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Ecricome Maths appliquées ECE 2010Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2010

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Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2010.

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Mathématiques

Option Economique
Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
8h00 − 13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

EXERCICE 1.

Soit E un espace vectoriel et B = (e_1, e_2, e_3) une base de E. Pour tout réel a, on considère l'endomorphisme f_a de l'espace vectoriel E dont la matrice dans la base B = (e_1, e_2, e_3) est donnée par :
M_a = (a + 2, − (2a + 1), a; 1, 0, 0; 0, 1, 0).
ainsi que la fonction polynômiale Q qui à tout réel x associe le réel :
Q(x) = x^3 − (a + 2)x^2 + (2a + 1)x − a.

I. Recherche des valeurs propres de f_a.

  1. Montrer que le réel λ est une valeur propre de f_a si et seulement si λ est racine du polynôme Q.
  2. Vérifier que le réel λ = 1 est racine de Q.
  3. En déduire les racines de Q ainsi que leur nombre en fonction de a.
  4. Lorsque a = 1, l'endomorphisme f_1 est-il diagonalisable?

II. Réduction de la matrice M_a.

Dans toute la suite de l'exercice on suppose a différent de 1 .
Soit B^′ = (e_1^′, e_2^′, e_3^′) la famille de vecteurs de E définie par:
{e_1^′ = a^2 e_1 + ae_2 + e_3; e_2^′ = e_1 + e_2 + e_3; e_3^′ = 2e_1 + e_2.
  1. Prouver que B^′ est une base de E.
On note P_a la matrice de passage de la base B à la base B^′.
2. Montrer que e_1^′ est un vecteur propre de f_a.
3. Vérifier que le sous-espace vectoriel F engendré par les vecteurs e_2^′ et e_3^′ est stable par f_a c'est-à-dire :
f_a(F) ⊂ F.
  1. Donner l'expression de la matrice T_a de l'endomorphisme f_a dans la nouvelle base B^′.
  2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
T_a^n, = (a^n, 0, 0; 0, 1, n; 0, 0, 1); où, par convention, on pose T_a^0, = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1).

III. Etude d'une suite récurrente linéaire.

Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) la suite de nombres réels définie par la relation de récurrence suivante :
{u_0 = 1, u_1 = − 1, u_2 = 0; Pour tout entier naturel n : u_(n + 3) = 4u_(n + 2) − 5u_(n + 1) + 2u_n.
  1. Vérifier que pour tout entier naturel n :
(u_(n + 3); u_(n + 2); u_(n + 1)) = M_2(u_(n + 2); u_(n + 1); u_n).
  1. Etablir par récurrence que pour tout entier naturel n :
(u_(n + 2); u_(n + 1); u_n) = P_2 T_2^n P_2^(− 1)(u_2; u_1; u_0).
  1. Donner l'expression matricielle de la matrice inverse de P_2 puis exprimer u_n en fonction de n.
  2. La suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est-elle convergente?

EXERCICE 2

On considère l'application φ définie sur ℝ_+^∗ par :
∀x ∈ ℝ_+^∗, φ(x) = ln(x) − ln(x + 1) + 1/x.
I. Résolution de l'équation φ(x) = 1.
  1. Déterminer la limite de φ(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
Interpréter graphiquement cette limite.
2. Déterminer la limite de φ(x) lorsque x tend vers + ∞.
Interpréter graphiquement cette limite.
3. Prouver que φ est strictement monotone sur ℝ_+^∗.
4. Dresser le tableau de variation de φ et y faire apparaître les limites de φ en 0^+et + ∞.
5. On rappelle que ln(2) ≃ 0, 7 et ln(3) ≃ 1, 1.
Montrer que l'équation φ(x) = 1 possède une unique solution notée α et que :
1/3 < α < 1/2
  1. Proposer un programme en Pascal permettant d'encadrer α dans un intervalle d'amplitude 10^(− 2).

