BCE Maths appliquées emlyon ECE 2006Sujet et corrigé
Epreuve de maths appliquées - ECE 2006
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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2006.
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CODE EPREUVE :
296
EML_MATE
Concepteur : EM LYON
MATHÉMATIQUES
Mardi 2 mai 2006 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Exercice 1
On considère les trois matrices de
M_2(ℝ) suivantes :
1.a. Quelles sont les valeurs propres de
A ?
b. Déterminer une matrice inversibleP telle que :
A = PDP^(− 1) .
b. Déterminer une matrice inversible
On note
E l'ensemble des matrices carrées
M d'ordre deux telles que :
AM = MD .
2.a. Vérifier queE est un sous-espace vectoriel de
M_2(ℝ) .
b. SoitM = (x, y; z, t) une matrice de
M_2(ℝ) .
2.a. Vérifier que
b. Soit
Montrer que
M appartient à
E si et seulement si :
z = 0 et
y = t .
c. Établir que (U, A ) est une base de
E .
d. Calculer le produitUA . Est-ce que
UA est élément de
E ?
3. On notef : M_2(ℝ) ⟶ M_2(ℝ) l'application définie, pour toute
M ∈ M_2(ℝ) , par :
c. Établir que (
d. Calculer le produit
3. On note
a. Vérifier que
f est linéaire.
b. Déterminer le noyau def et donner sa dimension.
c. Quelle est la dimension de l'image def ?
d. Déterminer les matricesM de
M_2(ℝ) telles que
f(M) = M .
b. Déterminer le noyau de
c. Quelle est la dimension de l'image de
d. Déterminer les matrices
En déduire que 1 est valeur propre de
f .
Montrer que -1 est aussi valeur propre def .
e. Est-ce quef est diagonalisable ?
f. Montrer :f ∘ f ∘ f = f .
Montrer que -1 est aussi valeur propre de
e. Est-ce que
f. Montrer :
Exercice 2
On note
F : ℝ^2 ⟶ ℝ l'application définie, pour tout
(x, y) ∈ ℝ^2 par :
1.a. Montrer que
(4, 2) et
(2, 3) sont des points critiques de
F .
b. Est-ce queF présente un extrémum local au point ( 4,2 ) ?
b. Est-ce que
Est-ce que
F présente un extrémum local au point
(2, 3) ?
2. On noteφ : ℝ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout
x ∈ ℝ , par :
2. On note
a. Montrer :
∀x ∈ [4; + ∞[, (x − 2)(2x − 5) ⩾ 4 .
b. En déduire :∀x ∈ [4; + ∞[, φ(x) ⩾ 4x et
φ(x) ∈ [4; + ∞[ .
3. On considère la suite réelle(u_n)_(n ∈ ℕ) définie par
u_0 = 4 et :
b. En déduire :
3. On considère la suite réelle
a. Exprimer
u_(n + 1) en fonction de
u_n à l'aide de la fonction
φ .
b. Montrer :∀n ∈ ℕ, u_n ⩾ 4^(n + 1) .
b. Montrer :
Quelle est la nature de la série de terme général
1/(u_n) ?
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier natureln tel que
u_n ⩾ 10^(10) .
4. On noteg : [4; + ∞[ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout
x ∈ [4; + ∞[ , par :
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel
4. On note
a. Montrer que l'intégrale
∫_4^(+ ∞)g(x)dx converge.
b. Trouver trois réelsa, b, c tels que :
b. Trouver trois réels
c. Calculer
∫_4^(+ ∞)g(x)dx .
Exercice 3
Partie A
- Soit
U une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérance nulle et de variance1/2 .
a. Rappeler l'expression d'une densité deU .
b. En utilisant la définition de la variance deU , montrer que l'intégrale∫_0^(+ ∞)x^2 e^(− x^2) dx est convergente et que∫_0^(+ ∞)x^2 e^(− x^2) dx = (√π)/4 .
Soit
F la fonction définie sur
ℝpar{∀x ⩽ 0,, F(x) = 0; ∀x > 0,, F(x) = 1 − e^(− x^2) .
2. Montrer que la fonctionF définit une fonction de répartition d'une variable aléatoire dont on déterminera une densité
f .
3. SoitX une variable aléatoire admettant
f pour densité.
a. Montrer queX admet une espérance
E(X) et que
E(X) = (√π)/2 .
b. Déterminer, pour tout réely , la probabilité
P(X^2 ⩽ y) . On distinguera les cas
y ⩽ 0 et
y > 0 .
c. Montrer que la variable aléatoireX^2 suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. En déduire que
X admet une variance
V(X) et calculer
V(X) .
2. Montrer que la fonction
3. Soit
a. Montrer que
b. Déterminer, pour tout réel
c. Montrer que la variable aléatoire
Partie B
- Soit
Z une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètrep .
Ainsi, pour tout
k ∈ ℕ^∗, P(Z = k) = p(1 − p)^(k − 1) .
Rappeler la valeur de l'espéranceE(Z) et celle de la variance
V(Z) de la variable aléatoire
Z .
2. Soient un entiern supérieur ou égal à 2 et
n variables aléatoires indépendantes
Z_1, Z_2, …, Z_n suivant toutes la loi géométrique de paramètre
p .
On considère la variable aléatoireM_n = 1/n(Z_1 + Z_2 + ⋯ + Z_n) .
a. Déterminer l'espérancem et l'écart-type
σ_n de
M_n .
b. Montrer quelim_(n → + ∞)P(0 ⩽ M_n − m ⩽ σ_n) existe et exprimer sa valeur à l'aide de
∫_0^1 e^(− (x^2)/2) dx .
Rappeler la valeur de l'espérance
2. Soient un entier
On considère la variable aléatoire
a. Déterminer l'espérance
b. Montrer que
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