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Ecricome Maths approfondies ECS 2009Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2009

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2009.

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CONCOURS D'ADMISSION 2009

Mathématiques

Option Scientifique

Jeudi 14 mai 2009 de 8 h 00 à 12 h 00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
8h00 − 13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 6 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

EXERCICE 1

M_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels.
Pour tout élément A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de M_n(ℝ), on appelle «trace de A », et on note Tr(A), la somme des éléments diagonaux, c'est-à-dire :
Tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(ii).
On admet que Tr est une application linéaire de M_n(ℝ) dans ℝ telle que :
∀A ∈ M_n(ℝ), ∀B ∈ M_n(ℝ), Tr(AB) = Tr(BA).
On note ^t A la transposée de la matrice A.
Pour toutes matrices M, N de M_n(ℝ), on pose :
⟨M|N⟩ = Tr(^t MN) = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n m_(i, j)n_(i, j)
où m_(i, j) (resp. n_(i, j) ) désigne le coefficient de M (resp. N ) situé à l'intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne.
Soit A une matrice symétrique, on considère
  • l'application Φ_A de M_n(ℝ) dans M_n(ℝ) définie par : ∀M ∈ M_n(ℝ), Φ_A(M) = AM − MA
  • l'ensemble Sp(A) formé des valeurs propres de A,
  • l'ensemble Sp(Φ_A) formé des valeurs de Φ_A,
  • l'ensemble Γ = {λ − μ, (λ, μ) ∈ (Sp(A))^2} formé des différences de deux valeurs propres quelconques de A.
Le but de cet exercice est d'établir que les deux propriétés suivantes sont valables pour toute matrice symétrique à coefficients réels A :
★ Φ_A est un endomorphisme diagonalisable.
★ les valeurs propres de Φ_A forment l'ensemble Γ c'est-à-dire que Sp(Φ_A) = Γ.

PARTIE I : Etude d'un cas particulier

Dans cette partie uniquement, on suppose que n = 2, A = (1, 1; 1, 1) et on admet les deux propriétés suivantes:
  • Φ_A est un endomorphisme de M_2(ℝ),
  • la famille (V_1, V_2, V_3, V_4) est une base de M_2(ℝ) où l'on a posé :
V_1 = (1, 0; 0, 0), V_2 = (0, 1; 0, 0), V_3 = (0, 0; 1, 0), V_4 = (0, 0; 0, 1).
  1. Justifier que la matrice T de l'endomorphisme Φ_A dans la base ( V_1, V_2, V_3, V_4 ) s'écrit :
T = (0, − 1, 1, 0; − 1, 0, 0, 1; 1, 0, 0, − 1; 0, 1, − 1, 0)
En déduire la diagonalisabilité de T.
2. Vérifier que T^3 = 4T. Qu'en déduit-on sur les valeurs propres de T ?
3. Déterminer une base de l'espace propre associée à 0 de la matrice T.
4. Calculer TX_1 et TX_2 où X_1 = (1; − 1; 1; − 1) et X_2 = (1; 1; − 1; − 1).
5. Expliciter alors une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que T = PDP^(− 1) (on ne demande pas le calcul de P^(− 1) ).

PARTIE II : Réduction de Φ_A dans le cas général

On revient désormais au cas général, A étant une matrice symétrique quelconque de M_n(ℝ).
  1. Montrer que Φ_A est un endomorphisme de M_n(ℝ).
  2. Prouver que l'application (M, N) ∈ (M_n(ℝ))^2 ↦ ⟨M|N⟩ est un produit scalaire sur M_n(ℝ).
  3. Etablir que, pour toutes matrices M, N appartenant à M_n(ℝ), on a :
⟨Φ_A(M)|N⟩ = ⟨M|Φ_A(N)⟩.
En déduire que Φ_A est un endomorphisme diagonalisable.
4. Soient
  • X ∈ M_(n, 1)(ℝ) un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ,
  • Y ∈ M_(n, 1)(ℝ) un vecteur propre de A associé à la valeur propre μ.
On pose alors :
M_(X, Y) = X^t Y ∈ M_n(ℝ)
(a) Justifier que M_(X, Y) ≠ 0 puis que ^t YA = μ^t Y.
(b) Etablir que Φ_A(M_(X, Y)) = (λ − μ)M_(X, Y) puis que Γ ⊂ Sp(Φ_A).
5. Soit M ∈ M_n(ℝ) un vecteur propre de Φ_A associé à la valeur propre α.
(a) On suppose que pour tout vecteur propre Z de A, on a MZ = 0.
Montrer alors que M = 0.
En déduire qu'il existe au moins un vecteur propre Z_0 de A tel que MZ_0 ≠ 0.
On note μ la valeur propre associée à Z_0.
(b) En revenant à l'expression de Φ_A(M), justifier que MZ_0 est un vecteur propre de A pour une valeur propre dont on précisera l'expression à l'aide de α et μ.
(c) Conclure.

