BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2020, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2020

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Annale de maths appliquées BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2020.

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Conception : ESSEC BS

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES II

Jeudi 30 avril 2020, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Lorsque l'on effectue des sondages, de nombreux biais statistiques peuvent apparaître : on peut par exemple avoir considéré un échantillon non-représentatif de la population, il peut y avoir un biais dans les réponses des personnes sondées... On va s'intéresser dans ce problème à ce que l'on appelle le biais par la taille : il provient du fait que si l'on choisit une personne au hasard dans la population, celle-ci a plus de chances de faire partie d'une catégorie nombreuse de la population.
Le biais par la taille est la source de nombreux "paradoxes" probabilistes, comme le fait que les gagnants du loto vivent en moyenne plus longtemps (parce que les gagnants sont ceux qui ont pu jouer au loto plus longtemps) ou le fait que vos amis ont en moyenne plus d'amis que vous (car les gens qui ont un très grand nombre d'amis font sûrement partie de vos amis). On verra ici comment formaliser le biais par la taille, et l'utiliser dans différents contextes.

Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

). Pour toute variable aléatoire

X

, on notera

E(X)

son espérance (resp.

Var(X)

sa variance) lorsqu'elles existent.

Première partie : Biais par la taille, exemples discrets

On suppose que le nombre d'enfants dans une famille française est une variable aléatoire $X$ . Pour connaître la loi de $X$ , une idée serait d'interroger les élèves d'une école pour connaître le nombre d'enfants dans leur famille.
On va voir que cette approche introduit un biais, en considérant une situation particulière. Supposons que $X$ suive la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 1/5$ . On note $p_k = P(X = k)$ pour $k \in {0, 1, \dots, 10}$ .
(a)
i) Rappeler l'expression de $p_k$ pour $k \in {0, 1, \dots, 10}$ .
ii) Que vaut $E(X)$ ?
iii) Donner $Var(X)$ , et en déduire $E(X^2)$ .
(b) Soit $M_k$ le nombre de familles à $k$ enfants, $M = \sum_(k = 0)^(10)M_k$ le nombre total de familles (donc $p_k = M_k/M$ ). Soit $N_k$ le nombre total d'enfants (c'est-à-dire dans toute la population) qui font partie d'une famille à $k$ enfants, et $N = \sum_(k = 0)^(10)N_k$ le nombre total d'enfants de la population.
i) Montrer que $N_k = kp_k M$ .
ii) Montrer que $N/M = 2$ .
iii) Montrer que la proportion des enfants provenant d'une famille à $k$ enfants est $p_k^* = kp_k/2$ .
(c) On choisit une personne au hasard dans la rue, à qui l'on demande combien d'enfants ses parents ont eu (lui ou elle inclus). On note $Y$ ce nombre d'enfants.
i) Pour tout entier $k$ élément de ${1, 2, \dots, 10}$ , montrer que $P(Y = k) = kp_k/2$ .
ii) Montrer que $E(Y) = E(X^2)/E(X)$ .
iii) En déduire $E(Y)$ et le comparer à $E(X)$ .
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $ℕ$ , non identiquement nulle et admettant une espérance. Pour tout entier $i > 0$ , on pose $q_i = i/(E(X))P(X = i)$ .
(a) Calculer $\sum_(i = 1)^\inftyq_i$ .

La suite

(q_i)_(i > 0)

définie ci-dessus définit donc bien une loi de probabilité. On considère la variable aléatoire

X^*

dont la loi est donnée par les

q_i

, c'est-à-dire, pour tout

i

entier naturel non nul

P(X^* = i) = i/(E(X))P(X = i)

On dit que

X^*

suit la loi de

X

biaisée par la taille.
(b) On suppose que

X

admet un moment d'ordre 2 . Montrer que

E(X^*) = E(X^2)/E(X)

.
(c) En déduire que si

E(X^2)

existe, on a

Var(X) = E(X)(E(X^*) - E(X))

.
(d) Conclure que

E(X^*) \geq E(X)

