Diagonalisation d'une matrice à paramètre, étude d'une fonction définie par une intégrale, et loi de Pareto
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L'épreuve comporte trois exercices indépendants. Le premier étudie la diagonalisabilité d'une matrice de M3(R) dépendant d'un paramètre a selon trois cas. Le second étudie une fonction définie par une intégrale à bornes variables, une suite implicite associée, puis une fonction de deux variables. Le troisième introduit la loi de Pareto et son estimation statistique.
1Exercice 1 : algèbre linéaire, matrice dépendant d'un paramètrepremière et deuxième annéeÉtudier la diagonalisabilité d'une matrice de M3(R) selon les valeurs du paramètre a (a=1, a=0, a différent de 0 et 1).
2Exercice 2, partie A : étude de la fonction fnÉtudier une fonction définie par une intégrale dont la variable figure dans les bornes.
3Exercice 2, parties B-C : suite implicite et fonction de deux variablesÉtudier une suite définie implicitement puis une fonction de deux variables définie à l'aide de fn, avec recherche de points critiques.
4Exercice 3 : la loi de Paretopremière et deuxième annéeÉtudier une variable aléatoire à densité de loi de Pareto, son espérance, sa fonction de répartition, et estimer le paramètre a.
Difficulté moyenne. Avec une moyenne de 11,00 et un écart-type de 5,62, l'épreuve a permis une sélection tout à fait satisfaisante des candidats.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
4 erreurs relevées
Polynôme annulateur mal manipulé · Confusion entre inversibilité et diagonalisabilité · Intégrale généralisée confondue avec intégrale partielle
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L'exercice 1 a été volontairement progressif et rédigé pour éviter les calculs longs et pénibles, valorisant les candidats se concentrant sur les raisonnements plutôt que sur les calculs spontanés. Les correcteurs ont ressenti un relâchement dans la précision de la rédaction, peut-être lié au confinement et au manque de pratique.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Polynôme annulateur mal manipuléExercice 1, Q2
Un polynôme annulateur de M n'est pas unique ; des notations comme « (X-1)² = 0 » ou « (M-I)² » ne sont pas des polynômes annulateurs.
2
Confusion entre inversibilité et diagonalisabilitéExercice 1, Q3
Il n'y a pas de lien logique entre inversibilité et diagonalisabilité d'une matrice ; des confusions grossières sont relevées sur ce point.
3
Intégrale généralisée confondue avec intégrale partielleExercice 3, Q1
Toute confusion entre l'intégrale généralisée et l'intégrale partielle est lourdement sanctionnée.
4
Séparation des cas x>a ou x<a omiseExercice 3, Q2b
Les candidats calculent en général sans se préoccuper de la valeur de x, alors que la fonction de répartition exige de séparer les cas.
Ce qui a été bien réussi
L'exercice 1 a été abordé par la quasi-intégralité des candidats grâce à sa position en début de sujet.
Le théorème de la bijection est connu par l'immense majorité des candidats à l'exercice 2.
La formule de Kœnig-Huygens est bien connue des candidats à l'exercice 3.
Conseils du jury
Utiliser les résultats déjà démontrés (comme celui de la question 1 de l'exercice 3) plutôt que de refaire les mêmes calculs d'intégrales.
Énoncer avec précision les résultats de cours plutôt que de les paraphraser vaguement.
Vérifier la vraisemblance des résultats obtenus, par exemple qu'une probabilité ne dépasse pas 1.
S'entraîner régulièrement au calcul pour gagner en dextérité et en rigueur.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECE, session 2020.
Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 5 pages.
CONSIGNES
Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.
@cricome
EXERCICE 1
Dans cet exercice, on désigne par M_3(ℝ) l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre 3 , et on note I_3 la matrice identité de M_3(ℝ).
Soit a un réel; on pose M = (2, a − 1, − 1; 1 − a, a, a − 1; 1, a − 1, 0).
Partie A : Etude du cas où a = 1.
Dans toute cette partie, on suppose que a = 1.
Expliciter la matrice M, puis calculer (M − I_3)^2.
En déduire l'unique valeur propre possible de M.
La matrice M est-elle inversible ? La matrice M est-elle diagonalisable?
Partie B : Étude du cas où a = 0.
Dans cette partie, on suppose que a = 0.
4. Démontrer que 1 est une valeur propre de M, et donner une base et la dimension du sous-espace propre associé.
5. Démontrer que M n'est pas inversible.
6. En utilisant les deux questions précédentes, déterminer l'ensemble des valeurs propres de M, et la dimension des sous-espaces propres associés. La matrice M est-elle diagonalisable?
Partie C : Étude du cas où a est différent de 0 et de 1.
