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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2016Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2016

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Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Trois exercices indépendants : réduction d'une matrice 3x3 et endomorphisme associé, étude d'une fonction et d'une suite récurrente liée au logarithme, variables aléatoires à densité
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Le sujet comporte trois exercices indépendants conçus par l'EMLYON. Le premier porte sur l'algèbre linéaire avec la diagonalisation d'une matrice puis l'étude d'un endomorphisme construit à partir de celle-ci. Le deuxième étudie une fonction réelle, une fonction de deux variables puis une suite récurrente. Le troisième traite de variables aléatoires à densité et de convergence en loi.

  1. 1Exercice 1, partie I : étude de la matrice Apremière annéeCalcul de A^2, liberté de la famille (I, A, A^2) et diagonalisation de A.
  2. 2Exercice 1, partie II : étude d'un endomorphisme sur Epremière annéeConstruction de l'espace E et de l'endomorphisme f(M) = AM, recherche de ses valeurs propres et de sa matrice.
  3. 3Exercice 2, partie I : étude de la fonction fContinuité, dérivabilité, variations, tangente et point d'inflexion de la fonction f(t) = t^2 - t ln(t).
  4. 4Exercice 2, partie II : fonction de deux variablesRecherche des points critiques et d'un extremum local de F(x, y) = x ln(y) - y ln(x).
  5. 5Exercice 2, partie III : suite récurrenteÉtude d'une suite définie par u_(n+1) = f(u_n) et écriture d'un programme Scilab.
  6. 6Exercice 3, partie I : première variable aléatoire à densitéVérification qu'une fonction est une densité, calcul de la fonction de répartition et de l'espérance.
  7. 7Exercice 3, partie II : variable aléatoire déduite par compositionÉtude de Y = phi(X), reconnaissance de sa loi.
  8. 8Exercice 3, partie III : convergence en loiÉtude de la convergence en loi d'une suite de variables aléatoires liée au maximum de variables indépendantes.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet de bien gradué en difficulté, avec des questions élémentaires en début d'exercice et des questions plus discriminantes ensuite, et le juge un peu long.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 12,87 / 20
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Moyenne
12,87/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Confusion entre la matrice A et la matrice F de l'endomorphisme f · Résolution de l'équation lambda^2 = 2 · Point d'inflexion mal caractérisé
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Le jury juge le sujet excellent, équilibré, progressif et conforme au programme ECE, mais un peu long. Il relève une grande hétérogénéité des copies, avec un écart croissant entre les très bonnes copies et les autres, ainsi que des lacunes récurrentes de rigueur et de rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Confusion entre la matrice A et la matrice F de l'endomorphisme f9, 10, 11

    De nombreux candidats confondent A, la matrice de départ, et F, la matrice de l'endomorphisme f dans la base (I, A, A^2), ce qui fausse la suite des questions 9 à 11.

    « Trop de candidat(e)s confondentA etF . Les sous-espaces propres de f doivent ˆ etre exprimés à l’aide de »
  2. 2
    Résolution de l'équation lambda^2 = 23.b

    La résolution de cette équation d'inconnue réelle a bloqué une partie non négligeable des candidats dans la question 3.b de l'exercice 1.

  3. 3
    Point d'inflexion mal caractérisé4.b

    Les candidats omettent souvent de vérifier le changement de signe de f'' et pensent à tort qu'un point d'inflexion est nécessairement à tangente horizontale.

  4. 4
    Primitive difficile dans l'exercice de probabilités2

    La recherche d'une primitive de la fonction densité a présenté des difficultés insurmontables pour la majorité des candidats.

    « insurmontables pour la majorité des candidat(e)s »
  5. 5
    Raisonnement par récurrence insuffisamment rigoureux9, 10

    Sur la croissance de la suite (u_n), les candidats affirment souvent le résultat sans démonstration complète et rigoureuse.

