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Ecricome Maths approfondies ECS 2007Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2007.

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1 Mathématiques
Option Scientifique

Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
8 h 00 − 13 h 20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 7 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

1. EXERCICE.

  1. A l'aide de développements limités usuels que l'on rappellera clairement, montrer que lorsque x est au voisinage de 0 on a
ln(2 − e^x) = − x − x^2 + o(x^2)
  1. a. Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à 2 , on a :
2 − e^(1/k) ∈ ]0, 1[.
b. En déduire le signe de ln(2 − e^(1/k)), pour tout entier k supérieur ou égal à 2 .
c. Quelle est la nature de la série de terme général ln(2 − e^(1/k)) ?
d. Pour n entier supérieur ou égal à 2 , on pose
V_n = ∑_(k = 2)^n ln(2 − e^(1/k)) et u_n = expV_n
Déterminer
lim_(n → + ∞)V_n et lim_(n → + ∞)u_n.
  1. a. Montrer que
ln(nu_n) = ∑_(k = 2)^n[ln(2 − e^(1/k)) − ln(1 − 1/k)].
b. Déterminer un équivalent, quand k tend vers + ∞, de ln(2 − e^(1/k)) − ln(1 − 1/k).
c. En déduire que u_n est équivalent, quand n tend vers + ∞ à K/n avec K > 0. Quelle est la nature de la série de terme général u_n ?
4. On pose
S_n = ∑_(k = 2)^n(− 1)^k u_k
a. Etudier le sens de variations de la suite (u_n)_(n ⩾ 2).
b. Montrer que les suites (S_(2n))_(n ⩾ 1) et (S_(2n + 1))_(n ⩾ 1) sont deux suites adjacentes.
c. En déduire la nature de la série de terme général (− 1)^n u_n.

2. EXERCICE.

M_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices carrées d'ordre n ⩾ 2, à coefficients réels. Pour tout élément A = (a_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) de M_n(ℝ), on appelle "trace de A ", et on note Tr(A), la somme des éléments diagonaux, c'est-à-dire :
Tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(ii).
On admet que Tr est une application linéaire de M_n(ℝ) dans ℝ telle que
∀A ∈ M_n(ℝ), ∀B ∈ M_n(ℝ), Tr(AB) = Tr(BA).
On note ^t A la transposée de la matrice A.
  1. Soit φ l'application définie sur M_n(ℝ) × M_n(ℝ) par :
∀A ∈ M_n(ℝ), ∀B ∈ M_n(ℝ), φ(A, B) = Tr(^t AB) (où ^t AB = ^t A × B).
Exprimer φ(A, B) en fonction des coefficients de A et B et montrer que φ est un produit scalaire sur M_n(ℝ).
On note N la norme associée à ce produit scalaire.
2. Soient A, B ∈ M_n(ℝ). Le but de cette question est de prouver que
N(AB) ⩽ N(A)N(B).
a. Justifier l'existence de P ∈ M_n(ℝ) et D ∈ M_n(ℝ) telles que
^t P(^t AA)P = D
où P est une matrice orthogonale et D une matrice diagonale.
On notera par la suite λ_i le coefficient d_(ii) de la matrice D = (d_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n).
b. Soit λ une valeur propre de^t AA et X un vecteur propre associé.
En calculant ^t X^t AAX de deux manières différentes, montrer que λ ⩾ 0.
c. On pose S = ^t P(B^t B)P = (s_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ n). Montrer que
[N(A)]^2 = Tr(D), [N(B)]^2 = Tr(S), [N(AB)]^2 = Tr(SD).
d. Montrer que
Tr(SD) = ∑_(i = 1)^n λ_i s_(ii)
e. On note E_i le i^(ème) vecteur de la base canonique de M_(n, 1)(ℝ), espace des matrices à n lignes et une colonne, à coefficients réels. Montrer que
^t E_i SE_i = ‖^t BPE_i‖^2
où |.|| désigne la norme euclidienne canonique de M_(n, 1)(ℝ), puis calculer ^t E_i SE_i en fonction des coefficients de S.
Qu'en déduit-on, pour i entier compris entre 1 et n, sur le signe de s_(ii) ?
f. Montrer que
∑_(i = 1)^n λ_i s_(ii) ⩽ (∑_(i = 1)^n λ_i)(∑_(i = 1)^n s_(ii))
puis conclure que
N(AB) ⩽ N(A)N(B)

3. PROBLEME.

Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants.

3.1. Préliminaire

On considère deux variables aléatoires à densité X et Y définies sur un même espace probabilisé, admettant des espérances E(X), E(Y) et des variances V(X), V(Y). On suppose V(X) > 0. On définit la covariance de X et Y par
Cov(X, Y) = E[(X − E(X))(Y − E(Y))] = E(XY) − E(X)E(Y).
  1. Montrer que pour tout nombre réel λ,
V(λX + Y) = λ^2 V(X) + 2λCov(X, Y) + V(Y)
  1. a. En étudiant le signe du trinôme précédent, montrer que
(Cov(X, Y))^2 ⩽ V(X)V(Y).
b. A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité
(Cov(X, Y))^2 = V(X)V(Y)?

