WikiPrépaLivrets

BCE Maths appliquées HEC ECE 2000Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2000

Pas encore noté
Logo concours BCE

Explorer les annales

BanqueBCEAnnée2000FilièreECEMatièreMathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2000ECE MathématiquesMathématiques 2000

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2000.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Jeudi 18 Mai 2000, de 8h. à 12h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE I

  1. Montrer que, pour tout nombre réel x > 0 et tout nombre entier naturel k, l'intégrale
∫_1^∞(t^k e^(− xt))/(1 + t^5) dt
est convergente.
Pour quelles valeurs de l'entier k cette intégrale est-elle aussi convergente pour x = 0 ?
2. On se propose d'étudier la fonction F définie, pour x ≥ 0, parF(x) = ∫_1^∞(e^(− xt))/(1 + t^5) dt. Montrer que la fonction F est une fonction strictement positive, décroissante et que
lim_(x → + ∞)F(x) = 0
  1. a) Montrer que, pour tout réel t ≥ 0, tout réel x et tout réel h ≥ 0, on a
|e^(− t(x + h)) − e^(− tx) + the^(− tx)| ≤ (t^2 h^2)/2e^(− tx)
b) Montrer de même que, pour tout réel t ≥ 0, tout réel x et tout réel h ≤ 0, on a
|e^(− t(x + h)) − e^(− tx) + the^(− tx)| ≤ (t^2 h^2)/2e^(− t(x + h))
c) En déduire que pour tout réel x ≥ 0 et tout réel h tel que x + h ≥ 0, on a
|F(x + h) − F(x) + h∫_1^∞(te^(− xt))/(1 + t^5) dt| ≤ (h^2)/2∫_1^∞(t^2)/(1 + t^5) dt
d) Montrer enfin que la fonction F est dérivable sur [0, + ∞[ et donner une expression de sa fonction dérivée F^′.
4. Montrer de même que F^′ est dérivable sur [0, + ∞[ et que F^(′′)(x) = ∫_1^∞(t^2 e^(− xt))/(1 + t^5) dt.
5. On se propose de montrer que la fonction ln(F) est convexe.
a) Montrer que si a, b et c sont trois nombres réels tels que, pour tout nombre réel λ, on ait l'inégalité : aλ^2 + 2bλ + c ≥ 0, alors, nécessairement, ac − b^2 ≥ 0.
b) En déduire que la fonction ln(F) est une fonction convexe.

EXERCICE II

On dispose de deux jetons A et B que l'on peut placer dans deux cases C_0 et C_1, et d'un dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, l'une des lettres a, b ou c. Au début de l'expérience, les deux jetons sont placés dans C_0. On procède alors à une série de tirages indépendants de l'une des trois lettres a, b ou c.
À la suite de chaque tirage, on effectue l'opération suivante :
  • si la lettre a est tirée, on change le jeton A de case,
  • si la lettre b est tirée, on change le jeton B de case,
  • si la lettre c est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On suppose qu'il existe un espace probabilisé dont la probabilité est notée P, qui modélise cette expérience et que l'on définit deux suites de variables aléatoires sur cet espace, (X_n)_(n ≥ 0) et (Y_n)_(n ≥ 0), décrivant les positions respectives des jetons A et B, en posant :
X_0 = Y_0 = 0, et pour tout entier naturel n non nul, X_n = 0si, à l'issue de la n^(ième) opération, le jeton A se trouve dans C_0 et X_n = 1 s'il se trouve dans C_1; de même, Y_n = 0 si le jeton B est dans C_0 à l'issue de la n^(ième) opération et Y_n = 1 s'il se trouve dans C_1.

I. Simulation

Écrire un programme en Turbo-Pascal permettant de simuler l'expérience, qui lira un entier N entré au clavier, représentant le nombre de tirages à effectuer, et qui affichera à l'écran la liste des couples observés (X_n, Y_n) pour 1 ≤ n ≤ N.
Ce programme utilisera la fonction RANDOM qui renvoie, pour un argument m de type INTEGER, un nombre entier de l'intervalle [0, m − 1], tiré au hasard et de manière équiprobable.
(Cette fonction doit être initialisée par la commande RANDOMIZE).

