Ecricome Maths appliquées ECE 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2016

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Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2016.

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prepa
Mathématiques
Option Économique

Mercredi 20 avril 2016 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 5 pages.

CONSIGNES

Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, vous devez le restituer aux examinateurs à la fin de la session ou le laisser sur table selon la consigne donnée dans votre centre d'écrits.

EXERCICE 1

Partie A

Pour tout couple de réels

(x, y)

, on définit la matrice

M(x, y)

par :

M(x, y) = (3x, - 2x + 2y, 2x - y; - x - y, 4x - 3y, - 2x + y; - 2y, 4x - 4y, - x + y)

On appelle

E

l'ensemble des matrices

M(x, y)

où

x

y

décrivent

ℝ

E = {M(x, y), (x, y) ∈ ℝ^2}.

On note

A = M(1, 0)

B = M(0, 1)

Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(ℝ)$ . En déterminer une base et donner sa dimension.
Montrer que 1,2 et 3 sont valeurs propres de $A$ et déterminer les espaces propres associés. $A$ est-elle diagonalisable?
Déterminer une matrice inversible $P$ de $M_3(ℝ)$ dont la première ligne est ( $1, - 2, 1$ ), et telle que :

ù A = PD_A P^(- 1) où D_A = (1, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, 3).

Déterminer $P^(- 1)$ (faire figurer le détail des calculs sur la copie).
En notant $X_1, X_2$ et $X_3$ les trois vecteurs colonnes formant la matrice $P$ , calculer $BX_1, BX_2$ et $BX_3$ . En déduire l'existence d'une matrice diagonale $D_B$ que l'on explicitera telle que :

B = PD_B P^(- 1).

En déduire que pour tout $(x, y) \in ℝ^2$ , il existe une matrice diagonale $D(x, y)$ de $M_3(ℝ)$ telle que :

M(x, y) = PD(x, y)P^(- 1).

En déduire une condition nécessaire et suffisante sur ( $x, y$ ) pour que $M(x, y)$ soit inversible.
Montrer que $B^2$ est un élément de $E$ . La matrice $A^2$ est-elle aussi un élément de $E$ ?

Partie B

On souhaite dans cette partie étudier les suites

(a_n)_(n \in ℕ), (b_n)_(n \in ℕ)

(c_n)_(n \in ℕ)

définies par les conditions initiales

a_0 = 1

b_0 = 0, c_0 = 0

et les relations de récurrence suivantes:

{a_(n + 1) = 3a_n + 4b_n − c_n; b_(n + 1) = − 4a_n − 5b_n + c_n; c_(n + 1) = − 6a_n − 8b_n + 2c_n

Pour tout

n \in ℕ

, on pose

X_n = (a_n; b_n; c_n)

Que vaut $X_0$ ?
Déterminer une matrice $C$ telle que pour tout $n \in ℕ$ , on ait :

X_(n + 1) = CX_n.

Déterminer ensuite deux réels

x

y

tels que

C = M(x, y)

.
3. Montrer que, pour tout

n \in ℕ, X_n = C^n X_0

.
4. À l'aide des résultats de la partie A , exprimer

a_n, b_n

c_n

en fonction de

n

EXERCICE 2

Pour tout $n \in ℕ$ , on définit la fonction $g_n : [0, + \infty[ \to ℝ$ par :

g_n(x) = ((ln(1 + x))^n)/((1 + x)^2)

(a) Étudier les variations de la fonction

g_0

, définie sur

[0, + \infty[

par :

g_0(x) = 1/((1 + x)^2)

Préciser la limite de

g_0

+ \infty

, donner l'équation de la tangente en 0 , et donner l'allure de la courbe représentative de

g_0

.
(b) Pour

n ⩾ 1

, justifier que

g_n

est dérivable sur

[0, + \infty[

et montrer que :

\forallx \in [0, + \infty[, g_n^'(x) ⩾ 0 ⟺ n ⩾ 2ln(1 + x).

