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Ecricome Maths approfondies ECS 2010Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2010.

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CONCOURS D'ADMISSION 2010

Mathématiques
Option Scientifique

Mercredi 21 avril 2010 de 8h00 à 12h00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
8h00 − 13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 9 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
EXERCICE 1
Pour tout entier n ⩾ 1, on considère les intégrales :
u_n = ∫_0^1(dt)/(1 + t + t^2 + ⋯ + t^(n − 1)) et v_n = ∫_0^1(u^(1/n) − u^(2/n))/(1 − u)du
  1. Convergence de la suite (u_n)_(n ⩾ 1).
    (a) Vérifier que :
∀n ⩾ 1, ∀t ∈ [0, 1[, 1/(1 + t + t^2 + ⋯ + t^(n − 1)) − (1 − t) = ((1 − t)t^n)/(1 − t^n).
En déduire que : ∀n ⩾ 1, 0 ⩽ u_n − 1/2 ⩽ 1/(n + 1).
Quelle est la limite de la suite (u_n)_(n ⩾ 1) ?
(b) En utilisant le changement de variable u = t^n, établir que :
∀n ⩾ 1, u_n − 1/2 = (v_n)/n.

2. Résultats intermédiaires.

(a) Pour tout entier k ⩾ 1, calculer la limite suivante : lim_(x → 1)((ln(x))^k)/(x − 1).
(b) Soit k un entier naturel non nul.
Prouver la convergence de l'intégrale ∫_0^1((ln(x))^k)/(x − 1)dx.
(c) On introduit la fonction f définie sur ℝ par: ∀x ∈ ℝ, f(x) = e^x − e^(2x).
A l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 à l'ordre 1 appliquée à la fonction f, montrer que :
∀x ∈ ] − ∞, 0], |e^x − e^(2x) + x| ⩽ (3x^2)/2.

3. Application.

(a) En utilisant la question 2, démontrer que :
∀n ⩾ 1, |v_n + 1/n∫_0^1(ln(u))/(1 − u)du| ⩽ 3/(2n^2)∫_0^1((ln(u))^2)/(1 − u)du.
(b) On considère l'intégrale I = ∫_0^1(ln(u))/(1 − u)du que l'on ne cherchera pas à calculer.
Donner alors un équivalent de v_n puis un équivalent de u_n − 1/2 en fonction de I.

EXERCICE 2

Pour tout entier naturel n, on note ℝ_n[X] l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus n. On considère l'application f qui à un polynôme P de ℝ_n[X] associe le polynôme :
f(P) = P^(′′) − 4XP^′.
  1. Etude de f. Soit n un entier naturel fixé uniquement dans cette question.
    (a) Justifier que f est un endomorphisme de ℝ_n[X].
    (b) Calculer f(1), f(X) puis f(X^k) pour k ∈ {2, .., n}.
Etablir alors que la matrice A_n de f dans la base canonique de ℝ_n[X] est triangulaire.
(c) Prouver que f est diagonalisable et que chacun de ses espaces propres est de dimension 1.
(d) Soit P un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ.
Etablir que : λ = − 4deg(P).
En déduire qu'il existe un unique polynôme unitaire H_n de degré n tel que
(E_n) : f(H_n) = − 4nH_n.
Rappel : un polynôme unitaire est un polynôme dont le coefficient dominant vaut 1 .
2. Etude de la suite (H_n)_(n ∈ ℕ).
(a) En dérivant la relation (E_n), démontrer que :
∀n ⩾ 1, f(H_n^′) = − 4(n − 1)H_n^′.
En déduire que :
∀n ⩾ 1, H_n^′ = nH_(n − 1) et ∀n ⩾ 2, H_n − XH_(n − 1) + ((n − 1)H_(n − 2))/4 = 0.
(b) Pourquoi peut-on affirmer que H_0 = 1 et H_1 = X ?
Calculer alors H_2 et H_3.
(c) D'après ce qui précède, la suite u_n = H_n(1) satisfait à la relation de récurrence :
u_0 = 1, u_1 = 1, ∀n ⩾ 2, u_n = u_(n − 1) − ((n − 1)u_(n − 2))/4.
Ecrire un programme en Pascal calculant u_(2010).
3. Application aux points critiques d'une fonction à trois variables.
On note U l'ouvert de ℝ^3 défini par :
U = {(x, y, z) ∈ ℝ^3 tel que x ≠ y et y ≠ z et z ≠ x}
ainsi que la fonction V définie sur U par :
∀(x, y, z) ∈ U, V(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 − ln|x − y| − ln|y − z| − ln|z − x|. Soit (α, β, γ) ∈ U.
(a) Etablir que (α, β, γ) est un point critique de V si et seulement si (α, β, γ) est solution du système :
(S) : {2α(α − γ)(α − β) = 2α − β − γ; 2β(β − α)(β − γ) = 2β − α − γ; 2γ(γ − α)(γ − β) = 2γ − α − β
(b) On introduit le polynôme Q(X) = (X − α)(X − β)(X − γ).
Montrer que (α, β, γ) est solution de (S) si et seulement si Q^(′′) − 4XQ^′ admet pour racines α, β, γ.
(c) Prouver que si (α, β, γ) est un point critique de V alors
Q^(′′) − 4XQ^′ = − 12Q
puis que Q = H_3 (cf. question 2.b).
Donner alors les points critiques de V.
PROBLEME
Soit r un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Une urne contient r boules numérotées 1, 2, .., r. On pioche indéfiniment les boules avec remise, chaque boule pouvant être piochée de façon équiprobable.
Pour tout entier i ∈ {1, 2, .., r}, on note Y_i la variable aléatoire égale au « nombre de pioches nécessaires pour obtenir i boules distinctes ». On convient que Y_1 = 1. On désigne par X_r la variable aléatoire égale au « nombre de pioches nécessaires pour obtenir les r boules numérotées 1, 2, .., r». Il est immédiat que X_r = Y_r.
Par exemple, en supposant que r = 4, si les boules piochées successivement portent les numéros:
3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 2, 4, 1, …
alors on a: Y_1 = 1, Y_2 = 4, Y_3 = 8, Y_4 = X_4 = 11.
La partie I établit certains résultats préliminaires qui seront utilisés dans d'autres parties.
La partie II se consacre à l'étude de la loi des variables discrètes Y_(i + 1) − Y_i afin d'en déduire l'espérance et la variance de la variable discrète X_r.
La partie III détermine la loi de la variable X_r puis étudie la distribution asymptotique de la variable X_r autour de sa moyenne.
On note exp la fonction exponentielle définie par :
∀x ∈ ℝ, exp(x) = e^x.

