Ecricome Maths appliquées ECG 2024Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECG 2024

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Annale de maths appliquées Ecricome pour la filiere ECG, session 2024.

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Ccricome

CONCOURS D'ADMISSION 2024

Mathématiques Appliquées

Série ECG
Lundi 15 avril 2024 de 8 hOO à 12 h 00
Durée : 4 heures
Candidats bénéficiant de la mesure «Tiers-temps » :
8h00-13h20

L'énoncé comporte 6 pages.

INSTRUCTIONS

Tous les feuillets doivent être identifiables et numérotés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communicants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.
Le candidat dispose d'une annexe Python et SQL en page 8.

Dans les questions faisant intervenir des instructions en langage Python, on prendra soin d'importer les bibliothèques nécessaires lors de leur première utilisation.
Pour traiter les questions d'informatique, les candidats sont invités à se référer aux annexes fournies en fin de sujet. Ils ne sont pas limités à l'utilisation des seules fonctions mentionnées dans ces annexes.

EXERCICE 1

Pour toute variable aléatoire discrète

X

à valeurs dans

ℕ^*

, et pour tout entier naturel

k

, on pose :

R_X(k) = P(X > k).

La partie II est indépendante des autres parties; les résultats de la partie I pourront intervenir dans la partie III.

Partie I

Soit $p$ un réel de $]0, 1[$ . Dans cette question uniquement, on suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ .
(a) Calculer $R_X(k)$ pour tout entier naturel $k$ .
(b) Vérifier que: $\forallk \in ℕ^*, (R_X(k))/(R_X(k - 1)) = 1 - p$ .
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans $ℕ^*$ .
(a) Pour tout entier naturel $k$ non nul, exprimer $P(X = k)$ à l'aide de la fonction $R_X$ .
(b) En déduire que $X$ et $Y$ suivent la même loi si et seulement si, pour tout entier naturel $k, R_X(k) = R_Y(k)$ .

Partie II

(a) Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que : $\foralln \in ℕ^*, n/((n + 1)!) = a/(n!) - b/((n + 1)!)$ .
(b) En déduire que la série $\sum_(n ⩾ 1)n/((n + 1) !)$ est convergente et déterminer la valeur de la somme $\sum_(n = 1)^(+ \infty)n/((n + 1) !)$ .
Dans cette question, on considère une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $ℕ^*$ telle que :

\foralln \in ℕ^*, P(X = n) = n/((n + 1)!).

(a) Montrer que la variable aléatoire

X + 1

admet une espérance et calculer

E(X + 1)

. En déduire que

X

admet une espérance et calculer

E(X)

.
(b) Montrer que la variable aléatoire

(X - 1)(X + 1)

admet une espérance et calculer

E((X - 1)(X + 1))

. En déduire que

X

admet une variance et calculer

V(X)

Partie III

Soit

(α_k)_(k \in ℕ^*)

une suite de réels strictement compris entre 0 et 1 .
On étudie la durée de vie en années d'un appareil. Tout au long de l'année initiale

k = 0

, on suppose que l'appareil fonctionne. Puis, à l'issue de chaque année numéro

k

(

k

étant un entier naturel non nul), l'appareil possède une certaine probabilité de tomber en panne.
Plus précisément, on suppose que, pour tout entier naturel

k

non nul, si la machine fonctionne encore à l'issue de la

è (k - 1)^(ème)

année, alors elle cesse de fonctionner à la fin de l'année

k

avec probabilité

α_k

, et elle continue à fonctionner après la fin de l'année

k

avec probabilité

1 - α_k

.
On note

X

la variable aléatoire égale à la durée de vie en années de l'appareil.
5. Justifier que, pour tout entier naturel

k

non nul :

R_X(k) = (1 - α_k)R_X(k - 1)

.
6. En déduire, pour tout entier naturel

k

non nul :

R_X(k) = \prod_(i = 1)^k(1 - α_i)

.
7. En déduire, pour tout entier naturel

k

non nul, une expression de

P(X = k)

en fonction des termes de la suite

(α_i)_(i \in ℕ^*)

. On pourra utiliser le résultat de la question 2 a.

8. Étude de deux exemples.

