WikiPrépaLivrets

Ecricome Maths approfondies ECS 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

Pas encore noté
Logo concours Ecricome

Explorer les annales

BanqueEcricomeAnnée2005FilièreECSMatièreMathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2005ECS MathématiquesMathématiques 2005

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Mathématiques approfondies Ecricome 2005 : matrices dépendant de trois paramètres, suite récurrente en racine carrée, et loi de Student
Afficher ou masquer la section

Ce sujet ECS comporte deux exercices et un problème de probabilités. Le premier exercice étudie une matrice M(a,b,c) combinaison de trois matrices fixes, ses valeurs propres et l'existence de racines carrées matricielles. Le deuxième étudie une suite récurrente u_n = racine(n + u_{n-1}), son comportement asymptotique et un équivalent en plus l'infini. Le problème construit la loi de Student à n degrés de liberté par un calcul d'intégrale, puis simule une loi de Cauchy par un rayon lumineux et la retrouve comme quotient de deux gaussiennes indépendantes.

  1. 1Exercice 1 : matrice M(a,b,c) et racine carrée matricielleOn décompose M(a,b,c) sur trois matrices fixes, on diagonalise K, on détermine les valeurs propres de M selon a, b, c, et on résout l'équation B^2 = M.
  2. 2Exercice 2 : étude d'une suite récurrente en racine carréeOn étudie la suite u_n = racine(n + u_{n-1}), sa croissance, sa limite après translation par racine(n), et on écrit une fonction Pascal récursive qui la calcule.
  3. 3Problème, parties I et II : loi de StudentOn calcule une famille d'intégrales J_alpha, puis on construit la loi de Student à n degrés de liberté, son espérance et sa variance en fonction de n.
  4. 4Problème, parties III et IV : simulation et loi de CauchyOn simule la loi de Cauchy à partir d'un rayon lumineux d'angle uniforme, puis on retrouve cette loi comme quotient de deux variables gaussiennes indépendantes.

Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2005.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

CONCOURS D'ADMISSION 2005

MATHÉMATIQUES Option Scientifique

Lundi 2 mai 2005 de 8 h00 à 12 h00Durée : 4 heures

Candidat bénéficiant de la mesure «Tiers-temps»: 8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé. Aucun instrument de calcul n'est autorisé.

L'énoncé comporte 6 pages

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

1. EXERCICE

L'espace ℝ^3 est muni de son produit scalaire usuel. Trois réels a, b, c étant donnés, on pose :
M(a, b, c) = [a, c, b; c, a + b, c; b, c, a]
  1. Déterminer trois matrices I, J, K dont les coefficients ne dépendent pas de a, b, c,telles que :
M(a, b, c) = aI + bJ + cK
Calculer J^2, K^2 et K^3. Déterminer une relation entre I, J et K^2, ainsi qu'un polynôme annulateur de K.
Quelles sont les valeurs propres possibles de K ?
2. Justifier qu'il existe une matrice P ∈ M_3(ℝ) inversible, telle que D = (^t P)KP soit une matrice diagonale.
Déterminer P et D vérifiant les conditions précédentes et telles que d_(11) < d_(22) < d_(33) (où d_(ij) est le coefficient d'indices i, j de D.)
3. En écrivant M = M(a, b, c) en fonction de I, K, K^2, déterminer la matrice (^t P)MP. En déduire les valeurs propres de la matrice M.
Discuter suivant les valeurs de a, b, c le nombre de valeurs propres distinctes de M et préciser dans chaque cas les sous-espaces propres associés.
4. On suppose dans cette question a = 4, b = 2, c = √2 et on note M = M(4, 2, √2).
On pose X^′ = (x^′; y^′; z^′) = (^t P)X, où X = (x; y; z)
a. On définit la fonction f sur ℝ^3∖{(0, 0, 0)} par :
f(x, y, z) = ((^t X)MX)/(‖X‖^2)
i. Montrer que ‖X‖^2 = ‖X^′‖^2 puis que
f(x, y, z) = (4x^(′2) + 2y^(′2) + 8z^(′2))/(x^(′2) + y^(′2) + z^(′2))
ii. Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum de f sur ℝ^3∖{(0, 0, 0)} et déterminer les points en lesquels ils sont atteints.
b. On cherche désormais à résoudre l'équation B^2 = M d'inconnue B ∈ M_3(ℝ).
i. Soit B une solution de l'équation (s'il en existe).
Montrer que B et M commutent.
En déduire que si X appartient au sous-espace propre E_λ de M attaché à la valeur propre λ, alors BX appartient aussi à E_λ.
Montrer que les vecteurs propres de M sont également vecteurs propres de B.
Justifier alors que Δ = (^t P)BP est une matrice diagonale.
ii. Résoudre l'équation Δ^2 = (^t P)MP d'inconnue Δ et donner le nombre de solutions de l'équation B^2 = M.

