WikiPrépaLivrets

Ecricome Maths appliquées ECE 2012Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2012

Pas encore noté
Logo concours Ecricome

Explorer les annales

BanqueEcricomeAnnée2012FilièreECEMatièreMathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2012ECE MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2012.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ECRICOME Eco 2012

EXERCICE 1

(M_3(ℝ), +, ⋅.) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients réels.
Deux matrices A et B de M_3(ℝ) étant données, on suppose qu'il existe une matrice L appartenant à M_3 ℝ telle que :
L = AL + B
On définit la suite de matrices (U_n)_(nIN) de M_3(ℝ) de la manière suivante :
{U_0 ∈ M_3(ℝ); ∀n ∈ ℕ, U_(n + 1) = AU_n + B
  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
U_n = L + A^n(U_0 − L)
Dans la suite du problème les matrices A et B sont choisies de telle sorte que :
A = 1/6(0, 3, 3; − 4, 6, 4; − 2, 3, 5), B = (3, − 1, − 2; 1, 0, − 1; 2, − 1, − 1)
On note :
  • Id l'endomorphisme identité de ℝ^3;
  • a l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est la matrice A;
  • b l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique est la matrice B;
  • Im(b) l'image de l'endomorphisme b;
  • Im(Id − a) l'image de l'endomorphisme Id − a.
  1. Prouver que le vecteur u = (x, y, z) appartient à l'image de b si et seulement si
− x + y + z = 0
puis montrer que :
Im(b) = Im(Id − a)
  1. Montrer que la matrice P = (1, 1, 0; 1, 0, − 1; 1, 1, 1) peut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de ℝ^3 à une base de vecteurs propres de a.
  2. Écrire la matrice D de l'endomorphisme a ainsi que la matrice B^′ de l'endomorphisme b dans cette base de vecteurs propres.
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
A^n = PD^n P^(− 1)
  1. En écrivant convenablement D^n comme la somme de trois matrices diagonales judicieusement choisies, prouver l'existence de trois matrices E, F, G indépendantes de n telles que pour tout entier naturel n :
A^n = E + (1/2)^n F + (1/3)^n G
Expliciter uniquement la matrice E sous la forme d'un tableau de nombres.
7. Déterminer par le calcul, une matrice L^′ de la forme (0, 0, 0; 0, p, q; 0, 0, r) telle que :
L^′ = DL^′ + B^′
  1. Montrer que la matrice L = PL^′ P^(− 1) vérifie :
L = AL + B
  1. Établir que EL = 0.
  2. Montrer que chacun des coefficients de la matrice U_n a pour limite, lorsque n tend vers + ∞, les coefficients de la matrice EU_0 + L.

EXERCICE 2.

Partie I. Étude d'une fonction f.

On considère la fonction définie sur l'ensemble des réels positifs par :
{f(x) = (1 − e^(− x))/x si x > 0; f(0) = 1
  1. Ecrire le développement limité de f(x) l'ordre 2 , au voisinage de 0 En déduire que f est continue sur [0, + ∞[.
  2. Montrer que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f^′(0).
  3. Justifier la dérivabilité de f sur l'intervalle ]0, + ∞[ puis déterminer la fonction φ telle que :
∀x > 0 f^′(x) = (φ(x))/(x^2)
  1. Étudier les variations de φ;. En déduire le tableau de variation f qui sera complété par la limite de f en + ∞.

Partie II. Étude d'une suite.

On introduit la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) définie par :
∀n ∈ ℕ^∗ u_n = ∫_0^n(e^(− u/n))/(1 + u)du
  1. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul :
u_n ≥ 1/eln(n + 1)
Donner la limite de la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗).
2. Prouver l'existence de l'intégrale ∫_0^1 f(x)dx '.
3. Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier naturel n non nul :
0 ≤ ∫_0^n 1/(1 + u)du − u_n ≤ ∫_0^1 f(x)dx
  1. Donner alors un équivalent simple de u_n lorsque n tend vers + ∞.

EXERCICE 3.

Soit n un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d'un lot du n feuilles originales qu'elle a numérotées l, 2, ⋯, n. Elle photocopie ces n feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L'entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant . suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L'entreprise décide donc de placer les n originaux et les n copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S'il s'agit d'un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la, boite et elle recommence.
On modélise l'expérience par un espace probabilité ( Ω, B, P ). Soit T_n la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient n originaux et n copies (soit 2n feuilles).
On considère l'événement A_n : « à l'issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées » et a_n sa probabilité c'est-à-dire que a_n = P(A_n).
  1. Calculer a_n.
  2. Étude de T_2. On suppose dans cette question que n = 2, c'est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies.
    a) Montrer que pour tout entier k ≥ 2 : P(T_2 = k) = (1 − a_2)(a_2)^(k − 2).
    b) Justifier que la variable S_2 = T_2 − 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de T_2 en fonction de a_2
  3. Étude de T_3. On suppose dans cette question que n = 3, c'est-à-dire que la boite, contient trois originaux et trois copies.
    a) Calculer P(T_3 = 2) puis P(T_3 = 3) en fonction de a_2 et a_3
    b) A l'aide du système complet d'événements ( A_3, A_3^– ) démontrer pour tout k ≥ 2 que:
P(T_3 = k + 1) = (1 − a_3)P(T_2 = k) + a_3 P(T_3 = k)
c) Montrer que :
k ≥ 2, P(T_3 = k) = ((1 − a_2)(1 − a_3))/(a_3 − a_2)[(a_3)^(k − 2) − (a_2)^(k − 2)].
d) Calculer ∑_(k = 2)^(+ ∞)P(T_3 = k).
e) Prouver que la variable aléatoire T_3 − 1 admet une espérance et calculer E(T_3 − 1). Donner la valeur de E(T_3) en fonction de a_2 et a_3.
f) Établir que la variable aléatoire T_3(T_3 − 1) admet une espérance et donner sa valeur en fonction de a_2 et a_3.
En déduire que T_3 admet une variance.

Pas de description pour le moment