.
3)
(a) Soit

λ

un réel strictement positif. On suppose que

X

est une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre

λ

. Soit

X^*

une variable aléatoire suivant la loi de

X

biaisée par la taille.
i) Donner la loi de

X^*

.
ii) Vérifier que

X^*

suit la même loi que

X + 1

.
(b) Réciproquement, on suppose que

X

est une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

admettant une espérance non nulle, telle que

X^*

X + 1

suivent la même loi.
i) Montrer que pour tout

k \geq 1, P(X = k) = (E(X))/kP(X = k - 1)

.
ii) Montrer que pour tout

k

entier naturel,

P(X = k) = (E(X)^k)/(k!)P(X = 0)

.
iii) En déduire la loi de

X

.
4) Le paradoxe du temps d'attente du bus. Soit

n \geq 1

un entier naturel, et soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

{1, \dots, n}

telle que pour tout

1 \leq k \leq n, P(X = k) > 0

. On suppose qu'à un arrêt de bus donné, les intervalles de temps entre deux bus consécutifs, exprimés en minutes, sont des variables aléatoires
indépendantes, de même loi que

X

. Une personne arrive à cet arrêt à un instant aléatoire, et se demande combien de temps elle va attendre.
(a) Une première idée est que la personne arrive à un instant uniforme entre deux arrivées de bus, séparées par un intervalle de

X

minutes. On note

T

la variable aléatoire qui représente le temps d'attente (à valeurs dans

{1, \dots, n}

) et on suppose donc que pour tout entier

k

élément de

{1, …, n}, P_([X = k])(T = j) = 1/k

j \in {1, \dots, k}

P_([X = k])(T = j) = 0

j > k

.
i) Montrer que pour tout entier

k \in {1, \dots, n}

on a

\sum_(j = 1)^n jP_([X = k])(T = j) = (k + 1)/2

.
ii) En déduire que

\sum_(k = 1)^n\sum_(j = 1)^n jP(X = k)P_([X = k])(T = j) = (E(X + 1))/2

.
iii) Montrer que

E(T) = \sum_(j = 1)^n\sum_(k = 1)^n jP(X = k)P_([X = k])(T = j)

.
iv) Montrer que

E(T) = (E(X + 1))/2

.
(b) En réalité, en arrivant à l'arrêt de bus, on "tombe" dans un intervalle entre deux bus de manière proportionnelle à sa taille (plus l'intervalle est long, plus on a de chances de "tomber" dedans) : l'intervalle de temps est

X^*

, suivant la loi de

X

biaisée par la taille. Le temps d'attente

T^*

vérifie donc en fait, pour tout

k ∈ {1, …, n}, P_([X^∗ = k])(T^∗ = j) = 1/k

j \in {1, \dots, k}

P_([X^* = k])(T^* = j) = 0

j > k

.
i) Montrer que pour tout entier

k \in {1, \dots, n}

on a

\sum_(j = 1)^n jP_([X^* = k])(T^* = j) = (k + 1)/2

.
ii) Montrer que

E(T^*) = \sum_(j = 1)^n\sum_(k = 1)^n jP(X^* = k)P_([X^* = k])(T^* = j)

.
iii) Montrer que

E(T^*) = (E(X^* + 1))/2

.
iv) En déduire qu'on a

E(T^*) \geq E(T)

Deuxième partie : Biais par la taille, propriétés

Dans cette partie, on démontre de nombreuses propriétés des variables aléatoires biaisées par la taille.
5) Biais par la taille : le cas de variables à densité. Soit

X

une variable aléatoire positive de densité

f

et admettant une espérance

E(X)

strictement positive (donc

f(x) = 0

pour tout

x

strictement négatif).
On définit la fonction

g

par

g(x) = x/(E(X))f(x)

pour tout

x

réel.
(a) Montrer que

g

définit une densité d'une variable aléatoire positive.

