WikiPrépaLivrets

Ecricome Maths appliquées ECE 2007Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2007

Pas encore noté
Logo concours Ecricome

Explorer les annales

BanqueEcricomeAnnée2007FilièreECEMatièreMathématiques
Annales Ecricome ECE MathématiquesEcricome ECE 2007ECE MathématiquesMathématiques 2007

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2007.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

2

Mathématiques Option Economique

Mercredi 18 avril 2007 de 8 h 00 à 12 h 00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps":
8h00 − 13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 6 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

1. EXERCICE.

Soit a un réel strictement positif. On considère la fonction f_a définie pour tout réel t strictement positif par :
f_a(t) = 1/2(t + (a^2)/t)
ainsi que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) de nombre réels déterminée par son premier terme u_0 > 0 et par la relation de récurrence:
∀n ∈ ℕ u_(n + 1) = f_a(u_n)

1.1. Etude des variations de la fonction f_a.

  1. Déterminer la limite de f_a(t) lorsque t tend vers + ∞. Justifier l'existence d'une asymptote oblique au voisinage de + ∞ et donner la position de la courbe représentative de f_a par rapport à cette asymptote.
  2. Déterminer la limite de f_a(t) lorsque t tend vers 0 par valeurs positives. Interpréter graphiquement cette limite.
  3. Donner l'expression de la fonction dérivée de f_a sur ℝ^(∗ +) et dresser le tableau de variation de f_a.
  4. En déduire que :
∀t > 0 f_a(t) ⩾ a

1.2. Etude de la convergence de la suite (u_n)_(n ∈ ℕ).

  1. Que dire de la suite (u_n)_(nεℕ) dans le cas particulier où u_0 = a ?
  2. Dans la suite on revient au cas général u_0 > 0.
Démontrer que :
∀t > a 0 < f_a^′(t) < 1/2
  1. Montrer que pour tout entier n, non nul :
u_n ⩾ a
  1. Prouver alors que pour tout entier n non nul :
0 ⩽ u_(n + 1) − a ⩽ 1/2(u_n − a)
Puis que :
|u_n − a| ⩽ (1/2)^(n − 1)|u_1 − a|
  1. En déduire la convergence de la suite ( u_n ) et indiquer sa limite.
  2. En utilisant ce qui précède, écrire un programme en langage Pascal permettant d'afficher les 100 premiers termes d'une suite (u_n), de premier terme 1 , convergeant vers √2.

1.3. Recherche d'extremum d'une fonction à deux variables.

On considère, sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗, la fonction g définie par :
g(x, y) = 1/2(1/x + 1/y)(1 + x)(1 + y)
  1. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 et 2 de g sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗.
  2. Montrer que g admet un extremum local sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ dont on précisera la nature.
  3. Vérifier que :
g(x, y) = 1 + f_1(x) + f_1(y) + f_1(x/y)
  1. En déduire que l'extremum local est un extremum global de g sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗.

2. EXERCICE.

M_2(ℝ) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. La matrice A suivante étant donnée
A = (3, − 1; 6, − 2)
on définit l'application φ_A par:
φ_A :, M_2(ℝ) → M_2(ℝ); M ↦ φ_A(M) = AM − MA

2.1. Diagonalisation de A.

  1. Vérifier que A^2 = A. En déduire les valeurs propres possibles de A.
  2. Prouver que la matrice A est diagonalisable et déterminer une matrice P inversible de M_2(ℝ) et une matrice diagonale D de M_2(ℝ) dont la première colonne est nulle vérifiant la relation :
A = PDP^(− 1)
Donner l'écriture matricielle de P^(− 1).

2.2. Diagonalisation de φ_A.

  1. Montrer que φ_A est un endomorphisme de M_2(ℝ).
  2. Etablir que X^3 − X est un polynôme annulateur de φ_A. En déduire les valeurs propres possibles de φ_A.
  3. Montrer que la matrice M est un vecteur propre de φ_A associée à la valeur propre λ si et seulement si la matrice N = P^(− 1)MP est non nulle et vérifie l'équation matricielle :
DN − ND = λN
  1. On pose N = (a, b; c, d).
    a. Trouver l'ensemble des matrices N telles que DN − ND = 0.
    b. En déduire que la famille (A, M_1) avec M_1 = (− 2, 1; − 6, 3) est une base du sous-espace propre Kerφ_A associé à la valeur propre 0.
    c. Déterminer les deux autres valeurs propres non nulles λ_1 et λ_2 de φ_A et caractériser les matrices N associées.
    d. En déduire une base de chaque sous-espace propre E_(λ_1) et E_(λ_1) associé aux valeurs propres λ_1 et λ_2.
  2. L'endomorphisme φ_A est-il diagonalisable?

