Ecricome Maths appliquées ECE 2013Sujet et corrigé

Mathématiques Option Economique

EXERCICE 1

1. Montrer que R^′ (la dérivée de R ) admet deux racines réelles distinctes r_1, r_2 avec r_1 < r_2 que l'on précisera.
2. Dresser le tableau de variations de R en y ajoutant les valeurs de R en r_1 et r_2.
3. Justifier que R admet trois racines a, b. c avec 0 < a < r_1 < b < r_2 < c. On ne cherchera pas à calculer ces racines.
4. Soit λ un réel, calculer AX_λ puis démontrer que X_λ est un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ si et seulement si R(λ) = 0.
5. Etablir l'existence d'une matrice inversible P et d'une matrice diagonale D telles que A = PDP^(− 1). Expliciter les matrices P et D en fonction des réels a.b, c.
6. Prouver que f est une application linéaire et que:

EXERCICE 2

I. Etude des zéros de φ.

1. Déterminer la limite de φ(x) lorsque x tend vers 0 par valcurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite de φ(x) lorsque x tend vers + ∞, ainsi que la limite de (r(r))/r lorsque x tend vers + ∞. Interpréter graphiquement cette limite.
3. Justifier la dérivabilité de φ sur ℝ_+^∗ et déterminer sa dérivée.
4. Dresser le tableau de variation de φ en faisant apparaître les limites de φ en 0^+et + ∞.
5. Pronver l'existence d'un unique réel α ∈ ℝ_+^∗ tel que :

II. Etude d'une suite réelle.

1. Démontrer que pour tout entier n, u_n existe et u_n > Ω.
2. Si cette suite est convergente de limite L. que peut valoir L ?
3. Prouver que la suite u est strictement croissante.
4. La suite u est-elle convergente ?
5. Soit A un réel. Recopier et compléter le programme suivant afin quil affiche le plus petit entier n tel que u_n ⩾ A :

program ecricome2013 ;
var ın : integer ;
        u : real ;
        A : real :
    function \(\mathrm{g}(\mathrm{x}\) : real \()\) : real ;
    begin
    g :=
    end:
begin
        writeln('entrer un réel \(\mathrm{A}>0^{\prime}\) ):
        readln(A) ;
        \(\mathrm{u}:=\exp (1): \mathrm{n}:=0\);
        while ................ do
            begin
                .................;
                ..................;
            end ;
writeln( .................) :
end.

1. Justifier que f est de classe C^2 sur l'ouvert ]0, + ∞[ × ]0. + ∞[.
2. Calculer les dérivées partielles premières et prouver que f possède un unique point critique noté A d'abscisse α et d'ordonnée y_α à déterminer en fonction de α.
3. Calculer les dérivées partielles secondes sur ]0. + ∞[ × j0. + ∞ et établir que

4. La fonction f présente-t-elle un extremum local en A sur l'ouvert ]0. + ∞ × 0, + ∞[ ? Si oui, en donner sa nature (maximum ou minimum).

EXERCICE 3

• A a effectué deux tirages, il a retiré une boule noire puis une boule blanche de l'urne :
• l'urne contient maintenant 8 boules dont deux noires et six blanches :
• B a effectué ensuite cinq tirages dans cette urne, il a pioché 4 boules noires qu'il a reposé dans l'urne après chaque tirage puis il a pioché une boule blanche :
• Y vaut 1 et Y vaut 4.

I. Etude d'un cas particulier b = n = 2.

1. Donner les probabilités des événements : [X = 0].[X = 1].[X = 2].
2. En déduire l'espérance et la variance de X.
3. Montrer que la probabilité de l'événement [Y = 0] est donnée par :

4. Pour tout entier i naturel non nul, déterminer les probabilités suivantes :

5. En déduire la loi de Y. Uniquement à l'aide de l'expression de PY = 1 ) en fonction de i. vérifier que:

6. Montrer que Y admet une espérance et la calculer.

II. Retour au cas général.

1. Pour tout k ∈ {0, 1…n}, calculer la probabilité P([X = k) puis vérifier que :

2. Utiliser la question qui précède pour justifier que :

3. Soient k ⩾ 1.N ⩾ 1 et a ∈ ℕ. Comparer k((k + a)/a) et (a − 1)((k + a)/(a + 1)) puis justifier que :

4. A l'aide des questions précédentes, montrer que l'espérance de la variable n − X est donnée par:

6. Pour tout k de X(Ω), et pour tout entier i, non nul, justifier que la série ∑_(i ⩾ 1)i((n − k)/(n + b − k − 1))^(i − 1) est convergente et déterminer sa somune.
7. Montrer que Y admet une espérance et vérifier que :