WikiPrépaLivrets

BCE Maths appliquées emlyon ECE 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2002

Pas encore noté
Logo concours BCE

Explorer les annales

BanqueBCEAnnée2002FilièreECEMatièreMathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2002ECE MathématiquesMathématiques 2002

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2002.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTRÉE 2002

MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option économique)

Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1

On considère les deux matrices carrées réelles d'ordre quatre suivantes :
I = (1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 1), K = (1, 1, − 1, − 3; 1, 1, 1, − 2; 0, − 1, 0, 1; 1, 1, 0, − 2).
Les questions 2 et 3 sont indépendantes entre elles.
  1. a. Calculer K^(− 2).
    b. En déduire que la matrice K est inversible et déterminer K^(− 1).
    c. Montrer que la matrice K^′ n'admet aucune valeur propre réelle.
  2. Soient a et b deux nombres réels. On note M la matrice définie par M = aI + bK.
    a. Montrer: M^2 = − (a^2 + b^2)I + 2aM.
    b. En déduire que, si (a, b) ≠ (0, 0), alors la matrice M est inversible, et exprimer son inverse comme combinaison linéaire de I et M.
    c. Application : donner linverse de la matrice
(1 + √2, 1, − 1, − 3; 1, 1 + √2, 1, − 2; 0, − 1, √2, 1; 1, 1, 0, − 2 + √2)
  1. On note B = (e_1, e_2, e_3, e_4) la base canonique de ℝ^4, et f l'endomorphisme de ℝ^4 associé à la matrice K relativement à la base B. On considère les quatre éléments suivants de ℝ^4 :
v_1 = e_1, v_2 = f(e_1), v_3 = e_3, v_4 = f(e_3)
a. Montrer que la famille e = (v_1, v_2, v_3, v_4) est une base de ℝ^4.
b. Exprimer f(v_1), f(v_2), f(v_3), f(v_4) en fonction de v_1, v_2, v_3, v_4 et en déduire la matrice K^′ associée à f relativement à la base C.
c. Déterminer la matrice de passage P de la base B à la base C.
d. Rappeler l'expression de K^(− 1) en fonction de K^′, P et P^(− 1).

EXERCICE 2

On considère, pour tout n ∈ ℕ^∗, la fonction polynomiale P_n : [0; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout x ∈ [0; + ∞[, par :
P_n(x) = ∑_(k = 1)^(2n)((− 1)^k x^k)/k = − x + (x^2)/2 + ⋯ + (− x^(2n − 1))/(2n − 1) + (x^(2n))/(2n)

I. Étude des fonctions polynomiales P_n

  1. Montrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ [0; + ∞[ :
P_n^′(x) = (x^(2n) − 1)/(x + 1), où P_n^′ désigne la dérivée de P_n.
  1. Étudier, pour n ∈ ℕ^∗, les variations de P_n sur [0; + ∞[ et dresser le tableau de variations de P_n.
  2. Montrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ : P_n(1) < 0.
  3. a. Vérifier, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ [0; + ∞[ :
P_(n + 1)(x) = P_n(x) + x^(2n + 1)(− 1/(2n + 1) + x/(2n + 2)).
b. En déduire, pour tout n ∈ ℕ^∗ : P_n(2) ⩾ 0.
5. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗, l'équation P_n(x) = 0, d'inconnue x ∈ [1; + ∞[, admet une solution et une seule, notée x_n, et que:
1 < x_n ⩽ 2.
  1. Écrire un programme en langage Pascal qui calcule et affiche une valeur approchée décimale de x_2 à 10^(− 3) près.

II. Limite de la suite (x_n)_(n ∈ ℕ^∗)

  1. Établir, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ [0; + ∞[ :
P_n(x) = ∫_0^x(t^(2n) − 1)/(t + 1) dt
  1. En déduire, pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∫_1^(x_n)(t^(2n) − 1)/(t + 1) dt = ∫_0^1(1 − t^(2n))/(t + 1) dt
  1. Démontrer, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout t ∈ [1; + ∞[ :
t^(2n) − 1 ⩾ n(t^2 − 1)
  1. En déduire, pour tout n ∈ ℕ^∗ :
∫_1^(x_n)(t^(2n) − 1)/(t + 1) dt ⩾ n/2(x_n − 1)^2
puis :
0 < x_n − 1 ⩽ (√(2ln2))/(√n).
  1. Conclure quant à la convergence et à la limite de la suite (x_n)_(n ∈ ℕ^∗).

EXERCICE 3

1. Étude préliminaire

On admet, pour tout entier naturel k et pour tout réel x de [0; 1[, que la série ∑_(n ⩾ k)C_n^k x^n est convergente et on note s_k(x) = ∑_(n = k)^(+ ∞)C_n^k x^n.
a. Vérifier, pour tout réel x de [0; 1[ :
s_0(x) = 1/(1 − x) et s_1(x) = x/((1 − x)^2)
b. Pour tout couple d'entiers naturels (n, k) tel que k < n, montrer :
C_(n + 1)^(k + 1) = C_n^k + C_n^(k + 1)
c. Pour tout entier naturel k et pour tout réel x de [0; 1[, déduire de la question précédente :
s_(k + 1)(x) = xs_k(x) + xs_(k + 1)(x)
d. Montrer, par récurrence :
∀k ∈ ℕ, ∀x ∈ [0; 1[, s_k(x) = (x^k)/((1 − x)^(k + 1))

2. Étude d'une expérience aléatoire

On considère une urne contenant une boule noire et quatre boules blanches. On effectue l'expérience aléatoire suivante :
  • On commence par tirer des boules de l'urne une à une avec remise jusqu'à obtenir la boule noire (que l'on remet aussi dans l'urne).
    On définit la variable aléatoire N égale au nombre de tirages avec remise nécessaires pour obtenir la boule noire.
  • Puis, si N prend une valeur entière positive non nulle notée n, on réalise alors une seconde série de n tirages dans l'urne, toujours avec remise.
    On définit la variable aléatoire X égale au nombre de fois où la boule noire a été obtenue dans cette seconde série de tirages.
    a. Déterminer la loi de la variable aléatoire N. Donner son espérance.
    b. Soient k ∈ ℕ et n ∈ ℕ^∗. Déterminer la probabilité conditionnelle P(X = k/N = n).
    c. Vérifier : P(X = 0) = 4/9.
    d. En utilisant l'étude préliminaire, montrer :
∀k ∈ ℕ^∗, P(X = k) = (25)/(36)(4/9)^k
e. Montrer que X admet une espérance E(X) et calculer E(X).
f. Montrer :
∀k ∈ ℕ, P(X ⩽ k) = 1 − 5/9(4/9)^k

3. Étude d'une variable aléatoire à densité

On note a = − (ln9 − ln5)/(ln9 − ln4) et on définit la fonction F sur ℝ par :
{F(x) = 1 − 5/9(4/9)^x, si x ∈ [a; + ∞[; F(x) = 0, sinon.
On rappelle: ∀x ∈ ℝ, (4/9)^x = e^(xln4/9).
a. Montrer que F est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité, notée Y.
b. Déterminer une densité f de Y.
c. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur ℝ par g(x) = xe^(xln4/9).
d. Montrer que Y^′ admet une espérance E(Y^′) et calculer E(Y^′).

Pas de description pour le moment