PARTIE I : Résultats préliminaires.

  1. Etude d'une suite.
On introduit la suite (u_n)_(n ⩾ 1) définie par : ∀n ⩾ 1, u_n = (∑_(i = 1)^n 1/i) − ln(n).
(a) Ecrire un programme Pascal permettant de calculer u_n pour un entier n ⩾ 1 donné.
(b) A l'aide d'un développement limité, justifier que u_n − u_(n + 1) ∼ _(n → + ∞)1/(2n^2). En déduire la nature de la série ∑_(n ⩾ 1)(u_n − u_(n + 1)) puis démontrer la convergence de la suite (u_n)_(n ⩾ 1).
(c) Montrer que la suite (∑_(i = 1)^n 1/(i^2))_(n ⩾ 1) converge (on ne demande pas le calcul de la limite).

2. Loi de Gumbel.

Soit Z une variable aléatoire continue. On suppose que Z suit la loi de Gumbel, c'est-à-dire que sa fonction de répartition F_Z est définie par :
∀t ∈ ℝ, F_Z(t) = exp(− exp(− t)).
(a) Vérifier que la fonction F_Z est bien une fonction de répartition puis que Z possède une densité que l'on précisera.
(b) On considère la variable aléatoire W = exp(− Z).
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire W.
En déduire que la variable aléatoire W suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres.
(c) Pour tout entier k, montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(ln(x))^k e^(− x)dx est absolument convergente.
(d) En justifiant le changement de variable x = exp(− t), démontrer que la variable Z admet un moment d'ordre k valant:
E(Z^k) = ∫_0^(+ ∞)(− ln(x))^k e^(− x)dx

PARTIE II : Etude de la variable X_r

  1. Etude du cas r = 3.
On suppose uniquement dans cette question que r = 3, c'est-à-dire que l'urne ne contient que trois boules numérotées respectivement 1, 2, 3 chacune pouvant être piochée avec la probabilité 1/3.
(a) Soit n un entier naturel non nul.
Comparer les événements (Y_2 > n) et C_n : «les n premières pioches fournissent des boules portant toutes le même numéro».
Calculer la probabilité P(C_n). En déduire la probabilité P(Y_2 > n) puis donner la loi de la variable Y_2.
(b) Justifier que :
∀n ⩾ 1, P(Y_3 − Y_2 = n) = ∑_(k = 2)^(+ ∞)P([Y_3 = n + k] ∩ [Y_2 = k])
puis que :
∀n ⩾ 1, ∀k ⩾ 2, P([Y_3 = n + k] ∩ [Y_2 = k]) = 1/(3^(k − 1))(2/3)^n.
En déduire la loi de la variable Y_3 − Y_2.
Dans toute la suite du problème, r désignera un entier supérieur ou égal à 2.
2. Loi de Y_(i + 1) − Y_i pour i ∈ {1, 2, .., r − 1}.
(a) Justifier que :
Y_i(Ω) = {i, i + 1, i + 2, ..} = ℕ∖{0, 1, 2, .., i − 1} et (Y_(i + 1) − Y_i)(Ω) = ℕ∖{0}.
(b) Démontrer que :
∀n ⩾ 1, ∀k ⩾ i, P_((Y_i = k))(Y_(i + 1) − Y_i = n) = (i/r)^(n − 1)(1 − i/r).
(c) En déduire que Y_(i + 1) − Y_i suit une loi usuelle dont on précisera le ou les paramètres puis établir que :
E(Y_(i + 1) − Y_i) = r/(r − i) et V(Y_(i + 1) − Y_i) = (r.i)/((r − i)^2)
  1. Espérance et variance de X_r.
    (a) Justifier que : X_r = 1 + ∑_(i = 1)^(r − 1)(Y_(r − i + 1) − Y_(r − i)).
En admettant que les variables Y_2 − Y_1, Y_3 − Y_2, …, Y_r − Y_(r − 1) sont indépendantes, vérifier que :
E(X_r) = r∑_(i = 1)^r 1/i et V(X_r) = r^2∑_(i = 1)^r 1/(i^2) − r∑_(i = 1)^r 1/i.
(b) A l'aide de la question I.1, prouver l'existence de deux réels α et β tels que :
E(X_r) = _(r → + ∞)rln(r) + αr + o(r) et V(X_r) ∼ _(r → + ∞)βr^2.