Soit une variable aléatoire

X^*

dont la densité est

g

. On dit que

X^*

suit la loi de

X

biaisée par la taille.
(b) Soit

a

un réel strictement positif.
i) Montrer que la variable aléatoire

aX

possède pour densité

x \mapsto 1/af(x/a)

.
ii) En déduire que

(aX)^*

a \times X^*

possèdent la même loi.
(c) Une propriété importante. Soit

h : [0, \infty[ \to ℝ

une fonction bornée et continue sauf éventuellement en un nombre fini de points. Montrer que

E(Xh(X))

est bien défini et que

E(h(X^*)) = 1/(E(X))E(Xh(X))

On pose alors la définition suivante (que la variable

X

soit à densité ou non) : si

X

est une variable aléatoire réelle positive d'espérance

E(X)

strictement positive, on dit que la variable aléatoire positive

Y

suit la loi de

X

biaisée par la taille si on a

E(h(Y)) = 1/(E(X))E(Xh(X))

pour toute fonction

h : [0, \infty[ \to ℝ

bornée et continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.
6) Dans cette question, on se fixe

f : ℝ \to ℝ

g : ℝ \to ℝ

deux fonctions croissantes. Soit

X

une variable aléatoire telle que les espérances

E(f(X)), E(g(X))

E(f(X)g(X))

sont bien définies.
(a) Montrer que quels que soient les réels

x_1

x_2

, on a

(f(x_1) - f(x_2))(g(x_1) - g(x_2)) \geq 0

.
(b) Soient

X_1, X_2

deux variables aléatoires indépendantes, de même loi que

X

. Montrer que

E((f(X_1) - f(X_2))(g(X_1) - g(X_2))) = 2E(f(X)g(X)) - 2E(f(X))E(g(X))

E[f(X)g(X)] \geq E(f(X))E(g(X))

.
7) Dans cette question, on suppose que

X

est une variable aléatoire positive d'espérance strictement positive, et telle que

E(X^(m + 1))

existe pour un entier

m \geq 1

donné.
(a) Soit

p

un entier naturel tel que

1 \leq p \leq m

.
i) Montrer que pour tout réel

x \geq 0

, on a

0 \leq x^p \leq 1 + x^(m + 1)

.
ii) Montrer que

E(X^p)

existe.
(b) Montrer que

E(X^(m + 1)) \geq E(X)E(X^m)

.
(c) En déduire que

E((X^*)^m) \geq E(X^m)

.
8) Pour

A

un événement, on note

𝕀_A

la variable aléatoire définie par

𝕀_A(ω) = 1

ω \in A

𝕀_A(ω) = 0

sinon. Pour tout

t

réel, on définit la fonction

g_t(x) = 𝕀_(]t, + \infty)[x)

(a) Montrer que la fonction

x \mapsto g_t(x)

est croissante sur

ℝ

.
(b) Soit

X

une variable aléatoire positive, admettant une espérance. Montrer que pour tout

t

réel,

E(Xg_t(X))

est bien défini et que

E(Xg_t(X)) \geq E(X)P(X > t)

.
(c) Montrer que pour tout

t

réel,

P(X^* > t) \geq P(X > t)

On dit que

X^*

domine stochastiquement

X

.
9) Soit

X_1, \dots, X_n

des variables aléatoires positives, indépendantes, non nécessairement de même loi. On suppose qu'elles admettent toutes une espérance strictement positive, et on note

μ_i = E(X_i)

. De plus, on pose

μ = \sum_(i = 1)^n μ_i

, et

S_n = \sum_(i = 1)^n X_i

.
(a) Donner

E(S_n)

.
(b) Soit

J

une variable aléatoire à valeur dans

{1, \dots, n}

, de loi

P(J = k) = μ_k/μ

. Quelle est la loi de

J

si les variables aléatoires

X_i

sont de même loi?
On considère

X_1^*, \dots, X_n^*

des variables aléatoires indépendantes, indépendantes de

X_1, \dots, X_n

, telles que, pour tout entier

i

tel que

1 \leq i \leq n, X_i^*

suive la loi de

X_i

biaisée par la taille.
Soit aussi

J

une variable aléatoire de loi

P(J = k) = μ_k/μ

, indépendante de

X_1, X_1^*, \dots, X_n, X_n^*

. On considère la variable aléatoire

X_J = \sum_(j = 1)^n X_j 𝕀_([J = j])

et on définit

T_n = S_n - X_J + X_J^*

. Autrement dit, on choisit un indice aléatoire

J

et, dans la somme

\sum_(i = 1)^n X_i

, on remplace

X_J

par

X_J^*

.
(c) Soit

h : [0, \infty[ \to ℝ

une fonction bornée et continue sauf éventuellement en un nombre fini de points.
i) Montrer que

h(T_n) = \sum_(i = 1)^n h(T_n)𝕀_([J = i]) = \sum_(i = 1)^n h(S_n - X_i - X_i^*)𝕀_([J = i])