2. EXERCICE.

On définit une suite réelle (u_n)_(n ∈ ℕ) par :
u_0 ⩾ 0 et, pour n ⩾ 1, u_n = √(n + u_(n − 1))
  1. Montrer que pour tout entier n, u_n ⩾ √n.
a. Montrer que :
∀x ∈ ℝ^+, √x ⩽ 1/2(1 + x).
b. En déduire que pour tout entier n, u_n ⩽ n + (u_0)/(2^n) puis que la suite ((u_(n − 1))/(n^2))_(n ⩾ 1) converge vers 0 .
c. Montrer que la suite ((u_n)/n)_(n ⩾ 1) converge vers 0 , puis en remarquant que, pour tout entier n non nul, 1 ⩽ (u_n)/(√n) ⩽ √(1 + (u_(n − 1))/n), en déduire un équivalent de u_n en + ∞.
3. On pose w_n = u_n − √n. A l'aide d'un développement limité en 0 de √(1 + x), montrer que la suite (w_n)_(n ∈ ℕ) admet une limite L que l'on précisera.
4. Calculer
lim_(n → + ∞)(√n − √(n − 1)) puis lim_(n → + ∞)(u_n − u_(n − 1)).
Justifier alors qu'il existe un entier naturel N_0 tel que pour tout entier n, si n ⩾ N_0 alors u_n ⩾ u_(n − 1) − 1/2.
Montrer que u_(n + 1) − u_n est du signe de 1 + u_n − u_(n − 1), puis que la suite ( u_n ) est croissante à partir d'un certain rang.
5. Ecrire en langage Pascal une fonction récursive ayant pour nom suite qui calcule le terme d'indice n de la suite lorsque u_0 = 1.

3. PROBLEME.

X et Y étant deux variables aléatoires réelles, définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, admettant pour densités respectives f_X et f_Y, on rappelle que la fonction h définie par
h(x) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)f_X(t)f_Y(x − t)dt
est une densité de la variable aléatoire X + Y.

Partie I: Un calcul d'intégrale.

  1. Déterminer pour quelles valeurs du réel α l'intégrale J_α converge où
J_α = ∫_0^(+ ∞)(dt)/((1 + t^2)^α)
  1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout réel α supérieur ou égal à 1 on a :
∫_0^(+ ∞)(t^2)/((1 + t^2)^(α + 1))dt = 1/(2α)J_α
En déduire que, pour tout réel α supérieur ou égal à 1 on a :
J_(α + 1) = (2α − 1)/(2α)J_α
  1. Calculer J_1.
Pour n entier supérieur ou égal à 1 , calculer J_n.

Partie II : Loi de Student à n degrés de liberté.

Pour n ∈ ℕ^∗, on définit sur ℝ la fonction g_n par :
∀t ∈ ℝ, g_n(t) = (1 + (t^2)/n)^(− (n + 1)/2)
  1. Justifier que, pour tout n ∈ ℕ^∗, il existe un réel k_n tel que la fonction f_n = 1/(k_n)g_n soit une densité de probabilité.
    Exprimer k_n à l'aide de (J_(n + 1))/2. (On pourra, en justifiant sa validité, utiliser le changement de variables u = t/(√n) ).
  2. Soient ( Ω, A, P ) un espace probabilisé et X une variable aléatoire définie sur ( Ω, A, P ), de densité f_n. (On dira que X suit une loi de Student à n degrés de liberté).
    a. Montrer que X admet une espérance si et seulement si n > 1 et la calculer dans ce cas.
    b. Montrer que X admet une variance si et seulement si n > 2, exprimer V(X) en fonction de k_n, n et (J_(n − 1))/2 puis vérifier que
V(X) = n/(n − 2)
Lorsque n = 1 la loi de Student à 1 degré de liberté s'appelle loi de Cauchy et une densité sur ℝ est donc :
f_1 : t ↦ 1/π1/(1 + t^2)