PARTIE III : Loi de X_r et de sa déviation asymptotique par rapport à sa moyenne.

Pour tout entier k ∈ {1, 2, .., r} et tout entier naturel m ⩾ 1, on considère l'événement A_(k, m) : «le numéro k n'a pas été pioché durant les m premières pioches».
  1. Loi de X_r.
Soit m un entier naturel non nul.
(a) Pour tout entier k ∈ {1, 2, …, r}, calculer successivement :
  • la probabilité de l'événement A_(k, m),
  • la probabilité de l'événement « k numéros n'ont pas été piochés au cours des m premières pioches».
    (b) Justifier que :
P(X_r > m) = P(A_(1, m) ∪ A_(2, m) ∪ ⋯ ∪ A_(r, m))
puis, en utilisant la formule du crible de Poincaré, démontrer que :
P(X_r > m), = (r/1)(1 − 1/r)^m − (r/2)(1 − 2/r)^m + ⋯ + (− 1)^(r − 1)(r/r)(1 − r/r)^m; = ∑_(k = 1)^r(− 1)^(k − 1)(r/k)(1 − k/r)^m.
En déduire la loi de X_r.
2. Comportement de X_r au delà de sa moyenne.
(a) A l'aide d'une récurrence sur m, montrer que, pour toute famille ( D_1, .., D_m ) d'événements, on a :
P(D_1 ∪ D_2 ∪ ⋯ ∪ D_m) ⩽ P(D_1) + P(D_2) + ⋯ + P(D_m).
(b) Démontrer que pour tout réel x, on a : exp(x) ⩾ 1 + x. En déduire que :
∀m ∈ ℕ∖{0}, ∀k ∈ {1, .., r}, P(A_(k, m)) ⩽ exp(− m/r).
(c) Soit ε > 0, on note M_r la partie entière de (1 + ε)rln(r), c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que :
M_r ⩽ (1 + ε)rln(r) < M_r + 1.
Comparer les événements « (X_r > M_r) » et « (X_r > (1 + ε)rln(r)) ». En déduire que :
P(X_r > (1 + ε)rln(r)) ⩽ e/(r^ε).
Ainsi on vient d'établir que :
∀ε > 0, lim_(r → + ∞)P(X_r > (1 + ε)rln(r)) = 0
qui peut se traduire ainsi : l'événement « X_r est significativement supérieur à sa moyenne » est un événement asymptotiquement rare.
3. Distribution de X_r autour de sa moyenne.
On introduit la suite (Z_r)_(r ⩾ 2) de variables aléatoires définie par :
∀r ⩾ 2, Z_r = (X_r − rln(r))/r.
Soit t un réel fixé, on note m_r la partie entière du réel rln(r) + rt, c'est-à-dire l'unique entier relatif tel que :
m_r ⩽ rln(r) + rt < m_r + 1.
(a) Justifier l'existence d'un rang r_0(t) tel que :
∀r ⩾ r_0(t), m_r ⩾ 1
puis prouver l'égalité :
∀r ⩾ r_0(t), P(Z_r > t) = P(X_r > m_r).
(b) Soit k un entier naturel. A l'aide d'un développement limité, établir que :
m_r ln(1 − k/r) = _(r → + ∞) − kln(r) − kt + o(1)
(c) Démontrer que, pour tout entier k, on a : (r/k) ∼ _(r → + ∞)(r^k)/(k!).
En déduire que :
∀k ∈ ℕ, lim_(r → + ∞)(r/k)(1 − k/r)^(m_r) = (exp(− kt))/(k!).
(d) En admettant que l'on a :
lim_(r → + ∞)∑_(k = 1)^(r − 1)(− 1)^(k − 1)(r/k)(1 − k/r)^(m_r) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(− 1)^(k − 1)(exp(− kt))/(k!),
exprimer la valeur de la limite lim_(r → + ∞)P(Z_r ⩽ t) en fonction de F_Z(t) (définie à la question I.2).
Quel résultat vient-on d'établir sur la suite de variables aléatoires (Z_r)_(r ⩾ 2) ?

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