.
ii) En déduire que

E(h(T_n)) = \sum_(i = 1)^n P(J = i)E(h(S_n - X_i + X_i^*))

.
(d) Pour

i \in {1, \dots, n}

, montrer que pour tout réel

s, E(h(s + X_i^*)) = 1/(μ_i)E(X_i h(s + X_i))

On admettra qu'on en déduit l'égalité

E(h(S_n - X_i + X_i^*)) = 1/(μ_i)E(X_i h(S_n))

.
(e) En déduire que

E(h(T_n)) = E(S_n h(S_n))/E(S_n)

.
(f) Conclure que

T_n

suit la loi de

S_n

biaisée par la taille.

Troisième partie : Applications en Statistique

On s'intéresse maintenant au cas où le biais par la taille peut être utilisé en statistique, pour construire des estimateurs non biaisés. Une compagnie d'électricité possède

n

clients où

n

est un entier naturel non nul donné. Lors de l'année écoulée, le

i^e

client a payé

x_i

euros (

x_i > 0

), mais a en réalité consommé une quantité d'électricité correspondant à

y_i

euros (

y_i > 0

). La compagnie sait combien ses clients ont payé, et elle souhaite estimer le rapport

θ = (\sum_(i = 1)^n y_i)/(\sum_(i = 1)^n x_i),

pour déterminer à quel point elle a mal facturé ses clients.
10) Soit

m

un entier fixé tel que

1 \leq m \leq n

. On note

P_m

l'ensemble des parties

A \subset {1, \dots, n}

de cardinal

m

. On considère une variable aléatoire

R

, à valeurs dans

P_m

et de loi uniforme, c'est-à-dire telle que pour toute partie

A \in P_m, P(R = A) = 1/((n/m))

.
On souhaite écrire un programme pour choisir l'ensemble

R

au hasard.
(a) On considère la procédure suivante : on prend un premier élément

s_1

uniformément dans

{1, \dots, n}

, puis un deuxième élément

s_2

uniformément dans

{1, …, n}∖{s_1}

, etc... puis un

m

-ème élément

s_m

uniformément dans

{1, …, n}∖{s_1, …, s_(m − 1)}

. On note

S = (s_1, \dots, s_m)

, qui est un

m

-uplet aléatoire.
i) Montrer que pour tout

m

-uplet (

a_1, \dots, a_m

) d'entiers distincts de

{1, \dots, n}

, on a

P(S = (a_1, \dots, a_m)) = ((n - m)!)/(n!)

ii) On note

R = {s_1, …s_m}

l'ensemble des entiers tirés lors de la procédure décrite plus haut (l'ordre dans lequel ils ont été tirés n'importe plus). Montrer que pour tout ensemble

A = {a_1, …, a_m} ⊂ {1, …, n}

de cardinal

m

, on a

P(R = A) = (m!(n - m)!)/(n!)

. En déduire que l'ensemble

R

a été choisi uniformément dans

P_m

.
(b) Pour un réel

x

, on note

⌊x⌋

sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand entier naturel inférieur ou égal à

x

. Montrer que si

U

suit la loi uniforme sur

[0, 1[

, alors

X = 1 + ⌊nU⌋

suit la loi uniforme sur

{1, \dots, n}

.
(c) On rappelle que la fonction rand () renvoie un nombre aléatoire de loi uniforme sur

[0, 1[

, et que floor ( x ) renvoie la partie entière de x . Écrire une fonction Uniforme en Scilab qui prend en argument un entier

n

, et renvoie un nombre (aléatoire), uniforme sur

{1, \dots, n}

function x= Uniforme(n)
    ...
endfunction

(d) Écrire une fonction Selection, qui prend en argument un vecteur V et renvoie un élément x de V pris de manière aléatoire parmi tous les éléments de

V

, ainsi que le vecteur

W

, égal au vecteur

V

auquel on a enlevé l'élément x . L'instruction length ( V ) renvoie le nombre d'éléments du vecteur V .