Partie III : Simulation d'une loi.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct ( O, ı⃗, ȷ⃗ ), un rayon lumineux part de l'origine O et frappe un écran représenté par la droite d'équation x = 1, en un point M. On suppose que Θ, mesure de l'angle ( ı⃗, OM^(→−) ), est une variable aléatoire de loi uniforme sur ] − π/2, π/2[.
  1. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire tanΘ. En déduire que tanΘ est une variable aléatoire à densité, dont on explicitera une densité.
  2. Exprimer Y, variable aléatoire égale à l'ordonnée du point M, en fonction de Θ. Reconnaître la loi de Y.
  3. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random simule une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. On considère le programme informatique suivant :
program simu;
var u,x:real;
begin
randomize;
u:=random;
x:= = sin}(pi*u-pi/2)
end.
Quelle loi de probabilité ce programme permet-il de simuler ? Expliquer.

Partie IV : Obtention d'une loi de Cauchy à partir de lois normales.

On considère un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
  1. Soit Y une variable aléatoire définie sur ( Ω, A, P ), de fonction de répartition F. On notera G la fonction de répartition de la variable aléatoire |Y|.
    a. On suppose dans cette question que Y est une variable aléatoire de densité f continue sur ℝ.
    Exprimer une densité de − Y à l'aide de f et montrer que Y et − Y ont même loi si et seulement si f est paire.
    On suppose cette condition vérifiée. Exprimer G à l'aide de F et montrer que |Y| est une variable aléatoire à densité. Exprimer une densité g de |Y| en fonction de f.
    b. Inversement, on suppose dans cette question que |Y| est une variable aléatoire de densité g, et que Y et − Y ont la même loi.
    Montrer que, pour tout réel x, P([Y = x]) = 0, puis exprimer F(x) en fonction de F(− x)
    Exprimer F(x) en fonction de G et de x. (on pourra distinguer deux cas : x < 0 et x ⩾ 0 ).
    En déduire que Y est une variable à densité et exprimer une densité f de Y en fonction de g.
  2. Soit e un réel strictement positif. A l'aide du changement de variable u = e^(2t), montrer que l'intégrale
∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(2t)e^(− (ce^(2t))/2)dt
converge et la calculer.
3. Soient X et X^′ deux variables aléatoires définies sur ( Ω, A, P ), indépendantes, à valeurs dans ℝ^∗, de même densité φ définie par :
∀x ∈ ℝ, φ(x) = 1/(√(2π))e^(− (x^2)/2)
a. Montrer que la variable aléatoire Z = ln|X| est une variable aléatoire à densité, et en déterminer une densité. Quelle est une densité de la variable aléatoire − Z ?
b. Montrer qu'une densité h de la variable aléatoire ln|X/(X^′)| est domnée par :
∀x ∈ ℝ, h(x) = 2/π(e^x)/(e^(2x) + 1)
c. Déterminer une densité de la variable aléatoire |X/(X^′)| puis reconnaitre la loi de X/(X^′).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies Ecricome ECS 2005 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies Ecricome ECS 2005 ?

Il porte sur la réduction des matrices, les suites récurrentes et développements asymptotiques, les intégrales à paramètre et les variables aléatoires à densité (lois de Student et de Cauchy).

Les deux exercices et le problème sont-ils indépendants ?

Oui, les deux exercices et le problème de probabilités portent sur des sujets distincts et peuvent être traités séparément.

Qu'est-ce que la loi de Student étudiée dans le problème ?

C'est une loi de probabilité à densité, construite à partir d'une famille d'intégrales J_alpha, dont l'espérance existe si n > 1 et la variance si n > 2, et qui redonne la loi de Cauchy pour n = 1.

Faut-il maîtriser Pascal pour ce sujet ?

L'exercice 2 demande d'écrire une fonction récursive en Pascal, et le problème demande d'analyser un court programme Pascal simulant une loi de probabilité.

Pas de description pour le moment