(a) Dans cette question uniquement, on suppose que la suite

(α_k)_(k \in ℕ^*)

est constante, c'est-à-dire :

\forallk \in ℕ^*, α_k = p

. Reconnaître la loi de

X

.
(b) Dans cette question uniquement, on suppose que, pour tout entier naturel

k

non nul,

α_k = k/(k + 1)

Déterminer la loi de

X

Partie IV

Un fabricant d'ordinateurs souhaite publier des données statistiques sur la durée de vie de ses appareils fabriqués à partir de l'an 2000. Dans une base de données, on dispose d'une table ordinateur contenant des informations sur tous les ordinateurs produits par le fabricant. Cette table possède les attributs (ou colonnes) suivants.

id (de type INTEGER) : le numéro d'identification de l'ordinateur.
annee_fabrication (de type INTEGER) : l'année de fabrication de l'ordinateur.
adresse_ip (de type INTEGER) : l'adresse IP associée à l'ordinateur.
annee_panne (de type INTEGER) : l'année où l'ordinateur a cessé de fonctionner, valant -1 si l'ordinateur est encore en état de marche.
Dans les questions qui suivent, en plus des commandes SQL au programme, on pourra utiliser les fonctions présentées dans l'Annexe B en fin de sujet.

(a) Écrire une requête SQL permettant de déterminer le nombre total d'ordinateurs produits par le fabricant.
(b) Écrire une requête SQL permettant de déterminer le nombre d'ordinateurs ayant cessé de fonctionner exactement un an après leur production.
(c) Dans cette question uniquement, on suppose que la durée de vie en années d'un ordinateur est une variable aléatoire de loi géométrique, de paramètre $p$ inconnu.
Expliquer de quelle manière le résultat des requêtes écrites dans les questions 9a et 9b peut être utilisé pour estimer le paramètre $p$ .
Un attribut duree_vie, de type INTEGER, a été ajouté à la table ordinateur. Aux champs de l'attribut duree_vie a été affectée la valeur -1 .
Écrire une requête SQL permettant de modifier la table ordinateur en affectant, pour chaque ordinateur, sa durée de vie à l'attribut duree_vie. Dans le cas des ordinateurs qui sont encore en état de marche, on ne modifiera pas la valeur -1 déjà affectée.
Dans cette question, on cherche à déterminer s'il est raisonnable de représenter la durée de vie d'un ordinateur par une variable aléatoire de loi géométrique d'un certain paramètre $p$ que l'on cherchera à approcher.
(a) Expliquer comment le résultat de la requête suivante permet d'obtenir une valeur approchée de $p$ .

SELECT AVG(duree_vie) FROM ordinateurs

(b) La base de données compte au total 10000 ordinateurs. On exécute les requêtes suivantes :

SELECT COUNT(*)/10000 FROM ordinateurs WHERE duree_vie = 1 ;
SELECT COUNT(*)/10000 FROM ordinateurs WHERE duree_vie = 2 ;
    \vdots 伯 百
SELECT COUNT(*)/10000 FROM ordinateurs WHERE duree_vie = 24 ;

En utilisant les résultats de la question 8, expliquer de quelle manière les données de la table ordinateur peuvent être exploitées pour déterminer s'il est raisonnable de représenter la durée de vie d'un ordinateur par une variable aléatoire de loi géométrique.

EXERCICE 2

Soit

a

un réel. On considère la fonction

I_a

définie par :

I_a(x) = \int_x^(+ \infty)e^(2a(x - t) - t^2) dt

On considère également l'intégrale

J_a

définie par :

J_a = \int_0^(+ \infty)e^(- 2at - t^2) dt

Partie I

(a) Montrer la relation suivante :

e^(- 2at - t^2) = o_(t \to + \infty)(1/(t^2)).

(b) En déduire que l'intégrale

J_a

est convergente.
2. En déduire que la fonction

I_a

est définie sur

ℝ

.
3. (a) Justifier que :

lim_(x \to + \infty)\int_x^(+ \infty)e^(- 2at - t^2) dt = 0

(b) Dans cette question uniquement, on suppose que

a

est positif.