3. EXERCICE.

Soucieux d'améliorer le flux de sa clientèle lors du passage en caisse, un gérant de magasin a réalisé les observations suivantes :

3.1. Mode de paiement de la clientèle.

  1. L'étude du mode de paiement en fonction du montant des achats a permis-d'établir les probabilités suivantes :
P[S = 0 ∩ U = 0] = 0.4; P[S = 0 ∩ U = 1] = 0.3; P[S = 1 ∩ U = 0] = 0.2; P[S = 1 ∩ U = 1] = 0.1
où S représente la variable aléatoire prenant la valeur 0 si le montant des achats est inférieur ou égal à 50 euros, prenant la valeur 1 sinon, et U la variable aléatoire prenant la valeur 0 si la somme est réglée par carte bancaire, prenant la valeur 1 sinon.
a. Déterminer les lois de S et U et vérifier que la probabilité que le client règle par carte bancaire est égale à p = 3/5.
b. Calculer la covariance du couple ( S, U ). Les variables S et U sont-elles indépendantes?
c. Quelle est la probabilité que la somme réglée soit supérieure strictement à 50 euros sachant que le client utilise un autre moyen de paiement que la carte bancaire ?
2. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les individus.
Une caissière reçoit n clients dans sa journée ( n ⩾ 2 ).
On définit trois variables aléatoires C_n, L_1, L_2 par:
  • C_n comptabilise le nombre de clients qui paient par carte bancaire.
    − L_1 (resp. L_2 ) est égale au rang du 1^(er) (resp.du 2^e ème) client utilisant la carte bancaire comme moyen de paiement, s'il y en a au moins un (resp.au moins deux) et à zéro sinon.
    a. Reconnaître la loi de C_n, rappeler la valeur de l'espérance et de la variance de cette variable aléatoire.
    b. Déterminer la loi de L_1 et vérifier que :
∑_(k = 0)^n P[L_1 = k] = 1
c. Déterminer la loi de L_2.

3.2. Etude du temps moyen de passage en caisse.

Après enquête, on estime que le temps de passage à une caisse, exprimé en unités de temps, est une variable aléatoire T dont une densité de probabilité est donnée par la fonction f définie par :
{f(x) = xe^(− x), si x ⩾ 0; f(x) = 0, si x < 0
  1. Rappeler la définition d'une densité de probabilité d'une variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre λ = 1. Donner la valeur de l'espérance et de la variance de X.
  2. Utiliser la question précédente pour vérifier que f est bien une densité de probabilité, puis montrer que T admet une espérance que l'on déterminera.
    Quel est le temps moyen de passage en caisse ?
  3. a. Démontrer que la fonction de répartition de T, notée F_T est définie par :
∀x < 0, F_T(x) = 0; ∀x ⩾ 0, F_T(x) = 1 − (x + 1)e^(− x)
b. Montrer que la probabilité que le temps de passage en caisse soit inférieur à deux unités(de temps) sachant qu'il est supérieur à une unité est égale à (2e − 3)/(2e).
4. Un jour donné, trois clients A, B, C se présentent simultanément devant deux caisses libres. Par courtoisie, C décide de laisser passer A et B et de prendre la place du premier d'entre eux qui aura terminé. On suppose que les variables T_A et T_B correspondant au temps de passage en caisse de A et B sont indépendantes.
a. M désignant le temps d'attente du client C exprimer M en fonction de T_A et T_B.
b. Montrer que la fonction de répartition de la variable aléatoire M est donnée par :
{∀t ∈ ℝ^+, P[M ⩽ t] = 1 − (1 + t)^2 e^(− 2t); ∀t ∈ ℝ^(− ∗), P[M ⩽ t] = 0
c. Prouver que M est une variable à densité et expliciter une densité de M.

Pas de description pour le moment