Ce qui a été bien réussi

  • Les trois exercices sont abordés dans la quasi-totalité des copies.
  • Les questions les plus simples de l'exercice 1 (questions 1, 2, 4) sont résolues dans la quasi-totalité des copies.
  • L'existence de la limite de la suite (u_n) est en général correctement obtenue.

Conseils du jury

  • Numéroter les questions selon l'énoncé et les séparer clairement.
  • Encadrer proprement les résultats et réponses à la règle.
  • Éviter les calculs inutilement lourds en passant par les coefficients des matrices plutôt que par une écriture globale.
  • Justifier chaque affirmation plutôt que de l'énoncer sans preuve, notamment pour les limites et les raisonnements par récurrence.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2016.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Conception : EMLYON Business School

1 ère épreuve (OPTION ÉCONOMIQUE)

MATHÉMATIQUES

mardi 26 avril 2016, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE 1

On note I et A les matrices de M_3(ℝ) définies par :
I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1), A = (0, 1, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0)
et ℰ l'ensemble des matrices de M_3(ℝ) défini par :
E = {(a + c, b, c; b, a + 2c, b; c, b, a + c); (a, b, c) ∈ ℝ^3}}}{{.

PARTIE I : Étude de la matrice A

  1. Calculer A^2.
  2. Montrer que la famille ( I, A, A^2 ) est libre.
  3. a. Justifier, sans calcul, que A est diagonalisable.
    b. Déterminer une matrice P de M_3(ℝ) inversible dont tous les coefficients de la première ligne sont égaux à 1 et une matrice D de M_3(ℝ) diagonale dont les coefficients diagonaux sont dans l'ordre croissant telles que : A = PDP^(− 1).
  4. Montrer : A^3 = 2A.

PARTIE II : Étude d'une application définie sur &

  1. Montrer que ℰ est un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ) et que la famille ( I, A, A^2 ) est une base de & . En déduire la dimension de & .
  2. Montrer que, pour toute matrice M de E, la matrice AM appartient à E.
On note f l'application de ℰ dans ℰ qui, à toute matrice M de ℰ, associe AM.
7. Vérifier que f est un endomorphisme de l'espace vectoriel & .
8. Former la matrice F de f dans la base (I, A, A^2) de ℰ.
9. a. Montrer : f ∘ f ∘ f = 2f.
b. En déduire que toute valeur propre λ de f vérifie : λ^3 = 2λ.
c. Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de f.
10. L'endomorphisme f est-il bijectif ? diagonalisable?
11. Déterminer une base de Im(f) et une base de Ker(f).
12. a. Résoudre l'équation f(M) = I + A^2, d'inconnue M ∈ ℰ.
b. Résoudre l'équation f(N) = A + A^2, d'inconnue N ∈ ℰ.

EXERCICE 2

On considère l'application f : [0; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout t de [0; + ∞[, par :
f(t) = {t^2 − tln(t), si t ≠ 0; 0, si t = 0
On admet : 0, 69 < ln(2) < 0, 70.

PARTIE I : Étude de la fonction f

  1. Montrer que f est continue sur [0; + ∞[.
  2. Justifier que f est de classe C^2 sur ]0; + ∞[ et calculer, pour tout t de ]0; + ∞[, f^′(t) et f^(′′)(t).
  3. Dresser le tableau des variations de f. On précisera la limite de f en + ∞.
  4. On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O; ı⃗, ȷ⃗ ).
    a. Montrer que C admet une tangente en O et préciser celle-ci.
    b. Montrer que C admet un point d'inflexion et un seul, noté I, et préciser les coordonnées de I.
    c. Tracer l'allure de C.
  5. Montrer que l'équation f(t) = 1, d'inconnue t ∈ [0; + ∞[, admet une solution et une seule et que celle-ci est égale à 1 .
PARTIE II : Étude d'une fonction F de deux variables réelles
On considère l'application F : ]0; + ∞[^2 ⟶ ℝ de classe C^2, définie, pour tout ( x, y ) de ]0; + ∞[^2, par :
F(x, y) = xln(y) − yln(x)
  1. Calculer les dérivées partielles premières de F en tout (x, y) de ]0; + ∞[^2.
  2. a. Soit (x, y) ∈ ]0; + ∞[^2. Montrer que ( x, y ) est un point critique de F si et seulement si :
x > 1, y = x/(ln(x)) et f(ln(x)) = 1
b. Établir que F admet un point critique et un seul et qu'il s'agit de (e, e).
8. La fonction F admet-elle un extremum local en (e, e) ?

