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BCE Maths appliquees ESC ECE 2006

Epreuve de maths appliquees - ECE 2006

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Algèbre linéaireRéductionSuites et séries de fonctionsProbabilités continuesStatistiquesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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Banque
BCE
Année
2006
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2006ECE MathématiquesMathématiques 2006

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2006.

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EPREUVES ESC
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUESOPTION ECONOMIQUE

Année 2006
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1

On considère les matrices : où .
On note l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique de .
  1. Etudier en discutant selon l'inversibilité de la matrice . (On utilisera la méthode du pivot).
  2. On note le polynôme défini sur par .
    (a) Montrer par une méthode du pivot que : est valeur propre de .
    (b) Calculer . En déduire les valeurs propres de .
    (c) Déterminer une base de chaque sous-espace propre de .
La matrice est-elle diagonalisable ?
3. On définit les triplets et .
(a) Justifier que et que .
Déterminer le réel tel que le triplet vérifie .
(b) Montrer grâce à la question 1 que est inversible.
En déduire que la famille est une base de .
(c) Vérifier par calcul que (ce résultat servira en question 4.)
(d) Sans calculer , justifier la relation:
(e) Montrer que pour tout entier naturel
4. On considère la suite ainsi définie :

(a) On pose, pour tout entier naturel . Montrer que .
(b) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel , .
(c) En utilisant la question 3., exprimer en fonction de pour tout entier naturel .

EXERCICE 2

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.
On considère la fonction définie sur par .
Pour chaque entier naturel supérieur ou égal à 2 , on considère l'équation notée , d'inconnue le réel ..
  1. (a) Dresser le tableau des variations de en précisant les limites aux bornes.
    (b) Montrer que l'équation ( ) admet exactement deux solutions, l'une strictement négative notée et l'autre strictement positive notée .
  2. Dans cette question on note la suite ainsi définie :
(a) On rappelle que est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsque
Calculer et puis montrer que .
(b) Justifier que .
En déduire par récurrence sur que pour tout entier naturel : .
(c) En utilisant l'inégalité des accroissements finis avec une fonction adéquate, montrer que pour tous réels et tels que .
(d) Montrer que pour tout entier naturel
En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturel .
(e) Montrer que la suite est convergente et de limite .
(f) On considère le programme Turbo-Pascal suivant: ( où trunc désigne la fonction partie entière)
program ex2 ;
var N, k : integer ; epsilon, u : real ;
begin
writeln ( ' Donnez un reel strictement positif');
readln (epsilon );
N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u ._ -1 ;
for k := 1 to N do ...........................;
end.
Montrer que l'entier naturel calculé dans ce programme vérifie : epsilon
Compléter la partie pointillée de ce programme afin que la variable u contienne après son exécution une valeur approchée de à epsilon près.
3. On revient au cas général où .
(a) Montrer que . En déduire (on donne .
(b) En déduire que , puis établir .

EXERCICE 3

Dans cet exercice désigne un réel fixé strictement positif et on considère la fonction définie sur par :
  1. (a) Etudier la continuité de .
    (b) Montrer que est une densité de probabilité.
On note dans toute la suite une variable aléatoire réelle de densité désigne sa fonction de répartition.
2. (a) Déterminer la valeur lorsque , puis lorsque .
(b) Montrer que pour tout réel de .
3. (a) Montrer que admet une espérance et que .
(b) Montrer que admet une variance et que .
Dans toute la suite désigne un entier naturel non nul et des variables aléatoires indépendantes et de même loi que . On cherche à estimer le réel à l'aide de .
4. On note et on cherche à estimer avec .
Montrer que est un estimateur sans biais de et calculer son risque quadratique noté .
5. On note la variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables , de sorte que pour tout réel .
(a) Montrer que pour tout réel . En déduire la fonction de répartition de , puis montrer que est une variable aléatoire à densité.
(b) Montrer qu'une densité possible de est la fonction définie sur par :
(c) Montrer que admet une espérance et une variance, et que:
(d) On cherche à estimer avec :
Calculer le biais de , noté , et son risque quadratique noté .
6. (a) Déterminer un équivalent simple lorsque tend vers de et .
(b) Quels sont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateurs et ?

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