function [x,W] = Selection(V)
    n=length(V)
    ...
endfunction

(e) Compléter le programme suivant, qui prend en argument deux entiers

n

m

avec

m \leq n

, et renvoie un vecteur R de

m

entiers distincts, pris uniformément dans

{1, \dots, n}

function R = Choix(m,n)
    V=1:n

    R=[]
    for i=1:m
        ...
    end
endfunction

Pour une partie $A \in P_m$ , on définit $x¯_A = 1/m\sum_(i \in A)x_i, y¯_A = 1/m\sum_(i \in A)y_i$ , et aussi $x¯ = 1/n\sum_(i = 1)^n x_i, y¯ = 1/n\sum_(i = 1)^n y_i$ . La compagnie décide d'utiliser $θ_R = y¯_R/x¯_R$ comme estimateur de $θ$ .
(a) On définit deux variables aléatoires $X = x¯_R = 1/m\sum_(i \in R)x_i$ et $Y = y¯_R = 1/m\sum_(i \in R)y_i$ , qui correspondent aux montants moyens payés et consommés par les $m$ clients du groupe tiré au hasard.
i) Montrer que $E(X) = (n/m)^(- 1)\sum_(A \in P_m)x¯_A$ .
ii) Soit $1 \leq i \leq n$ un entier naturel. Calculer le nombre de parties $A \in P_m$ telles que $i \in A$ .
iii) En déduire que

\sum_(A \in P_m)\sum_(i \in A)x_i = ((n - 1)/(m - 1))\sum_(i = 1)^n x_i.

iv) Conclure que

E(X) = x¯

. On admettra que de même on a

E(Y) = y¯

.
v) Exprimer

θ

en fonction de

E(X)

E(Y)

.
(b) Montrer que

E(θ_R) = E(Y/X)

.
(c) On donne l'inégalité de Cauchy-Schwarz : si

W

Z

sont deux variables aléatoires strictement positives, admettant un moment d'ordre deux,

E(WZ) \leq E(W^2)^(1/2)E(Z^2)^(1/2)

, avec égalité si et seulement s'il existe un

α > 0

tel que

W = αZ

.
i) Montrer que

E(1/X) \geq 1/E(X)

.
ii) Montrer qu'il y a égalité si et seulement si

X

est une variable aléatoire constante, c'est-à-dire

X = E(X) = x¯

.
iii) Conclure que

E(1/X) = 1/E(X)

si et seulement si

x_i = x¯

pour tout

i

.
(d) Si on suppose que

X

Y

sont indépendantes, montrer que

E(θ_R) \geq θ

, avec égalité si et seulement si

x_i = x¯

pour tout

i

.
Ainsi,

E(θ_R)

n'est pas forcément égal à

θ

: on dit alors que

θ_R

est un estimateur biaisé de

θ

.
12) Ce problème peut être résolu en choisissant les

m

clients non de manière uniforme comme dans la question 10, mais de manière biaisée par la taille. Par analogie avec la construction de

T_n

dans la question 9, on commence par choisir une variable aléatoire

J

à valeurs dans

{1, 2, \dots, n}

, dont la loi est donnée par

P(J = i) = x_i/\sum_(r = 1)^n x_r

. Ensuite, étant donné

J

, on choisit un groupe

V

m - 1

clients parmi les

n - 1

clients différents de

J

, de manière uniforme. Autrement dit, pour toute partie

A \in P_m

, et tout

i \in A

, on a

P_([J = i])(V = A∖{i}) = 1/(((n − 1)/(m − 1)))

Le groupe de clients examiné est alors

R = V \cup {J}

.
(a) On commence par déterminer

P(R = A)

, pour

A \in P_m

donné.
i) Montrer que

P(R = A) = ∑_(i ∈ A)P(J = i)P_([J = i])(V = A∖{i})

ii) En déduire que

P(R = A) = 1/((n/m))(x¯_A)/(x¯)

Une fois choisi le groupe de clients $R$ (par la procédure de la question 12), on définit $θ^_R = y¯_R/x¯_R$ .
(a) Montrer que

E(θ^_R) = 1/((n/m))\sum_(A \in P_m)(y¯_A)/(x¯)

(b) Conclure que

E(θ^_R) = θ

. On a donc construit un estimateur non biaisé de

θ

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