PARTIE III : Étude d'une suite récurrente

On considère la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par : u_0 = 1/2 et ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f(u_n).
9. Montrer : ∀n ∈ ℕ, u_n ∈ [1/2; 1].
10. Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est croissante.
11. En déduire que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge et déterminer sa limite. (On pourra étudier les variations de la fonction t ⟼ t − ln(t).)
12. Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel N tel que 1 − u_N < 10^(− 4).

EXERCICE 3

PARTIE I : Étude d'une variable aléatoire

On considère l'application f : ℝ ⟶ ℝ définie, pour tout t de ℝ, par : f(t) = (e^(− t))/((1 + e^(− t))^2).
  1. Vérifier que la fonction f est paire.
  2. Montrer que f est une densité d'une variable aléatoire réelle.
Dans toute la suite de l'exercice, on considère une variable aléatoire réelle X à densité, de densité f.
3. Déterminer la fonction de répartition de X.
4. a. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)tf(t)dt converge.
b. En utilisant l'imparité de la fonction ℝ ⟶ ℝ, t ⟼ tf(t), montrer que X admet une espérance et que l'on a : E(X) = 0.

PARTIE II : Étude d'une autre variable aléatoire

On considère l'application φ : ℝ ⟶ ℝ définie, pour tout x de ℝ, par : φ(x) = ln(1 + e^x).
5. Montrer que φ est une bijection de ℝ sur un intervalle I à préciser.
6. Exprimer, pour tout y de I, φ^(− 1)(y).
On définit la variable aléatoire réelle Y définie par : Y = φ(X).
7. Justifier : P(Y ⩽ 0) = 0.
8. Déterminer la fonction de répartition de Y.
9. Reconnaître alors la loi de Y et donner, sans calcul, son espérance et sa variance.

PARTIE III : Étude d'une convergence en loi

On considère une suite de variables aléatoires réelles (X_n)_(n ∈ ℕ^∗), mutuellement indépendantes, de même densité f, où f a été définie dans la partie I.
On pose, pour tout n de ℕ^∗ : T_n = max(X_1, …, X_n) et U_n = T_n − ln(n).
10. a. Déterminer, pour tout n de ℕ^∗, la fonction de répartition de T_n.
b. En déduire : ∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ℝ, P(U_n ⩽ x) = (1 + (e^(− x))/n)^(− n).
11. En déduire que la suite de variables aléatoires (U_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi vers une variable aléatoire réelle à densité dont on précisera la fonction de répartition et une densité.

- FIN -

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques EMLYON ECE 2016 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques EMLYON ECE 2016 ?

Le sujet couvre la réduction des matrices et les applications linéaires, l'étude de fonctions d'une et deux variables réelles avec une suite récurrente, et les variables aléatoires à densité avec convergence en loi.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve BCE maths appliquées EMLYON ECE 2016 ?

Le jury relève surtout des confusions entre la matrice A et la matrice F de l'endomorphisme, des calculs inutilement lourds par les coefficients des matrices, et un manque de rigueur dans les raisonnements par récurrence.

Le sujet EMLYON maths ECE 2016 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme bien gradué en difficulté, progressif et un peu long, avec des questions simples au début de chaque partie et des questions plus discriminantes ensuite.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques EMLYON ECE 2016 ?

La moyenne de l'épreuve est de 12,87 sur 20, d'après le rapport du jury.

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