Dans cette partie, on suppose que a est différent de 0 et de 1 .
On pose E = ℝ^3, et B = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de E.
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice représentative dans la base B est la matrice M.
Soit u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 1) et w = (1, 1, 0).
7. Démontrer que la famille B^′ = (u, v, w) est une base de E.
8. Calculer f(u), f(v).
9. Calculer f(w) et trouver deux réels α et β tels que f(w) = αv + βw.
10. Déterminer la matrice représentative de f dans la base B^′, que l'on notera T.
11. En déduire l'ensemble des valeurs propres de M, et la dimension des sous-espaces propres associés. La matrice M est-elle diagonalisable ?
Cócricome
EXERCICE 2
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la fonction f_n sur ℝ_+par :
∀x ⩾ 0, f_n(x) = ∫_0^x(t^(2n) − 1)/(t + 1)dt.
Partie A: Étude de la fonction f_n.
Dans cette partie, on fixe un entier naturel n non nul.
Démontrer que la fonction f_n est de classe C^1 sur ℝ_+, et que :
∀x ⩾ 0, f_n^′(x) = (x^(2n) − 1)/(x + 1).
Étudier les variations de f_n.
Démontrer que f_n est de classe C^2 sur ℝ_+, et calculer sa dérivée seconde.
En déduire que f_n est convexe sur ℝ_+.
4.(a) Démontrer que :
∀t ⩾ 1, t^(2n) − 1 ⩾ n(t^2 − 1).
(b) Montrer alors que :
∀x ⩾ 1, f_n(x) ⩾ f_n(1) + n/2(x − 1)^2.
(c) En déduire la limite de f_n(x) lorsque x tend vers + ∞.
5. Calculer f_n(0), puis démontrer que f_n(1) < 0.
6. Démontrer que l'équation f_n(x) = 0 admet une unique solution strictement positive, et que cette solution est strictement supérieure à 1 .
On note x_n cette solution.
Partie B : Étude d'une suite implicite.
On étudie dans cette partie le comportement de la suite ( x_n ), où pour tout entier naturel n non nul, x_n est l'unique solution strictement positive de l'équation : f_n(x) = 0.
On admettra que :
8.(a) Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ⩾ (2n + 2)/(2n + 1), f_(n + 1)(x) ⩾ f_n(x).
(b) En déduire que : ∀n ∈ ℕ^∗, f_(n + 1)(x_n) ⩾ 0.
(c) Montrer alors que la suite ( x_n ) est décroissante, puis qu'elle est convergente.
9.(a) Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1 : − ln(2) ⩽ f_n(1) ⩽ 0.
(b) À l'aide de l'inégalité démontrée à la question 4(b) de la partie A, montrer alors que :
∀n ∈ ℕ^∗, 0 ⩽ x_n − 1 ⩽ √((2ln(2))/n).
Quelle est la limite de x_n lorsque n tend vers + ∞ ?
@cricome
Partie C : Étude d'une fonction de deux variables.
Dans cette partie, on fixe à nouveau un entier naturel n non nul.
L'objectif de cette partie est d'étudier la fonction G_n définie sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ par :
Justifier que la fonction G_n est de classe C^2 sur ℝ_+^∗ × ℝ_+^∗ et calculer ses dérivées partielles premières.
Déterminer l'ensemble des points critiques de G_n.
Calculer la matrice hessienne de G_n au point ( x_n, x_n ) puis au point ( 1,1 ).
La fonction G_n admet-elle un extremum local en (x_n, x_n) ? Si oui, donner la nature de cet extremum.
La fonction G_n admet-elle un extremum local en (1, 1) ? Si oui, donner la nature de cet extremum.
EXERCICE 3
Soit a un réel strictement positif.
Pour tout entier n supérieur ou égal à 2 , on pose :
I_n(a) = ∫_a^(+ ∞)1/(t^n)dt
Montrer que l'intégrale I_n(a) converge et vaut 1/((n − 1)a^(n − 1)).
2. Soit f la fonction définie sur ℝ par :
∀t ∈ ℝ, f(t) = {0, si t < a,; (3a^3)/(t^4), si t ⩾ a.
(a) Démontrer que f est bien une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité.
(b) Donner la fonction de répartition de X.
(c) Démontrer que X admet une espérance et calculer cette espérance.
(d) Démontrer que X admet une variance et que celle-ci vaut (3a^2)/4.
3. Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur ]0, 1 ]. On pose : Y = a/(U^(1/3)).
(a) Déterminer Y(Ω).
(b) Déterminer la fonction de répartition de Y et vérifier que Y et X suivent la même loi.
