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Ecricome Maths appliquées ECE 2006Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2006

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Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2006.

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ECRICOME 2006
Option Economique

1 EXERCICE

. On considère la fonction f définie pour tout réel x par :
f(x) = x + 1 + 2e^x
ainsi que la fonction g des deux variables réelles x et y définie par :
g(x, y) = e^x(x + y^2 + e^x)

1.1 Recherche d'extremum local de g.

  1. Etudier les variations de f et donner les limites de f(x) lorsque x tend vers + ∞ et − ∞.
  2. Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de − ∞ et donner la position de la courbe représentative de f par rapport à cette asymptote.
  3. Déduire des variations de f l'existence d'un unique réel α, élément de l'intervalle [ − 2, − 1] tel que f(α) = 0. ( on rappelle que e ≃ 2, 7 )
  4. Déterminer le seul point critique de g, c'est-à-dire le seul couple de ℝ^2, en lequel g est susceptible de présenter un extremum.
  5. Vérifier que g présente un extremum relatif β en ce point. Est-ce un maximum ou un minimum?
  6. Montrer que l'on a :
4β + α^2 − 1 = 0

1.2 Etude d'une suite réelle.

On s'intéresse à la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par son premier terme u_0 = − 1 et par la relation
∀n ∈ ℕ u_(n + 1) = u_n − (f(u_n))/(f^′(u_n))
  1. Prouver que f est convexe sur ℝ. En déduire que que pour tous réels x et t :
f(x) + (t − x)f^′(x) ≤ f(t)
  1. En déduire l'inégalité suivante :
∀n ∈ ℕ α ≤ u_(n + 1)
Puis que pour tout entier naturel n. :
α ≤ u_(n + 1) ≤ u_n ≤ − 1
En déduire que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est convergente vers un réel à préciser
3. On admet que pour tout x de l'intervalle [ − 2, − 1] :
0 ≤ (x − α)f^′(x) − f(x) ≤ ((x − α)^2)/e
a) Prouver alors que pour tout entier naturel n :
0 ≤ u_(n + 1) − α ≤ ((u_n − α)^2)/e
b) Puis démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
0 ≤ u_n − α ≤ 1/(e^(2^n − 1))
  1. Écrire un programme en langage Pascal permettant, lorsque l'entier naturel p est donné par l'utilisateur, de calculer une valeur approchée de α, de telle sorte que l'on ait :
0 ≤ u_n − α ≤ 10^(− p)

2 EXERCICE

Pour tout entier naturel n, on définit la fonction f_n de la variable réelle x par :
f_n(x) = x^n exp(− (x^2)/2)
  1. Justifier que f_n(x) est négligeable devant 1/(x^2) au voisinage de + ∞.
  2. Prouver la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f_n(x)dx
  3. On pose I_n = ∫_0^(+ ∞)f_n(x)dx
    a) A l'aide d'une intégration par parties portant sur des intégrales définies sur le segment [0, A] avec A ≥ 0, prouver que pour tout entier naturel n :
I_(n + 2) = (n + 1)I_n
b) En utilisant la loi normale centrée réduite, justifier que :
I_0 = √(π/2)
c) Donner la valeur de I_1
d) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
I_(2n), = √(π/2)((2n)!)/(2^n n!); I_(2n + 1), = 2^n n!
  1. Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
{f(x) = f_1(x), si x ≥ 0; f(x) = 0, si x < 0
a) Démontrer que f est une densité de probabilité.
b) Soit X une variable aléatoire réelle qui admet f pour densité de probabilité.
i. Justifier que X admet une espérance E(X), et préciser sa valeur
ii. Justifier que X admet une variance V(X), et préciser sa valeur.
5. On désigne par F et G les fonctions de répartitions respectives de X et de Y = X^2
a) Exprimer G(x) en fonction de F(x) en distinguant les deux cas : x < 0 et x ≥ 0
b) En déduire que Y est une variable à densité. Reconnaître la loi de Y et donner la valeur de E(Y) et V(Y)

3 EXERCICE.

E désigne l'espace des fonctions polynômes à coefficients réels, dont le degré est inférieur ou égal à l'entier naturel 2.

3.1 Étude d'un endomorphisme de E.

On considère l'application f qui, à tout élément P de E, associe la fonction polynôme Q telle que :
pour tout x réel : Q(x) = (x − 1)P^′(x) + P(x)
et B = (P_0, P_1, P_2) la base canonique de E définie par :
pour tout réel x : P_0(x) = 1, P_1(x) = x et P_2(x) = x^2
  1. Montrer que f est un endomorphisme de E.
  2. Vérifier que la matrice A de f dans B, s'écrit sous la forme :
A = (1, − 1, 0; 0, 2, − 2; 0, 0, 3)
  1. Quelles sont les valeurs propres de f ? f est-il diagonalisable? f est-il un automorphisme de E ?
  2. Déterminer l'image par f des fonctions polynômes R_0, R_1, R_2 définies par:
pour tout réel x : R_0(x) = 1, R_1(x) = x − 1 et R_2(x) = (x − 1)^2
  1. Montrer que B^′ = (R_0, R_1, R_2) est une base de vecteurs propres de f. Écrire la matrice de passage P de la base B à la base B^′ ainsi que la matrice D de f dans la base B^′.
  2. Vérifier que pour tout réel x :
{R_2(x) + 2R_1(x) + R_0(x) = P_2(x); R_1(x) + R_0(x) = P_1(x)
En déduire la matrice de passage de la base B^′ à la base B
7. Écrire A^(− 1) en fonction de D^(− 1). Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
[A^(− 1)]^n = P[D^(− 1)]^n P^(− 1)
et expliciter la troisième colonne de la matrice [A^(− 1)]^n

3.2 Suite d'épreuves aléatoires.

On dispose d'une urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2 .
On s'intéresse à une suite d'épreuves définies de la manière suivante :
  • La première épreuve consiste à choisir au hasard une boule dans cette urne.
  • Si j est le numéro de la boule tirée, on enlève de l'urne toutes les boules dont le numéro est strictement supérieur à j, le tirage suivant se faisant alors dans l'urne ne contenant plus que les boules numérotées de 0 à j.
    On considère alors la variable aléatoire réelle X_k égale au numéro de la boule obtenue à la k^(ème) épreuve ( k ≥ 0 )
    On note alors U_k la matrice unicolonne définie par :
U_k = (P[X_k = 0]; P[X_k = 1]; P[X_k = 2])
où P[X_k = j] est la probabilité de tirer la boule numéro j à la k^(ème) épreuve.
On convient de définir la matrice U_0 par :
U_0 = (0; 0; 1)
  1. Déterminer la loi de X_2 (On pourra s'aider d'un arbre). Calculer l'espérance et la variance de X_2
  2. Par utilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturel k :
U_(k + 1) = A^(− 1)U_k
  1. Écrire U_k en fonction de A^(− 1) et U_0
  2. Pour tout k de ℕ, donner la loi de X_k et vérifier que l'on a :
lim_(k → + ∞)P[X_k = 0] = 1, lim_(k → + ∞)P[X_k = 1] = 0, lim_(k → + ∞)P[X_k = 2] = 0

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