BCE Maths appliquees emlyon ECE 2003
Epreuve de maths appliquees - ECE 2003
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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités continuesIntégrales généralisées
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2003.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Programme ESC de l'E.M.Lyon
Concours d'entrée 2003
EXERCICE 1
On note
Première partie
- Calculer
et , puis vérifier : . - Montrer que la famille
est libre dans . - Montrer que, pour tout entier
supérieur ou égal à 1 , il existe un couple unique de nombres réels tel que : , et exprimer et en fonction de et . - Ecrire un programme, en Pascal, qui calcule et affiche
et pour un entier donné supérieur ou égal à 1. - a. Montrer, pour tout entier
supérieur ou égal à 1 :
b. En déduire
c. Donner l'expression de
c. Donner l'expression de
Seconde partie
On note f l'endomorphisme de
- Déterminer une base de
et donner la dimension de . - a. Est-ce que
est diagonalisable ?
b. Est-ce que f est bijectif ? - Déterminer les valeurs propres de
, et donner, pour chaque sous-espace propre de , une base de ce sous-espace propre. - Déterminer une matrice diagonale
, dont les termes diagonaux sont dans l'ordre réel croissant, et une matrice inversible dont la troisième ligne est formée de termes tous égaux à 1 , telle que , et calculer . - Déterminer l'ensemble des matrices
de telles que : .
Exercice 2
On note
On note, pour tout nombre réel a non nul, l'application
On note, pour tout nombre réel a non nul, l'application
Les deux parties de l'exercice sont indépendantes entre elles.
Première partie
Dans cette partie, on prend
Ainsi, l'application
Ainsi, l'application
- Montrer que
est de classe sur . - Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de
en tout point de . - Montrer qu'il existe un couple unique (
) de en lequel les deux dérivées partielles d'ordre 1 de s'annulent, et calculer ce couple. - Est-ce que
admet un extremum ?
Seconde partie
Dans cette seconde partie, on prend
On considère, pour tout entier
On considère, pour tout entier
et l'application
- a. Montrer que, pour tout entier
supérieur ou égal à
b. En déduire que, pour tout entiersupérieur ou égal à 1 , l'équation , d'inconnue , admet une solution et une seule, notée , et que :
- a. Montrer, pour tout entier
supérieur ou égal à .
b. En déduire :.
EXERCICE 3
- Montrer que l'intégrale
est convergente et calculer sa valeur.
Soit
- Montrer que f définit une densité de probabilité.
- Soit
une variable aléatoire réelle admettant pour densité.
a. Déterminer sa fonction de répartition.
b. La variable aléatoireadmet-elle une espérance ?
On considère trois variables aléatoires indépendantes
4. On considère la variable aléatoire
4. On considère la variable aléatoire
a. Déterminer la fonction de répartition
b. Montrer que
c. Montrer que
5. On considère la variable aléatoire
b. Montrer que
c. Montrer que
5. On considère la variable aléatoire
a. Déterminer la fonction de répartition
b. Montrer que V admet une densité et déterminer une densité h de V .
c. La variable aléatoire V admet-elle une espérance ?
b. Montrer que V admet une densité et déterminer une densité h de V .
c. La variable aléatoire V admet-elle une espérance ?
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