En déduire les variations de la fonction

g_n

lorsque

n ⩾ 1

.
Calculer soigneusement

lim_(x \to + \infty)g_n(x)

.
(c) Montrer que, pour

n ⩾ 1, g_n

admet un maximum sur

[0, + \infty[

qui vaut :

M_n = (n/(2e))^n

et déterminer

lim_(n \to + \infty)M_n

.
(d) Montrer enfin que pour tout

n ⩾ 1

g_n(x) = o_(x \to + \infty)(1/(x^(3/2)))

On pose pour tout $n \in ℕ$ :

I_n = \int_0^(+ \infty)g_n(t)dt

(a) Montrer que l'intégrale

I_0

est convergente et la calculer.
(b) Montrer que pour tout entier

n ⩾ 1

, l'intégrale

I_n

est convergente.
(c) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

\foralln \in ℕ, I_(n + 1) = (n + 1)I_n

(d) En déduire que :

\foralln \in ℕ, I_n = n!.

Pour tout $n \in ℕ$ , on définit la fonction $f_n$ par :

∀x ∈ ℝ, f_n(x) = {0, si x < 0; 1/(n!)g_n(x), si x ⩾ 0

(a) Montrer que pour tout

n \in ℕ, f_n

est une densité de probabilité.

On considère à présent, pour tout

n \in ℕ, X_n

une variable aléatoire réelle admettant

f_n

pour densité. On notera

F_n

la fonction de répartition de

X_n

.
(b) La variable aléatoire

X_n

admet-elle une espérance?
(c) Que vaut

F_n(x)

pour

x < 0

n \in ℕ

?
(d) Calculer

F_0(x)

pour

x ⩾ 0

.
(e) Soit

x ⩾ 0

k \in ℕ^*

. Montrer que :

F_k(x) - F_(k - 1)(x) = - 1/(k!)((ln(1 + x))^k)/(1 + x)

(f) En déduire une expression de

F_n(x)

pour

x ⩾ 0

n \in ℕ^*

faisant intervenir une somme (on ne cherchera pas à calculer cette somme).

ECRICOME

(g) Pour

x \in ℝ

fixé, déterminer la limite de

F_n(x)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
(h) La suite de variables aléatoires

(X_n)_(n \in ℕ)

converge-t-elle en loi ?
4. Pour tout

n \in ℕ

, on note

Y_n = ln(1 + X_n)

.
(a) Justifier que

Y_n

est bien définie. Quelles sont les valeurs prises par

Y_n

?
(b) Justifier que

Y_n

admet une espérance et la calculer.
(c) Justifier que

Y_n

admet une variance et la calculer.
(d) On note

H_n

la fonction de répartition de

Y_n

. Montrer que :

\forallx \in ℝ, H_n(x) = F_n(e^x - 1).

(e) Montrer que

Y_n

est une variable aléatoire à densité et donner une densité de

Y_n

.
(f) Reconnaître la loi de

Y_0

. À l'aide de ce qui précède, déterminer le moment d'ordre

k

Y_0

pour tout

k \in ℕ^*

EXERCICE 3

Dans tout l'exercice,

X

Y

sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé et à valeurs dans

ℕ

. On dit que les deux variables

X

Y

sont échangeables si :

\forall(i, j) \in ℕ^2, P([X = i] \cap [Y = j]) = P([X = j] \cap [Y = i])

Résultats préliminaires

On suppose que $X$ et $Y$ sont deux variables indépendantes et de même loi.

Montrer que

X

Y

sont échangeables.
2. On suppose que

X

Y

sont échangeables. Montrer, à l'aide de la formule des probabilités totales, que :

\foralli \in ℕ, P(X = i) = P(Y = i)

Étude d'un exemple

Soient

n, b

c

trois entiers strictement positifs.
Une urne contient initialement

n

boules noires et

b

boules blanches. On effectue l'expérience suivante, en distinguant trois variantes.

On pioche une boule dans l'urne.

On définit

X

la variable aléatoire qui vaut 1 si cette boule est noire et 2 si elle est blanche.

On replace la boule dans l'urne et :

Variante 1 : on ajoute dans l'urne $c$ boules de la même couleur que la boule qui vient d'être piochée.
Variante 2 : on ajoute dans l'urne $c$ boules de la couleur opposée à celle de la boule qui vient d'être piochée.