Montrer que, pour tout réel

x

I_a(x) ⩽ \int_x^(+ \infty)e^(- t^2) dt

a

lim_(x \to + \infty)I_a(x) = 0

Partie II

On considère l'équation différentielle suivante, d'inconnue

y : ℝ ⟶ ℝ

dérivable :

y^' = 2ay - e^(- x^2).

Dans cette partie, on s'intéresse aux solutions de l'équation (1) qui vérifient

lim_(x \to + \infty)y(x) = 0

.
On considère l'équation homogène associée à (1) :

y^' = 2ay.

Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation homogène (2).
On considère la fonction $F_a$ définie sur $ℝ$ par :

\forallx \in ℝ, F_a(x) = \int_0^x e^(- 2at - t^2) dt.

(a) Montrer que

F_a

est dérivable sur

ℝ

et, pour tout réel

x

, déterminer

F_a^'(x)

.
(b) Montrer que, pour tout réel

x

I_a(x) = e^(2ax)(J_a - F_a(x)).

I_a

est dérivable sur

ℝ

et qu'elle est solution de l'équation différentielle (1).
6. Déterminer l'ensemble des solutions de (1).
7. Déterminer l'ensemble des solutions

y

de (1) telles que

lim_(x \to + \infty)y(x) = 0

dans les trois cas suivants :
(a)

a < 0

,
(b)

a = 0

,
(c)

a > 0

On pourra utiliser le résultat de la question 3c.

Partie III

On considère une variable aléatoire

X

de loi normale d'espérance

- a

et de variance

1/2

.
8. (a) Rappeler l'expression d'une densité de

X

.
(b) Tracer l'allure de sa courbe représentative dans le cas

a = 2

.
9. Soit

x

un réel.
(a) Exprimer

P(X ⩾ x)

sous forme d'intégrale.
(b) En déduire :

I_a(x) = \sqrtπe^(2ax + a^2)P(X ⩾ x).

(a) Soit $Z$ une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.

Déterminer, en fonction de

a

, deux réels

α

β

tels que

αZ + β

suit la même loi que

X

.
(b) Recopier et compléter la fonction Python suivante, prenant en arguments d'entrée les réels

a

x

, pour qu'elle renvoie une estimation de la probabilité

P(X ⩾ x)

import numpy as np
import numpy.random as rd
def estim_proba(a, x):
    num = 0
    for i in range(10000):
        Z = rd.normal()
        X = ___-_ + Z/__-_-
        if _____:
            num = num + 1
    return _-_--

Écrire une fonction Python, nommée approx_I, prenant en arguments d'entrée les réels $a$ et $x$ et renvoyant une valeur approchée de $I_a(x)$ .

EXERCICE 3

Partie I

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On considère la matrice carrée d'ordre

n

dont tous les coefficients diagonaux sont égaux à 0 , et dont tous les autres coefficients sont égaux à 1 :

M_n = (0, 1, \dots, 1; 1, 0, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 1; 1, \dots, 1, 0).

On note

I_n

la matrice identité d'ordre

n

Étude du cas $n = 3$ .

Dans cette question, on considère la matrice

M = (0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0)

.
(a) Justifier que la matrice

M

est diagonalisable.
(b) Calculer

(M + I)^2

, puis en déduire un polynôme annulateur de

M

.
(c) Déterminer les valeurs propres et une base de chaque sous-espace propre de

M

Dans les questions qui suivent, on considère la matrice

P = (1, 1, 1; - 1, 0, 1; 0, - 1, 1)

.
(d) Montrer que

P

est inversible et que :

P^(- 1) = 1/3(1, - 2, 1; 1, 1, - 2; 1, 1, 1).

Dans les questions qui suivent, on pose

D = P^(- 1)MP

.
(e) Déterminer les coefficients de la matrice

D

.
(f) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

k, M^k = PD^k P^(- 1)

.
(g) Soit

k

un entier naturel. On admet qu'il existe deux réels

a_k

b_k

tels que

M^k = a_k M + b_k I_3

En utilisant les résultats des questions précédentes, déterminer

a_k

b_k

.
2. Cas général :

n

est un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 2 .

