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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2000Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2000

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2000.

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École Supérieure de Commerce de Lyon

CONCOURS D'ENTRÉE 2000

MATHEMATIQUES
1 ère épreuve (option économique)

Mardi 2 mai 2000 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Exercice 1

On considère la matrice carrée réelle d'ordre trois :
J = (0, 2, 1; 0, − 1, 2; 0, 1, 0)
et l'endomorphisme f de ℝ^3 de matrice J dans la base canonique de ℝ^3.
On considère, pour tout nombre réel a, la matrice carrée réelle d'ordre trois :
M_a = (a, 2, 1; 0, a − 1, 2; 0, 1, a)
  1. a. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
    b. Montrer que J est diagonalisable. Déterminer une matrice réelle diagonale D d'ordre trois et une matrice réelle inversible P d'ordre trois telles que J = PDP^(− 1).
    c. En déduire que, pour tout nombre réel a, il existe une matrice réelle diagonale D_a d'ordre trois, que l'on calculera, telle que M_a = PD_a P^(− 1).
    d. Quel est l'ensemble des nombres réels a tels que M_a soit inversible ?
  2. On se propose, dans cette question, de déterminer l'ensemble des nombres réels a tels qu'il existe une matrice X carrée réelle d'ordre trois vérifiant X^2 = M_a.
    a. Soient a un nombre réel et X une matrice carrée réelle d'ordre trois tels que X^2 = M_a.
    α) Montrer que X commute avec M_a, puis que X commute avec J.
    β ) On note h l'endomorphisme de ℝ^3 de matrice X dans la base canonique de ℝ^3.
    Déduire de la question précédente que tout vecteur propre de f est vecteur propre de h.
    γ ) Etablir qu'il existe une matrice réelle diagonale Δ d'ordre trois telle que X = PΔP^(− 1) et montrer : Δ^2 = D_a.
    δ) En déduire : a ⩾ 2.
    b. Réciproquement, montrer que, pour tout nombre réel a supérieur ou égal à 2 , il existe une matrice carrée réelle X d'ordre trois telle que X^2 = M_a.
    c. Conclure.

Exercice 2

On considère la fonction f : ] − 1; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout x de ] − 1; + ∞[, par :
f(x) = {1, si x = 0; (ln(1 + x))/x, si x ∈ ] − 1; 0[ ∪ ]0; + ∞[
1.a. Montrer que f est continue sur ] − 1; + ∞[.
b. Montrer que f est de classe C^1 sur ] − 1; 0[ et sur ]0; + ∞[.
Pour tout réel x de ] − 1; 0[ ∪ ]0; + ∞[, calculer f^′(x).
c. Montrer que f^′(x) tend vers − 1/2 lorsque x tend vers 0 .
d. En déduire que f est de classe C^1 sur ] − 1; + ∞[.
2. Montrer : ∀x ∈ ] − 1; + ∞[, x/(x + 1) − ln(1 + x) ⩽ 0.
En déduire les variations de f. On précisera les limites de f en -1 et + ∞.
3. Montrer que, pour tout x de l'intervalle ] − 1/2; + ∞[, l'intégrale ∫_x^(2x)f(t)dt existe.
4. On considère la fonction F : ] − 1/2; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout x de ] − 1/2; + ∞[, par :
F(x) = ∫_x^(2x)f(t)dt
a. Montrer que F est dérivable sur ] − 1/2; + ∞ [ et que F est croissante.
b. Montrer : ∀x ∈ ]0; + ∞[, F(x) ⩾ xf(2x).
c. En déduire que F(x) tend vers + ∞ quand x tend vers + ∞.
d. Montrer que l'intégrale ∫_(− 1)^(− 1/2)f(t)dt est convergente.
En déduire que la fonction F admet une limite finie en − 1/2. On ne cherchera pas à calculer cette limite.

Exercice 3

Soit a un entier strictement positif.
On dispose d'un jeu usuel de 2n cartes ( n = 16 ou 26 ) qui contient donc deux rois rouges, et on envisage deux jeux d'argent régis par les protocoles suivants :

I. Premier protocole

Les cartes du jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire. Le joueur découvre les cartes, de gauche à droite jusqu'à obtenir le premier roi rouge.
On note X la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier roi rouge et E(X) son espérance.
  1. Montrer : ∀k ∈ {1, …, 2n − 1}, P(X = k) = (2n − k)/(n(2n − 1)).
  2. Montrer : E(X) = (2n + 1)/3.
On rappelle que pour tout entier naturel p ⩾ 1, on a : ∑_(k = 1)^p k^2 = (p(p + 1)(2p + 1))/6.
3. Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne a francs lorsqu'il obtient le premier roi rouge.
On note G_1 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge apparaît à la k^(ième) carte découverte, G_1 est égale à a − k.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire G_1.

II. Deuxième protocole

Les 2n cartes du même jeu sont alignées sur une table de façon aléatoire, mais cette fois-ci, le joueur peut découvrir au maximum n cartes.
Le joueur paie un franc chaque fois qu'il découvre une carte et gagne a francs lorsqu'il obtient le premier roi rouge.
On note G_2 la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Ainsi, si le premier roi rouge apparait à la k^(ième) carte découverte ( k ⩽ n ), G_2 est égale à a − k, et si le joueur n'obtient pas de roi rouge à l'issue des n premiers tirages, alors G_2 est égale à − n.
  1. Pour tout entier k ∈ {1, …, n}, déterminer P(G_2 = a − k).
  2. Vérifier : P(G_2 = − n) = (n − 1)/(2(2n − 1)).
  3. Montrer : E(G_2) = (3(3n − 1)a − (7n^2 − 1))/(6(2n − 1)).

III. Comparaison des deux protocoles

On suppose le jeu constitué de 32 cartes ( n = 16 ).
Déterminer, selon les valeurs de a, le protocole le plus favorable au joueur. Justifier la réponse.

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