EXERCICE 2

Le but de l'exercice est l'étude de la fonction f définie par la formule suivante :
f(x) = ∫_0^(+ ∞)e^(− 2t)√(1 + x^2 e^(2t))dt
  1. Domaine de définition de f :
    (a) Justifier que pour tout réel a > 0, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− at)dt est convergente et donner sa valeur.
    (b) Soit x un réel fixé. Etablir la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)e^(− 2t)√(1 + x^2 e^(2t))dt.
Par conséquent, f est définie sur ℝ et elle est clairement paire. On va donc l'étudier sur 0. − ∞[.
2. Branche infinie de la courbe représentative de f :
(a) Vérifier l'encadrement suivant, pour tout réel x strictement positif et pour tout réel t positif ou nul :
xe^t ⩽ √(1 + x^2 e^(2t)) ⩽ xe^t + (e^(− t))/(2x).
(b) Prouver que, pour tout réel x strictement positif, on a :
x ⩽ f(x) ⩽ x + 1/(6x)
(c) Préciser alors la nature de la branche infinie de la courbe représentative de f au voisinage de + ∞.
3. Dérivabilité et monotonie de f :
(a) A l'aide du changement de variable u = xe^t, que l'on justifiera, prouver la formule suivante lorsque x est un réel strictement positif :
f(x) = x^2∫_x^(+ ∞)(√(1 + u^2))/(u^3)du
(b) Montrer que la fonction f est de classe C^1 sur ]0, + ∞[ et que sa dérivée est donnée, pour tout réel x strictement positif, par :
f^′(x) = (2f(x) − √(1 + x^2))/x.
(c) Justifier, pour tout réel x strictement positif, l'égalité suivante :
2f(x) = √(1 + x^2) + x^2∫_x^(+ ∞)(du)/(u√(1 + u^2))
En déduire que f est strictement croissante sur ]0, + ∞[.
4. Etude locale de f et f^′ en 0 :
(a) Justifier que la formule suivante est valable pour tout réel x strictement positif:
∫_x^(+ ∞)(du)/(u√(1 + u^2)) = − (ln(x))/(√(1 + x^2)) + ∫_x^(+ ∞)(uln(u))/((1 + u^2)^(3/2))du
et que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(uln(u))/((1 + u^2)^(3/2))du est convergente.
(b) A l'aide des questions précédentes, démontrer alors que l'on a:
f^′(x) ∼ _(x → 0^+) − xln(x) et f(x) − 1/2 ∼ _(x → 0^+) − (x^2 ln(x))/2.
(c) En déduire que f est une fonction de classe C^1 sur [0, + ∞[ et préciser la valeur de f^′(0).

PROBLEME

Dans tout le problème, a et b désignent des entiers naturels tous deux non nuls et l'on note N = a + b.
On considère une urne contenant initialement a boules blanches et b boules noires, dans laquelle on effectue des tirages successifs, au «hasard» et « avec remise» d'une boule, en procédant de la façon suivante :
  • lorsque la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne avant de procéder au tirage suivant,
  • lorsque la boule tirée est noire, elle n'est pas remise dans l'urne, mais remplacée dans cette urne par une boule blanche et l'on procède alors au tirage suivant.

PARTIE I

Soient ( Ω, A, p ) un espace probabilisé et Y : Ω ↦ ℝ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention d'une première boule blanche.
  1. Préciser soigneusement l'ensemble des valeurs prises par la variable Y.
  2. Pour tout entier k compris entre 1 et b + 1, calculer la valeur de la probabilité P(Y = k).
  3. Vérifier que
P(Y = b + 1) = (b!)/(N^b)
et que, pour tout entier k compris entre 1 et b, la formule suivante est vraie:
P(Y = k) = (b!)/((b − (k − 1))!N^(k − 1)) − (b!)/((b − k)!N^k).
  1. Soient M un entier naturel non nul et a_0, a_1, ., a_M une famille de réels. Etablir que :
∑_(k = 1)^M k(a_(k − 1) − a_k) = (∑_(k = 0)^(M − 1)a_k) − Ma_M.
  1. En déduire que E(Y) = ∑_(k = 0)^b(b!)/((b − k)!N^k).
PARTIE II
Dans cette partie on note :
  • pour tout entier n ⩾ 1, q_n la probabilité de l'événement, noté N_n : « la n-ième boule tirée est noire ».
  • pour tout entier n ⩾ 0, X_n le nombre aléatoire de boules noires obtenues au cours des n premiers tirages. Par convention X_0 = 0.
  • pour tous entiers n ⩾ 0 et k ⩾ 0, p_(n, k) la probabilité de l'événement : « au cours des n premiers tirages, on a obtenu exactement k boules noires ».
On remarquera que p_(0, 0) = 1 et que p_(n, k) = 0 si k > n ou si k > b.
1 Shit n ∈ ℕ salculer n_(n n nit) nuis n_(m .). Que vaut. la somme ∑^n n_m ?

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