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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2003

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2003.

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Programme ESC de l'E.M.Lyon
Concours d'entrée 2003

EXERCICE 1

On note M_3(ℝ) l'ensemble des matrices réelles d'ordre 3 et on considère les matrices suivantes de M_3(ℝ) :
I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1) et A = (1, 1, 1; 1, 0, 0; 1, 0, 0)

Première partie

  1. Calculer A^2 et A^3, puis vérifier : A^3 = A^2 + 2A.
  2. Montrer que la famille (A, A^2) est libre dans M_3(ℝ).
  3. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , il existe un couple unique (a_n, b_n) de nombres réels tel que : A^n = a_n A + b_n A^2, et exprimer a_(n + 1) et b_(n + 1) en fonction de a_n et b_n.
  4. Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche a_n et b_n pour un entier n donné supérieur ou égal à 1.
  5. a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
a_(n + 2) = a_(n + 1) + 2a_n
b. En déduire a_n et b_n en fonction de n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 .
c. Donner l'expression de A^n en fonction de A, A^2, n, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 .

Seconde partie

On note f l'endomorphisme de ℝ^3, dont la matrice, relativement à la base canonique ( e_1, e_2, e_3 ) de ℝ^3, est A.
  1. Déterminer une base de Im(f) et donner la dimension de Im(f).
  2. a. Est-ce que f est diagonalisable ?
    b. Est-ce que f est bijectif ?
  3. Déterminer les valeurs propres de f, et donner, pour chaque sous-espace propre de f, une base de ce sous-espace propre.
  4. Déterminer une matrice diagonale D, dont les termes diagonaux sont dans l'ordre réel croissant, et une matrice inversible P dont la troisième ligne est formée de termes tous égaux à 1 , telle que A = PDP^(− 1), et calculer P^(− 1).
  5. Déterminer l'ensemble des matrices M de M_3(ℝ) telles que : AM + MA = 0.

Exercice 2

On note e = exp(1) et ℝ_+^∗ = ]0, + ∞[.
On note, pour tout nombre réel a non nul, l'application f_a : ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ → ℝ définie par :
∀(x, y) ∈ ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗, f_a(x, y) = (xe^(− x))/y − y/a
Les deux parties de l'exercice sont indépendantes entre elles.

Première partie

Dans cette partie, on prend a = − e et on note g à la place de f_(− e).
Ainsi, l'application gℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ → ℝ est définie par :
∀(x, y) ∈ ℝ_+^∗ xℝ_+^∗, f_a(x, y) = (xe^(− x))/y + y/e
  1. Montrer que g est de classe C^2 sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗.
  2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de g en tout point (x, y) de ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗.
  3. Montrer qu'il existe un couple unique ( x, y ) de ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ en lequel les deux dérivées partielles d'ordre 1 de g s'annulent, et calculer ce couple.
  4. Est-ce que g admet un extremum ?

Seconde partie

Dans cette seconde partie, on prend a = 1.
On considère, pour tout entier n tel que n ≥ 1, l'application h_n : ]0, + ∞[ → ℝ définie par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, h_n(x) = f_1(x, x^n) = (xe^(− x))/(x^n) − x^n
et l'application φ_n : ]0, + ∞[ → ℝ définie par :
∀x ∈ ]0, + ∞[, φ_n(x) = e^(− x) − x^(2n − 1)
  1. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, ∀x ∈ ]0, + ∞[, h_n(x) = 0 ⇔ φ_n(x) = 0
    b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , l'équation h_n(x) = 0, d'inconnue x ∈ ]0, + ∞[, admet une solution et une seule, notée u_n, et que :
0 < u_n < 1.
  1. a. Montrer, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : lnu_n = − (u_n)/(2n − 1).
    b. En déduire : u_n → 1_(n → + ∞).

EXERCICE 3

  1. Montrer que l'intégrale ∫_2^(+ ∞)1/(x√x) dx est convergente et calculer sa valeur.
Soit f : ℝ → ℝ la fonction définie par :
{f(x) = 0 si x < 2; f(x) = 1/(x√(2x)) si x ≥ 2
  1. Montrer que f définit une densité de probabilité.
  2. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité.
    a. Déterminer sa fonction de répartition.
    b. La variable aléatoire X admet-elle une espérance ?
On considère trois variables aléatoires indépendantes T_1, T_2, T_3, chacune de même loi que X.
4. On considère la variable aléatoire U = Inf(T_1, T_2, T_3) définie par :
∀t ∈ ℝ, (U > t) = (T_1 > t) ∩ (T_2 > t) ∩ (T_3 > t)
a. Déterminer la fonction de répartition G de U.
b. Montrer que U admet une densité et déterminer une densité g de U.
c. Montrer que U admet une espérance et calculer E(U).
5. On considère la variable aléatoire V = Sup(T_1, T_2, T_3) définie par :
∀t ∈ ℝ, (V ≤ t) = (T_1 ≤ t) ∩ (T_2 ≤ t) ∩ (T_3 ≤ t)
a. Déterminer la fonction de répartition H de V.
b. Montrer que V admet une densité et déterminer une densité h de V .
c. La variable aléatoire V admet-elle une espérance ?

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