★ Variante 3 : on n'ajoute pas de boule supplémentaire dans l'urne.

On pioche à nouveau une boule dans l'urne.

On définit

Y

la variable aléatoire qui vaut 1 si cette seconde boule piochée est noire et 2 si elle est blanche.
3. (a) Compléter la fonction Scilab suivante, qui simule le tirage d'une boule dans une urne contenant

b

boules blanches et

n

boules noires et qui retourne 1 si la boule tirée est noire, et 2 si la boule tirée est blanche.

function res = tirage( b , n )
    r = rand()
    if ........... then
        res = 2
    else
        res = 1
    end
endfunction

(b) Compléter la fonction suivante, qui effectue l'expérience étudiée avec une urne contenant initialement

b

boules blanches,

n

boules noires et qui ajoute éventuellement

c

boules après le premier tirage, selon le choix de la variante dont le numéro est variante.
Les paramètres de sortie sont :

x : une simulation de la variable aléatoire $X$
y : une simulation de la variable aléatoire $Y$

function [ x , y ] = experience ( b , n , c , variante )
    x = tirage ( b , n )
    if variante == 1 then
        if x == 1 then
            ............
        else
            .... . . . . . . .
        end
    else if variante == 2 then
        ............
        ............
        ............
        ............
        ............
    end
    y = tirage ( b , n )
endfunction

N

fois (avec

N \in ℕ^*

), et qui estime la loi de

X

, la loi de

Y

et la loi du couple (

X, Y

).
Les paramètres de sortie sont :

loiX : un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime $[P(X = 1), P(X = 2)]$
loiY : un tableau unidimensionnel à deux éléments qui estime $[P(Y = 1), P(Y = 2)]$
loiXY : un tableau bidimensionnel à deux lignes et deux colonnes qui estime :

[P([X = 1] \cap [Y = 1]), P([X = 1] \cap [Y = 2]); P([X = 2] \cap [Y = 1]), P([X = 2] \cap [Y = 2])]

function [ loiX, loiY , loiXY ] = estimation(b,n,c,variante,N)
    loiX = [ 0 , 0 ]
    loiY = [ 0 , 0 ]
    loiXY = [ 0 , 0 ; 0 , 0 ]
    for k = 1 : N
        [x , y] = experience( b , n , c , variante )
        loiX(x) = loiX(x) + 1
        ...........
        ...........
    end
    loiX = loiX / N
    loiY = loiY / N
    loiXY = loiXY / N
endfunction

(d) On exécute notre fonction précédente avec

b = 1, n = 2, c = 1, N = 10000

et dans chacune des variantes. On obtient :

-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,1,10000)
    LoiXY =
        0.49837 0.16785
        0.16697 0.16681
    LoiY =
        0.66534 0.33466
    LoiX =
        0.66622 0.33378
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,2,10000)
    LoiXY =
        0.33258 0.33286
        0.25031 0.08425
    LoiY =
        0.58289 0.41711
    LoiX =
        0.66544 0.33456
-->[loiX,loiY,loiXY] = estimation(1,2,1,3,10000)
    LoiXY =
        0.44466 0.22098
        0.22312 0.11124
    LoiY =
        0.66778 0.33222
    LoiX =
        0.66564 0.33436

En étudiant ces résultats, émettre des conjectures quant à l'indépendance et l'échangeabilité de

X

Y

dans chacune des variantes.
On donne les valeurs numériques approchées suivantes :

0.33 \times 0.33 ≃ 0.11; 0.33 \times 0.41 ≃ 0.14; 0.33 \times 0.58 ≃ 0.19; 0.33 \times 0.66 ≃ 0.22; 0.41 \times 0.66 ≃ 0.27; 0.58 \times 0.66 ≃ 0.38; 0.66 \times 0.66 ≃ 0.44

On se place dans cette question dans le cadre de la variante 1.
(a) Donner la loi de $X$ .
(b) Déterminer la loi du couple $(X, Y)$ .
(c) Déterminer la loi de $Y$ .
(d) Montrer que $X$ et $Y$ sont échangeables mais ne sont pas indépendantes.

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