Ecricome Maths appliquées ECE 2015Sujet et corrigé

Voie E

EXERCICE 1

I - Une loi exponentielle et une suite

1. Une loi exponentielle.

2. Étude d'une suite.

\(\mathrm{U}=\operatorname{zeros}(1,100)\)
\(\mathrm{U}(1)=1\)
for \(\mathrm{n}=1\) : 99
    \(\mathrm{U}(\mathrm{n}+1)=\) _----------------
end
plot( U, " + ")

(d) Le programme précédent complété permet d'obtenir la représentation graphique suivante :

Le programme ci-dessus permet d'obtenir la représentation graphique suivante :

II - Une fonction et une variable aléatoire à densité

1. Étude de la fonction g.

2. Étude de variables aléatoires.

EXERCICE 2

I - Premiers résultats sur l'application φ_A et la matrice A

1. Montrer que φ_A est un endomorphisme de M_2(ℝ).
2. Montrer que si l'endomorphisme φ_A est bijectif, alors il existe une unique matrice N ∈ M_2(ℝ) telle que AN = I_2, où I_2 désigne la matrice identité d'ordre 2 .
3. Montrer que l'application φ_A est un automorphisme de M_2(ℝ) si et seulement si la matrice A est inversible.

II - Un exemple

1. Justifier que la matrice A est diagonalisable.
2. Montrer que la matrice de l'endomorphisme φ_A dans la base B est :

3. Préciser les valeurs propres et une base de chaque sous-espace propre de l'endomorphisme φ_A.
4. L'endomorphisme φ_A est-il diagonalisable ?

III - D'autres résultats sur l'application φ_A et la matrice A

1. Soit un réel λ tel qu'il existe une matrice M ∈ M_2(ℝ) non nulle vérifiant :

EXERCICE 3

I - Une première expérience aléatoire

• N_i l'événement « on tire une boule noire lors du i-ième tirage».
• B_i l'événement << on tire une boule blanche lors du i-ième tirage > .

1. On simule 10000 fois cette expérience aléatoire.

N = input(' Donner un entier naturel non nul') ;
S = zeros(1,N);
for k = 1 : 10000
    i = 1 ;
    M = N ;
    while
        i = i + 1 ;
        M = _-_-_-_-_-_____ ;
    end
    S(i)= S(i)+1 ;
end
disp(S / 10000)
bar(S / 10000)

2. On exécute le programme complété ci-dessus. On entre 5 au clavier et on obtient l'histogramme suivant :
   

   

II - Une deuxième expérience aléatoire

• C_1 l'événement « on choisit l'urne U_1 ».
• C_2 l'événement « on choisit l'urne U_2 ».

1. Montrer que pour tout entier j ∈ [ [1, N] ] :

2. Calculer P_(C_2)(Y = j) pour tout entier j ∈ [ [1, N] ].
   (On distinguera les cas j = N et 1 ⩽ j ⩽ N − 1 ).
3. Montrer que :

4. Calculer l'espérance de Y.

III - Une troisième expérience aléatoire

1. Préciser les valeurs prises par T.
2. Montrer soigneusement que pour tout entier k ⩾ 2,

3. Montrer que la variable aléatoire T admet une espérance que l'on calculera.
4. (a) Calculer P([U = 1] ∩ [T = 2]).
   (b) Calculer P([U = 1] ∩ [T = k]) pour tout entier k ⩾ 3.
5. Soit j un entier tel que j ⩾ 2.
   (a) Calculer P([U = j] ∩ [T = j + 1]).
   (b) Que vaut P([U = j] ∩ [T = k]) pour tout entier k ⩾ 2 tel que k ≠ j + 1 ?
6. Les variables aléatoires T et U sont-elles indépendantes?
7. Calculer P(U = 1) puis déterminer la loi de U.