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Ecricome Maths appliquées ECE 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2005

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Étude d'une suite d'intégrales, d'une fonction avec suite récurrente contractante et de la loi du temps d'attente du premier double pile
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Le sujet comprend trois exercices indépendants. L'exercice 1 étudie une suite d'intégrales I_n et son développement asymptotique. L'exercice 2 étudie une fonction f(x) = x² - x ln(x) - 1, sa bijection réciproque, une suite récurrente contractante, puis les extremums d'une fonction de deux variables g(x,y) = xe^y - ye^x. L'exercice 3 étudie, par récurrence linéaire puis diagonalisation matricielle, la loi du temps d'attente du premier double pile lors de lancers répétés d'une pièce.

  1. 1Exercice 1 : suite d'intégrales et développement asymptotiqueÉtude de la monotonie et du signe de la suite I_n, encadrement, calcul de sa limite et de celle de nI_n, puis détermination du développement asymptotique I_n = a + b/n + c/n² + o(1/n²).
  2. 2Exercice 2, partie 2.1 : étude de f et de deux suites associéesÉtude de la continuité, dérivabilité, convexité et bijectivité de f, définition d'une suite (x_k) par f(x_k)=k, puis étude d'une suite récurrente (u_n) définie par u_(n+1)=φ(u_n), contractante sur un intervalle stable, convergeant vers x_1.
  3. 3Exercice 2, partie 2.2 : recherche d'extremum de g(x,y)Calcul des dérivées partielles de g(x,y) = xe^y - ye^x, détermination du seul point critique possible (1,1) lié aux racines de f, et étude de la nature de cet extremum par les dérivées secondes.
  4. 4Exercice 3 : temps d'attente du premier double pileDétermination de l'équation caractéristique et des racines associées à la relation de récurrence des probabilités a_n, calcul d'un équivalent de a_n, résolution matricielle par diagonalisation, puis calcul de l'espérance du temps d'attente T du premier double pile.

Description

Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2005.

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ECRICOME 2005 Option Economique

1 EXERCICE

On considère, pour tout entier naturel n, l'application φ_n définie sur ℝ par :
∀x ∈ ℝ, φ_n(x) = (1 − x)^n e^(− 2x)
ainsi que l'intégrale :
I_n = ∫_0^1 φ_n(x)dx
On se propose de démontrer l'existence de trois réels, a, b, c tels que :
I_n = a + b/n + c/(n^2) + 1/(n^2)ε(n) avec lim_(n → + ∞)ε(n) = 0
  1. Calculer I_0, I_1.
  2. Etudier la monotonie de la suite (I_n)_(n ∈ ℕ).
  3. Déterminer le signe de I_n pour tout entier naturel n
  4. Qu'en déduit-on pour la suite (I_n)_(n ∈ ℕ)
  5. Majorer la fonction g : x → e^(− 2x) sur [ 0,1 ]
  6. En déduire que :
∀n ∈ ℕ^∗, 0 ≤ I_n ≤ 1/(n + 1)
  1. Déterminer la limite de la suite (I_n)_(n ∈ ℕ) lorsque n tend vers l'infini.
  2. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que :
∀n ∈ ℕ, 2I_(n + 1) = 1 − (n + 1)I_n
  1. En déduire la limite de la suite (nI_n)_(n ∈ ℕ) lorsque n tend vers l'infini.
  2. Déterminer la limite de la suite (n(nI_n − 1))_(n ∈ ℕ) lorsque n tend vers l'infini.
  3. Donner alors les valeurs de a, b, c.

2 EXERCICE.

On considère la fonction f définie par :
{∀x ∈ ℝ^(+ ∗),, f(x) = x^2 − xln(x) − 1; f(0) = − 1
le tableau de valeurs de f,
x 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
f(x) − 0, 5 0 0,6 1,6 3 4,7 6,9 9,5
ainsi que les fonctions φ et g définies par :
∀x ∈ ℝ^(+ ∗), φ(x) = 2/x + ln(x), ∀(x, y) ∈ ℝ^2, g(x, y) = xe^y − ye^x

2.1 Etude de deux suites associées à f.

  1. Montrer que f est continue sur ℝ^+.
  2. Etudier la dérivabilité de la fonction f en 0 . En donner une interprétation graphique.
  3. Etudier la convexité de f sur ℝ^(+ ∗), puis dresser son tableau de variations en précisant la limite de f(x) lorsque x tend vers l'infini.
  4. Etudier la nature de la branche infinie.
  5. Montrer que f réalise une bijection de ℝ^(+ ∗) sur un intervalle J que l'on précisera.
  6. Quel est le sens de variation de f^(− 1) ? Déterminer la limite de f^(− 1)(x) lorsque x tend vers l'infini.
  7. Justifier que pour tout entier naturel k, il existe un unique réel x_k positif tel que :
f(x_k) = k
a) Donner la valeur de x_0.
b) Utiliser le tableau de valeurs de f pour déterminer un encadrement de x_1 et x_2.
c) Exprimer x_k à l'aide de f^(− 1) puis justifier que la suite ( x_k ) est croissante et déterminer sa limite lorsque k tend vers l'infini.
8. On définit la suite ( u_n ) par :
{u_0 = 2/3; ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = φ(u_n)
a) Etudier les variations de φ sur ℝ^(+ ∗).
b) On donne φ(3/2) ≃ 1, 73 et φ(2) ≃ 1, 69. Montrer que φ([3/2, 2]) ⊂ [3/2, 2]
c) En étudiant les variations de φ^′, montrer que :
∀x ∈ [3/2, 2] |φ^′(x)| ≤ 2/9
d) Montrer que les équations x = φ(x) et f(x) = 1 sont équivalentes. En déduire que le réel x_1 est l'unique solution de l'équation :
x = φ(x)
e) Montrer successivement que pour tout entier n :
3/2, ≤ u_n ≤ 2; |u_(n + 1) − x_1|, ≤ 2/9|u_n − x_1|; |u_n − x_1|, ≤ (2/9)^n
f) En déduire la limite de la suite ( u_n ).