II. Une variable à densité.

Soit α le réel défini à la question I.5. On considère la variable aléatoire réelle X dont une densité de probabilité est donnée par :
{f(x) = 1/(x^2(x + 1)), si x > α; f(x) = 0, si x ⩽ α.
  1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
  2. Montrer que X admet une espérance E(X).
  3. Démontrer que pour x > α :
xf(x) = φ^′(x) + 1/(x^2).
En déduire que l'espérance de X est donnée par :
E(X) = (1 − α)/α.
Donner un encadrement de E(X) par deux entiers consécutifs.
4. La variable aléatoire réelle X admet-elle une variance?
EXERCICE 3
Dans cet exercice, on étudie des situations probabilistes liées à un jeu de dés à six faces.
Pour ce jeu, effectuer une partie consiste à lancer successivement deux dés équilibrés.
On note :
  • D_1 le résultat du premier dé et D_2 le résultat du deuxième dé,
  • E_1 l'événement: « D_1 < D_2 », E_2 l'événement: « D_1 = D_2 » et E_3 l'événement: ⟨D_1⟩D_2^−.
    Lors d'une partie,
  • si l'événement E_1 se produit alors le joueur ne marque pas de point,
  • si l'événement E_2 se produit alors le joueur marque 2 points,
  • si l'événement E_3 se produit alors le joueur marque 1 point.

I. Etude de parties successives.

Soit n un entier naturel non nul. Le joueur joue successivement n parties.
Pour tout entier naturel i ⩾ 1, on note:
  • X_i la variable aléatoire représentant le nombre de points marqués lors de la i^(ème) partie;
  • Y_i le nombre de points marqués après i parties.
  1. Calculer la probabilité de chacun des événements E_1, E_2 et E_3.
  2. Soit i ∈ {1, 2, …, n}, déterminer la loi de la variable aléatoire X_i puis calculer son espérance et sa variance.
  3. Trouver la loi de la variable aléatoire Y_1.
  4. Quelle est la loi de la variable aléatoire Y_2 ?
  5. (a) Préciser l'ensemble Y_3(Ω) des valeurs prises par la variable aléatoire Y_3.
    (b) Construire et remplir le tableau de la loi conjointe du couple (Y_2, Y_3). On justifiera précisément une valeur non nulle de ce tableau, les autres pouvant être données directement.
    (c) En déduire la loi de la variable aléatoire Y_3.
  6. (a) Ecrire Y_n en fonction des variables aléatoires X_1, X_2, …, X_n. En déduire l'espérance mathématique et la variance de Y_n.
    (b) En moyenne, combien de parties au minimum doit faire le joueur pour obtenir plus de 10 points?

II. Etude du temps d'attente.

Le joueur joue maintenant jusqu'à ce qu'il dépasse un nombre de points donné. Plus précisément on note :
T_1 (respectivement T_2 ) la variable aléatoire représentant le nombre de parties effectuées par le joueur lorsque le total de ses points est supérieur ou égal à 1 (respectivement 2) pour la première fois (si cet événement se produit).
Par exemple si les points marqués par le joueur sont dans l'ordre :
Exemple 1:001012 …. alors T_1 = 3 et T_2 = 5.
Exemple 2:000212... alors T_1 = 4 et T_2 = 4.
  1. (a) Préciser l'ensemble T_1(Ω) des valeurs prises par la variable aléatoire T_1 puis, pour tout k appartenant à T_1(Ω), donner la valeur de la probabilité P(T_1 = k).
    (b) Donner la valeur de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire T_1.
  2. (a) Déterminer l'ensemble T_2(Ω) des valeurs prises par la variable aléatoire T_2.
    (b) Calculer les probabilités P(T_2 = 1) et P(T_2 = 2).
    (c) Prouver que, pour k ⩾ 3, on a :
P(T_2 = k) = (5/(12))^(k − 1) × 1/6 + (k − 1)(5/(12))^(k − 1) × 7/(12).
(d) Ce résultat est-il valable pour k = 1 et k = 2 ?
(e) Etablir que : ∑_(k = 1)^(+ ∞)P(T_2 = k) = 1.
(f) Que peut-on en déduire pour l'événement « le joueur n'obtient jamais un score cumulé supérieur ou égal à 2 » ?
(g) Calculer E(T_2).

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