BCE Maths appliquees emlyon ECE 2016
Epreuve de maths appliquees - ECE 2016
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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités continuesSuites et séries de fonctions
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2016.
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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Conception : EMLYON Business School
1 ère épreuve (OPTION ÉCONOMIQUE)
MATHÉMATIQUES
mardi 26 avril 2016, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE 1
On note
et
PARTIE I : Étude de la matrice
- Calculer
. - Montrer que la famille (
) est libre. - a. Justifier, sans calcul, que
est diagonalisable.
b. Déterminer une matricede inversible dont tous les coefficients de la première ligne sont égaux à 1 et une matrice de diagonale dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant telles que : . - Montrer :
.
PARTIE II : Étude d'une application définie sur &
- Montrer que
est un sous-espace vectoriel de et que la famille ( ) est une base de & . En déduire la dimension de & . - Montrer que, pour toute matrice
de , la matrice appartient à .
On note
7. Vérifier que
8. Former la matrice
9. a. Montrer :
b. En déduire que toute valeur propre
c. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
10. L'endomorphisme
11. Déterminer une base de
12. a. Résoudre l'équation
b. Résoudre l'équation
7. Vérifier que
8. Former la matrice
9. a. Montrer :
b. En déduire que toute valeur propre
c. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de
10. L'endomorphisme
11. Déterminer une base de
12. a. Résoudre l'équation
b. Résoudre l'équation
EXERCICE 2
On considère l'application
On admet :
PARTIE I : Étude de la fonction
- Montrer que
est continue sur . - Justifier que
est de classe sur et calculer, pour tout de et . - Dresser le tableau des variations de
. On précisera la limite de en . - On note
la courbe représentative de dans un repère orthonormal ( ).
a. Montrer queadmet une tangente en et préciser celle-ci.
b. Montrer queadmet un point d'inflexion et un seul, noté , et préciser les coordonnées de .
c. Tracer l'allure de. - Montrer que l'équation
, d'inconnue , admet une solution et une seule et que celle-ci est égale à 1 .
PARTIE II : Étude d'une fonction
On considère l'application
On considère l'application
- Calculer les dérivées partielles premières de
en tout de . - a. Soit
. Montrer que ( ) est un point critique de si et seulement si :
b. Établir que
8. La fonction
8. La fonction
PARTIE III : Étude d'une suite récurrente
On considère la suite
9. Montrer :
10. Montrer que la suite
11. En déduire que la suite
12. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel
9. Montrer :
10. Montrer que la suite
11. En déduire que la suite
12. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel
EXERCICE 3
PARTIE I : Étude d'une variable aléatoire
On considère l'application
- Vérifier que la fonction
est paire. - Montrer que
est une densité d'une variable aléatoire réelle.
Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire réelle
3. Déterminer la fonction de répartition de
4. a. Montrer que l'intégrale
b. En utilisant l'imparité de la fonction
3. Déterminer la fonction de répartition de
4. a. Montrer que l'intégrale
b. En utilisant l'imparité de la fonction
PARTIE II : Étude d'une autre variable aléatoire
On considère l'application
5. Montrer que
6. Exprimer, pour tout
5. Montrer que
6. Exprimer, pour tout
On définit la variable aléatoire réelle
7. Justifier :
8. Déterminer la fonction de répartition de
9. Reconnaître alors la loi de
7. Justifier :
8. Déterminer la fonction de répartition de
9. Reconnaître alors la loi de
PARTIE III : Étude d'une convergence en loi
On considère une suite de variables aléatoires réelles
On pose, pour tout
10. a. Déterminer, pour tout
b. En déduire :
11. En déduire que la suite de variables aléatoires
10. a. Déterminer, pour tout
b. En déduire :
11. En déduire que la suite de variables aléatoires
- FIN -
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