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BCE Maths appliquées ESC ECE 2006Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2006

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Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2006.

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EPREUVES ESC
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUE

Année 2006
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1

On considère les matrices : A = (5, − 8, 4; 1, 0, 0; 0, 1, 0), T = (1, 0, 0; 0, 2, 1; 0, 0, 2), P_α = (1, 4, α; 1, 2, 1; 1, 1, 0) où α ∈ ℝ.
On note f l'endomorphisme de ℝ^3 de matrice A dans la base canonique B = (e_1^(→−), e_2^(→−), e_3^(→−)) de ℝ^3.
  1. Etudier en discutant selon α l'inversibilité de la matrice P_α. (On utilisera la méthode du pivot).
  2. On note Q le polynôme défini sur ℝ par Q(x) = − x^3 + 5x^2 − 8x + 4.
    (a) Montrer par une méthode du pivot que : λ est valeur propre de A ⟺ Q(λ) = 0.
    (b) Calculer Q(1). En déduire les valeurs propres de A.
    (c) Déterminer une base de chaque sous-espace propre de A.
La matrice A est-elle diagonalisable ?
3. On définit les triplets v_1^(→−) = (1, 1, 1) et v_2^(→−) = (4, 2, 1).
(a) Justifier que f(v_1^(→−)) = v_1^(→−) et que f(v_2^(→−)) = 2v_2^(→−).
Déterminer le réel α_0 tel que le triplet v_3^(→−) = (α_0, 1, 0) vérifie f(v_3^(→−)) = v_2^(→−) + 2v_3^(→−).
(b) Montrer grâce à la question 1 que P_(α_0) est inversible.
En déduire que la famille B^′ = (v_1^(→−), v_2^(→−), v_3^(→−)) est une base de ℝ^3.
(c) Vérifier par calcul que P_(α_0)(9; − 8; 6) = (1; − 1; 1) (ce résultat servira en question 4.)
(d) Sans calculer P_(α_0)^(− 1), justifier la relation: A = P_(α_0)TP_(α_0)^(− 1)
(e) Montrer que pour tout entier naturel n, T^n = (1, 0, 0; 0, 2^n, n2^(n − 1); 0, 0, 2^n)
4. On considère la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) ainsi définie :
{u_0 = 1; u_1 = − 1; u_2 = 1; Pour tout entier naturel n, u_(n + 3) = 5u_(n + 2) − 8u_(n + 1) + 4u_n
(a) On pose, pour tout entier naturel n, Y_n = (u_(n + 2); u_(n + 1); u_n). Montrer que Y_(n + 1) = AY_n.
(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Y_n = P_(α_0)T^n P_(α_0)^(− 1)Y_0.
(c) En utilisant la question 3., exprimer u_n en fonction de n pour tout entier naturel n.

EXERCICE 2

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x) = e^x − x.
Pour chaque entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on considère l'équation notée (E_n) : g(x) = n, d'inconnue le réel x..
  1. (a) Dresser le tableau des variations de g en précisant les limites aux bornes.
    (b) Montrer que l'équation ( E_n ) admet exactement deux solutions, l'une strictement négative notée α_n et l'autre strictement positive notée β_n.
  2. Dans cette question on note (u_k)_(k ∈ ℕ) la suite ainsi définie :
{u_0 = − 1; Pour tout entier naturel k, u_(k + 1) = e^(u_k) − 2
(a) On rappelle que α_2 est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsque n = 2
Calculer g(− 1) et g(− 2) puis montrer que 2 ⩽ α_2 ⩽ − 1.
(b) Justifier que e^(α_2) − 2 = α_2.
En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturel : α_2 ⩽ u_k ⩽ − 1.
(c) En utilisant l'inégalité des accroissements finis avec une fonction adéquate, montrer que pour tous réels a et b tels que a ⩽ − b ⩽ − 1, 0 ⩽ e^b − e^a ⩽ 1/e(b − a).
(d) Montrer que pour tout entier naturel k, u_(k + 1) − α_2 = e^(u_k) − e^(α_2)
En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturel k : 0 ⩽ u_k − α_2 ⩽ (1/e)^k.
(e) Montrer que la suite (u_k)_(k ∈ ℕ) est convergente et de limite α_2.
(f) On considère le programme Turbo-Pascal suivant: ( où trunc désigne la fonction partie entière)
program ex2 ;
var N, k : integer ; epsilon, u : real ;
begin
writeln ( ' Donnez un reel strictement positif');
readln (epsilon );
N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u ._ -1 ;
for k := 1 to N do ...........................;
end.
Montrer que l'entier naturel N calculé dans ce programme vérifie : (1/e)^N ⩽ epsilon
Compléter la partie pointillée de ce programme afin que la variable u contienne après son exécution une valeur approchée de α_2 à epsilon près.
3. On revient au cas général où n ⩾ 2.
(a) Montrer que 1 ⩽ g(lnn) ⩽ n. En déduire (ln(2n)) ⩾ n (on donne ln2 ≃ 0, 69).
(b) En déduire que ln(n) ⩽ β_n ⩽ ln(2n), puis établir β_n ∼ _(n → + ∞)ln(n).

EXERCICE 3

Dans cet exercice R désigne un réel fixé strictement positif et on considère la fonction f définie sur ℝ par :
{f(t) = 0, si t ∉ [0; R]; f(t) = (2t)/(R^2), si t ∈ [0; R]
  1. (a) Etudier la continuité de f.
    (b) Montrer que f est une densité de probabilité.
On note dans toute la suite X une variable aléatoire réelle de densité f.F_X désigne sa fonction de répartition.
2. (a) Déterminer la valeur F_X(x) lorsque x < 0, puis lorsque x > R.
(b) Montrer que pour tout réel x de [0; R], F_X(x) = (x^2)/(R^2).
3. (a) Montrer que X admet une espérance et que E(X) = (2R)/3.
(b) Montrer que X admet une variance et que V(X) = (R^2)/(18).
Dans toute la suite n désigne un entier naturel non nul et X_1, X_2, …, X_n des variables aléatoires indépendantes et de même loi que X. On cherche à estimer le réel R à l'aide de X_1, X_2, .., X_n.
4. On note T_n = 3/(2n)∑_(k = 1)^n X_k et on cherche à estimer R avec T_n.
Montrer que T_n est un estimateur sans biais de R et calculer son risque quadratique noté r(T_n).
5. On note M_n la variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables X_1, X_2, .., X_n, de sorte que pour tout réel x, (M_n ⩽ x) = (X_1 ⩽ x) ∩ (X_2 ⩽ x) ∩ ⋯ ∩ (X_n ⩽ x).
(a) Montrer que pour tout réel x, P(M_n ⩽ x) = (F_X(x))^n. En déduire la fonction de répartition de M_n, puis montrer que M_n est une variable aléatoire à densité.
(b) Montrer qu'une densité possible de M_n est la fonction g_n définie sur ℝ par :
{g_n(t) = 2n(t^(2n − 1))/(R^(2n)), si t ∈ [0; R]; g_n(t) = 0, si t ∉ [0; R]
(c) Montrer que M_n admet une espérance et une variance, et que:
E(M_n) = (2n)/(2n + 1)R et V(M_n) = n/((n + 1)(2n + 1)^2)R^2
(d) On cherche à estimer R avec M_n :
Calculer le biais de M_n, noté b(M_n), et son risque quadratique noté r(M_n).
6. (a) Déterminer un équivalent simple lorsque n tend vers ∞ de b(M_n) et r(M_n).
(b) Quels sont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateurs T_n et M_n ?

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