II. Étude du mouvement du jeton A

  1. a) Soit n un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à l'issue de la n^(ième) opération, le jeton A n'ait jamais quitté C_0.
    b) Quelle est la probabilité que le jeton A reste indéfiniment dans C_0 ?
  2. Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2 , on s'intéresse à l'événement D_k : à l'issue de la k^(ième) opération, le jeton A revient pour la première fois dans C_0. Déterminer la probabilité P(D_k).
  3. Soit M la matrice
M = (2, 1; 1, 2)
a) Déterminer les valeurs propres de M et donner une base de vecteurs propres.
b) En déduire l'expression de M^n, pour tout entier n strictement positif.
4. a) Calculer les probabilités P(X_1 = 0) et P(X_1 = 1).
b) Déterminer une matrice Q telle que, pour tout entier naturel n, on ait l'égalité matricielle :
((P(X_(n + 1) = 0))/(P(X_(n + 1) = 1))) = Q((P(X_n = 0))/(P(X_n = 1)))
c) Pour tout entier naturel n non nul, calculer la matrice Q^n et en déduire la loi de la variable X_n.

III. Étude du mouvement du couple de jetons ( A, B )

On suppose que l'on définit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires (W_n)_(n ≥ 0), à valeurs dans {0, 1, 2, 3}, décrivant les positions des deux jetons A et B, en posant :
W_0 = 0, et pour tout entier naturel n non nul,
W_n = 0 si, à l'issue de la n^(ième) opération, A et B se trouvent tous les deux dans C_0,
W_n = 1 si, à l'issue de la n^(ième) opération, A se trouve C_0 et B dans C_1,
W_n = 2si, à l'issue de la n^(ième) opération, A se trouve C_1 et B dans C_0,
W_n = 3 si, à l'issue de la n^(ième) opération, les deux jetons A et B se trouvent dans C_1.
  1. Calculer les probabilités P(W_1 = i) pour i égal à 0, 1, 2 et 3 .
  2. Déterminer la matrice R telle que, pour tout entier naturel n, on ait l'égalité matricielle :
(P(W_(n + 1) = 0); P(W_(n + 1) = 1); P(W_(n + 1) = 2); P(W_(n + 1) = 3)) = R(P(W_n = 0); P(W_n = 1); P(W_n = 2); P(W_n = 3))
  1. On considère les matrices:
I = (1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1), U = (1, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 1; 1, 1, 1, 1), V = (0, 0, 0, 1; 0, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 0; 1, 0, 0, 0)
a) Pour tout entier naturel n non nul, calculer les matrices U^n et V^n.
b) Êtablir, pour tout entier naturel non nul, l'égalité
(U − V)^n = ∑_(k = 0)^n(− 1)^k C_n^k U^(n − k)V^k
où, par convention, on pose : U^0 = V^0 = I.
c) En déduire, pour tout entier naturel non nul, l'égalité
(U − V)^n = 1/4[3^n − (− 1)^n]U + (− 1)^n V^n
  1. Pour tout entier naturel n non nul, calculer la matrice R^n et donner la loi de la variable W_n. (On distinguera les cas n pair et n impair).
  2. Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, la covariance de X_n et Y_n et calculer la limite de cette covariance quand n tend vers + ∞.

IV. Étude d'un temps de séjour

On suppose que chaque tirage, avec l'opération qui le suit, dure une minute. Ainsi, à l'issue de la n^(ième) opération, n minutes se sont écoulées depuis le début de l'expérience.
Soit n un entier naturel non nul.
On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jeton A a séjourné dans C_1, entre le début de l'expérience et l'issue de la n^(ième) opération, est une variable aléatoire que l'on note T_n.
  1. Exprimer T_n à l'aide des variables X_k, pour k compris entre 1 et n.
  2. En déduire l'espérance E(T_n).
Calculer la limite de 1/nE(T_n) quand n tend vers l'infini.

Pas de description pour le moment