3.2. Partie I: Etude d'une fonction de deux variables

n désigne un entier non nul, A et S deux réels positifs ou nuls vérifiant S > nA. On définit sur [0, + ∞[ × ]0, + ∞[ la fonction L_n par :
{L_n(a, b) = 1/(b^n)e^(− 1/b(− na + S)) si 0 ⩽ a ⩽ A; L_n(a, b) = 0 si a > A
  1. Justifier que L_n est de classe C^1 sur l'ouvert ]0, A[ × ]0, + ∞[.
Montrer que L_n n'admet pas d'extremum sur cet ouvert.
2. Montrer que
∀a ∈ [0, A[, ∀b ∈ ]0, + ∞[, L_n(a, b) < L_n(A, b).
Montrer que ce résultat est encore vrai pour tout a de ]A, + ∞[.
3. Soit g la fonction définie sur ]0, + ∞[parg(b) = L_n(A, b).
Montrer que g admet un maximum absolu sur ]0, + ∞[, atteint en un point b_0 que l'on exprimera en fonction de A, S, n.
4. Déduire de ce qui précède que L_n admet sur [0, + ∞[ × ]0, + ∞[ un maximum absolu atteint en un unique point ( a_0, b_0 ) que l'on précisera.

3.3. Partie II : Etude d'une loi

Soit a ⩾ 0 et b > 0. On considère la fonction f_(a, b) définie sur ℝ par :
{f_(a, b)(x) = 1/be^(− ((x − a))/b) si x ⩾ a; f_(a, b)(x) = 0 sinon
  1. Vérifier que f_(a, b) est bien une densité de variable aléatoire. On note E(a, b) la loi associée.
On considère désormais une variable aléatoire X de loi E(a, b).
2. Déterminer la fonction de répartition de X.
3. On pose Y = X − a. Déterminer la loi de Y et la reconnaître.
En déduire E(X) et V(X).
4. Soit p ∈ ℕ. Montrer que X admet un moment d'ordre p, E(X^p), et pour p > 0 déterminer une relation liant E(X^p) et E(X^(p − 1)).
5. Simulation de la loi E(a, b).
a. Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1[.
Montrer que la variable aléatoire − bln(1 − U) + a suit une loi E(a, b).
b. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1[.
Ecrire, en langage Pascal, une fonction tirage, de paramètres a et b simulant une variable aléatoire de loi E(a, b).

3.4. Partie III : Estimation des paramètres a et b

a et b désignent toujours deux réels tels que a ⩾ 0 et b > 0. On considère désormais une suite de variables aléatoires (X_i)_(i ⩾ 1) indépendantes identiquement distribuées de loi E(a, b).
Pour n entier supérieur ou égal à 2 , on considère les variables aléatoires S_n et Y_n définies par S_n = X_1 + X_2 + ⋯ + X_n et Y_n = min(X_1, X_2, …, X_n).
Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs de a et b.
  1. La fonction tirage, ainsi que les variables informatiques a, b, X, S, Y de type real et i, n de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il simule S_n et Y_n (les valeurs étant stockées
    respectivement dans S et Y ).
begin
    randomize ;
    readln(a,b,n) ;
    X:=tirage(a,b) ;
    S:=... ;
    Y:=...;
    for i:= 2 to n do...
        ......
        ......
        ......
    ...
end.
  1. Déterminer l'espérance et la variance de S_n.
  2. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire (X_1 − a) + (X_2 − a) + ⋯ + (X_n − a) ? En déduire une densité de S_n.
  3. Déterminer la fonction de répartition de Y_n.
En déduire que Y_n suit une loi E(a_n, b_n) (on précisera a_n et b_n ).
Donner les valeurs de E(Y_n) et V(Y_n).
5. a. Calculer le biais ainsi que le risque quadratique de Y_n en tant qu'estimateur de a.
b. Rappeler l'inégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2.
A l'aide de ce qui précède, prouver que ( Y_n ) est une suite d'estimateurs de a asymptotiquement sans biais, convergente.
6. On pose Z_n = (S_n)/n − Y_n.
a. Calculer le biais de Z_n en tant qu'estimateur de b.
b. On note r_(Z_n)(b) le risque quadratique de Z_n. Montrer que
r_(Z_n)(b) = (2b^2)/(n^2) + (b^2)/n − 2/nCov(S_n, Y_n).
c. A l'aide du préliminaire montrer que
lim_(n → + ∞)r_(Z_n)(b) = 0
et en déduire que ( Z_n ) est une suite d'estimateurs de b asymptotiquement sans biais, convergente.
7. Pour un échantillon donné ( x_1, …, x_n ), avec min{x_1, …, x_n} ≠ max{x_1, …, x_n}, correspondant à une réalisation des n variables aléatoires X_1, …, X_n, on définit la fonction L sur [0, + ∞[ × ]0, + ∞[ par
L(a, b) = ∏_(i = 1)^n f_(a, b)(x_i)
a. Montrer que L est la fonction L_n définie dans la partie I, pour des valeurs de A et S que l'on précisera en fonction des x_i.
b. Comparer les estimations de a et b obtenues sur l'échantillon (x_1, …, x_n) à partir de Y_n et Z_n avec les valeurs a_0 et b_0 obtenues dans la partie I .

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