(c) Écrire une fonction en langage Scilab d'en-tête : function Y = simulX(a, m, n) prenant en argument un réel a strictement positif et deux entiers naturels m et n non nuls, qui renvoie une matrice à m lignes et n colonnes dont chaque coefficient est un réel choisi de façon aléatoire en suivant la loi de X. Ces réels seront choisis de façon indépendante.
À cet effet, on rappelle que si m et n sont des entiers naturels non nuls, l'instruction : rand ( m, n ) renvoie une matrice à m lignes et n colonnes dont chaque coefficient suit la loi uniforme sur ] 0,1 ], ces coefficients étant choisis de façon indépendante.
4.(a) Calculer P([X > 2a]).
(b) Calculer P_([X > 2a])([X > 6a]).
(c) On suppose que la fonction Scilab de la question 3 a été programmée correctement et compilée. Compléter le script ci-dessous afin qu'il renvoie une valeur permettant de vérifier le résultat de la question précédente.
a = 10
N=100000
s1 =0
s2=0
X=simulX(a,1,N)
for k=1:N
if ............ then
s1=s1+1
if X(k)>6*a then
............
end
end
end
if s1>0 then
disp(..........)
end
On cherche dans la suite de l'exercice à estimer le paramètre a.
Soit n un entier naturel non nul, et X_1, …, X_n n variables aléatoires indépendantes et suivant toutes la même loi que X.
5. On pose V_n = 2/(3n)∑_(k = 1)^n X_k.
(a) Montrer que V_n est un estimateur sans biais pour le paramètre a.
(b) Calculer son risque quadratique et vérifier que celui-ci vaut (a^2)/(3n).
6 . On pose W_n = min(X_1, …, X_n).
(a) Déterminer la fonction de répartition de W_n et vérifier que W_n est bien une variable aléatoire à densité.
(b) Montrer que W_n admet pour densité la fonction f_n définie sur ℝ par :
∀t ∈ ℝ, f_n(t) = {0, si t < a,; (3na^(3n))/(t^(3n + 1)), si t ⩾ a.
(c) Démontrer que W_n admet une espérance et calculer cette espérance.
Déterminer alors l'unique réel λ_n dépendant de n tel que λ_n W_n est un estimateur sans biais pour le paramètre a.
(d) Calculer le risque quadratique de λ_n W_n et vérifier que celui-ci vaut (a^2)/(3n(3n − 2)).
7. On rappelle que :
Si A est une matrice Scilab, l'instruction : A(i, :) renvoie la ième ligne de la matrice A.
Si A est une matrice Scilab (éventuellement une matrice ligne), l'instruction : sum(A) renvoie la somme des coefficients de la matrice A .
Si X est une matrice ligne, l'instruction : plot2d(X, style=-1) représente graphiquement les coefficients de X à l'aide de croix droites.
Si X est une matrice ligne, l'instruction : plot2d(X, style=-2) représente graphiquement les coefficients de X à l'aide de croix obliques.
(a) Compléter la fonction ci-dessous afin qu'elle réalise m simulations de la variable aléatoire V_n et renvoie les résultats obtenus sous forme d'une matrice ligne à m éléments :
function V=simulV(a,m,n)
X=simulX ( \(\mathrm{a}, \mathrm{m}, \mathrm{n}\) )
\(\mathrm{V}=\operatorname{zeros}(1, \mathrm{~m})\)
for k= ..........
V \((\) k \()=\ldots . . . . . . . . . .\).
end
endfunction
Pour la suite, on prend n = 100 et on suppose que l'on dispose d'une fonction similaire simulW permettant d'obtenir m simulations de la variable aléatoire λ_n W_n.
(b) Compléter les lignes ci-dessous pour écrire le script qui a permis d'obtenir le graphique présenté :
On justifiera la réponse pour les deux dernières lignes.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths appliquées ECRICOME ECE 2020 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths appliquées ECRICOME ECE 2020 ?
+
Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, les fonctions définies par une intégrale, les fonctions de deux variables et les variables aléatoires à densité (loi de Pareto).
Quelle est la moyenne du sujet de maths appliquées ECRICOME ECE 2020 ?
+
La moyenne était de 11,00/20 avec un écart-type de 5,62.
Le sujet de maths appliquées ECRICOME ECE 2020 est-il difficile ?
+
Le rapport indique qu'il a permis une sélection satisfaisante des candidats, l'exercice 1 étant volontairement progressif et peu calculatoire.
Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths ECRICOME ECE 2020 ?
+
Le jury signale une mauvaise manipulation des polynômes annulateurs, une confusion entre inversibilité et diagonalisabilité, et une confusion entre intégrale généralisée et intégrale partielle.
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Commentaires• Ecricome Maths appliquées ECE 2020
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