagonalisable, alors

M

possède une quatrième valeur propre

λ

que l'on déterminera. Vérifier que

λ

est effectivement valeur propre de

M

et conclure que

M

est diagonalisable.

Partie 3 : recherche d'une loi stationnaire

Justifier qu'il existe une matrice $Q$ inversible, dont la première colonne ne contient que des " 1 ", et une matrice $D$ diagonale telles que $M = QDQ^(- 1)$ .
Montrer que : $lim_(n \to + \infty)M^n = Q(1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 0)Q^(- 1)$ .
Soit $L = (ℓ_1, ℓ_2, ℓ_3, ℓ_4)$ la première ligne de $Q^(- 1)$ .
a) En utilisant la relation $Q^(- 1)M = DQ^(- 1)$ , montrer que : $ℓ_1 = ℓ_4$ et $ℓ_2 = ℓ_3 = 9ℓ_4$ .
b) Conclure, en considérant le produit $Q^(- 1)Q$ , que $ℓ_4 = 1/(20)$ .
Déduire de ce qui précède les 16 coefficients de la matrice $lim_(n \to + \infty)M^n$ .
On considère une autre expérience aléatoire qui consiste à tirer 3 boules, une par une et sans remise, dans une urne qui en contient 6 , dont 3 sont blanches et 3 sont noires.
On note $B_k$ (resp. $N_k$ ) l'événement «obtenir une boule blanche (resp. noire) au $è k^(ème)$ tirage» et $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
a) Quelle est la loi de $X$ ?
b) Vérifier que $(P(X = 0); P(X = 1); P(X = 2); P(X = 3))$ est vecteur propre de $^t M$ , associé à la valeur propre 1.
c) Montrer que la suite ( $X_n$ ) converge en loi vers $X$ .
On rappelle que la commande $X = grand(n$ , 'markov' , $M, XO)$ renvoie les $n$ premiers états suivant l'état initial $X_0$ , d'une chaîne de Markov de matrice $M$ et on rappelle également que Scilab assimile un booléen vrai au nombre 1 et un booléen faux au nombre 0 .
On considère le script suivant :

n = input('entrez la valeur de n :')
M= [0,1,0,0; 1/9,4/9,4/9,0; 0,4/9,4/9,1/9; 0,0,1,0]
X = grand(n,'markov',M,4)-1
f = sum(X==0)/n
disp(f)

De quelle valeur exacte le contenu de

f

est-il proche lorsque

n

est assez grand ?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies EDHEC ECS 2016 ?

Il porte sur l'étude de suites récurrentes, l'algèbre linéaire des endomorphismes, l'estimation statistique et les chaînes de Markov.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les trois exercices et le problème sont indépendants entre eux ; à l'intérieur de l'exercice 3, les questions 1 et 2 sont elles-mêmes indépendantes des suivantes.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La méthode du maximum de vraisemblance et la convergence en probabilité pour l'exercice 3, la diagonalisation des matrices et les chaînes de Markov pour le problème.

Le problème de ce sujet demande-t-il de programmer ?

Il fait intervenir un script Scilab de simulation d'une chaîne de Markov, à interpréter plutôt qu'à écrire soi-même.

Pas de description pour le moment

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