2.2 Recherche d'extremum éventuel de g.

  1. Calculer les dérivées partielles premières de la fonction g.
  2. Montrer que si g admet un extremum local en (a, b) de ℝ^2 alors :
{ab = 1; a = e^(a − 1/a)
En déduire que nécessairement :
{a > 0; ab = 1; f(a) = 0
et donc que le seul point où g peut admettre un extremum est le couple (1, 1)
3. Calculer les réels :
r = (∂^2 g)/(∂x^2)(1, 1), s = (∂^2 g)/(∂x∂y)(1, 1), t = (∂^2 g)/(∂y^2)(1, 1)
  1. La fonction g admet-elle un extremum local sur ℝ^2 ?

3 EXERCICE

On effectue une suite de lancers d'une pièce de monnaie. On suppose que les résultats des lancers sont indépendants et qu'à chaque lancer, la pièce donne pile avec la probabilité p(0 < p < 1) et face avec la probabilité q = 1 − p.
On s'intéresse dans cet exercice à l'apparition de deux piles consécutifs.
Pour tout entier naturel n non nul, on note A_n l'événement :"deux piles consécutifs sont réalisés pour la première fois aux lancers numéro n et n + 1 ".
On définit alors la suite (a_n)_(n ∈ ℕ) des probabilités des événements A_n par :
  • Pour tout entier naturel n non nul : a_n = p(A_n)
  • avec la convention a_0 = 0

3.1 Encadrement des racines de l'équation caractéristique.

On considère la fonction polynomiale f de la variable réelle x définie par :
f(x) = x^2 − qx − pq
  1. Montrer que l'équation f(x) = 0 possède deux racines réelles distinctes r_1 et r_2(r_1 < r_2). Exprimer r_1 + r_2, r_1 r_2 en fonction de p et q.
  2. Calculer f(1), f(− 1), f(0).
  3. En déduire l'encadrement suivant :
|r_1| < |r_2| < 1

3.2 Equivalent de a_n quand n tend vers l'infini.

  1. Déterminer a_1, a_2 et a_3 en fonction de p et q.
  2. En remarquant que l'événement A_(n + 2) est réalisé si et seulement si :
  • on a obtenu pile au premier tirage, face au deuxième tirage, et à partir de ce moment, A_n est réalisé
    ou
  • on a obtenu face au premier tirage, et à partir de ce moment, A_(n + 1) est réalisé.
    montrer que l'on a, pour tout entier naturel n,
a_(n + 2) − qa_(n + 1) − pqa_n = 0
  1. Ecrire un programme, en langage Pascal, permettant de calculer a_n, l'entier n, les réels p et q étant donnés par l'utilisateur.
  2. Montrer que pour tout entier, naturel n,
a_n = (p^2)/(r_2 − r_1) = [r_2^n − r_1^n]
  1. Donner un équivalent de a_n lorsque n tend vers plus l'infini.

3.3 Expression de a_n en fonction de n par une méthode matricielle.

On définit les matrices A et P par :
A = (r_1 + r_2, − r_1 r_2; 1, 0), P = (r_1, r_2; 1, 1)
ainsi que les matrices unicolonnes X_n par :
Pour tout entier naturel n : X_n = ((a_(n + 1))/(a_n))
  1. Vérifier que pour tout entier naturel n :
X_(n + 1) = AX_n
  1. Montrer que les matrices A − r_1 I et A − r_2 I ne sont pas inversibles. ( I désigne la matrice carrée unité d'ordre 2).
  2. En déduire que A est diagonalisable.
  3. Montrer que P est inversible et déterminer P^(− 1).
  4. Calculer la matrice D = P^(− 1)AP. (Les coefficients de la matrice D seront exprimés en fonction de r_2 et r_1 seulement).
  5. Démontrer par récurrence, que pour tout entier naturel n :
X_n = PD^n P^(− 1)X_0
  1. Retrouver ainsi l'expression de a_n en fonction de r_2, r_1, P et n.

3.4 Etude du temps d'attente du premier double pile.

On désigne par T l'application associant à toute suite de lancers successifs le numéro du lancer où pour la première fois on obtient un double pile.
Ainsi, pour tout entier naturel n,
p[T = n + 1] = a_n
  1. Montrer que T est une variable aléatoire, c'est-à-dire que :
∑_(n = 1)^(+ ∞)p[T = n + 1] = 1
  1. Prouver que T admet une espérance E(T) et que:
E(T) = (1 + p)/(p^2)

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques appliquées ECRICOME ECE 2005 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques appliquées ECRICOME ECE 2005 ?

Le sujet porte sur les suites d'intégrales et développements asymptotiques, l'étude de fonctions et de suites récurrentes contractantes, les extremums de fonctions de deux variables, et les probabilités discrètes avec réduction matricielle.

Les trois exercices du sujet sont-ils indépendants ?

Oui, le sujet est composé de trois exercices indépendants les uns des autres.

Le sujet demande-t-il de programmer ?

Oui, l'exercice 3 demande d'écrire un programme en langage Pascal permettant de calculer les termes de la suite (a_n) à partir de la relation de récurrence établie.

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