On considère la matrice

J_n

carrée d'ordre

n

dont tous les coefficients sont égaux à 1 :

J_n = (1, 1, \dots, 1; 1, 1, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, 1; 1, \dots, 1, 1).

(a) Montrer que, pour tout entier naturel

k

non nul,

(J_n)^k = n^(k - 1)J_n

.
(b) Exprimer

M_n

en fonction de

I_n

J_n

.
(c) En déduire, pour tout entier naturel

k

non nul :

(M_n)^k = c_k J_n + (- 1)^k I_n,

où :

c_k = \sum_(i = 1)^k(k/i)n^(i - 1)(- 1)^(k - i).

(d) Montrer que, pour tout entier naturel

k

non nul,

c_k = ((n - 1)^k + (- 1)^(k + 1))/n,

où

c_k

est le réel défini à la question précédente.
(e) En déduire, pour tout entier naturel

k

non nul, une expression des coefficients diagonaux et des coefficients non diagonaux de

(M_n)^k

, en fonction de

n

et de

k

Partie II

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On considère un graphe non orienté

K_n

n

sommets numérotés de 1 à

n

, dans lequel chaque sommet est relié à chaque autre sommet par une arête et n'est pas relié à lui-même par une arête.
3. Représenter graphiquement les graphes

K_2, K_3, K_4

K_5

.
4. (a) Déterminer la matrice d'adjacence du graphe

K_n

.
(b) Dans le graphe

K_4

, combien existe-t-il de chaînes (ou chemins) de longueur 4 menant du sommet numéro 1 à lui-même?
On pourra utiliser le résultat de la question 2e.
5. Déterminer le degré de chaque sommet du graphe

K_n

.
6. Montrer que le nombre total d'arêtes du graphe

K_n

est égal à

(n(n - 1))/2

Partie III

Soient

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 et

K_n

le graphe défini dans la partie II. On parcourt les sommets du graphe

K_n

de la façon suivante :

Initialement, à l'étape $k = 0$ , on se trouve sur le sommet numéro 1 .
À chaque étape, on change de sommet en suivant au hasard, avec équiprobabilité, l'une des arêtes issues du sommet actuel.
Pour tout entier naturel $k$ , on note $X_k$ la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel on se trouve à la $è k^(ème)$ étape (c'est-à-dire à l'issue du $è k^(ème)$ déplacement). En particulier, $X_0$ est une variable aléatoire constante égale à 1 .

Pour tout entier naturel

k

, on note

V_k

la matrice ligne de

ℳ_(1, n)(ℝ)

définie par :

V_k = (P(X_k = 1) P(X_k = 2) \dots P(X_k = n)).

Déterminer $V_0$ et $V_1$ .
Déterminer la matrice de transition de la chaîne de Markov $(X_k)_(k \in ℕ)$ .
(a) Rappeler la définition d'un état stable de la chaîne de Markov $(X_k)_(k \in ℕ)$ .
(b) Soit $V$ la matrice ligne de $ℳ_(1, n)(ℝ)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1/n$ :

V = (1/n, 1/n, \dots, 1/n).

Montrer que

V

est un état stable de la chaîne de Markov

(X_k)_(k \in ℕ)

.
10. (a) Pour tout entier naturel

k

, rappeler sans démonstration une expression de

V_(k + 1)

en fonction de

V_k, M_n

n

, où

M_n

est la matrice définie par (3) en introduction de la partie I.
(b) En déduire, pour tout entier naturel

k

V_k = 1/((n - 1)^k)V_0(M_n)^k.

(X_k)_(k \in ℕ)

converge en loi vers une variable aléatoire dont on reconnaîtra la loi.
11. Comparer et commenter les résultats des questions 9b et 10c.

Annexe A - Fonctions Python utiles

Opérations arithmétiques.

L'opération //, appliquée entre deux entiers naturels non nuls, renvoie le quotient de la division euclidienne du premier entier par le second.
Par exemple, $13//4$ renvoie 3 car $13 = 4 \times 3 + 1$ .
L'opération %, appliquée entre deux entiers naturels non nuls, renvoie le reste de la division euclidienne du premier entier par le second.
Par exemple, $13%4$ renvoie 1 car $13 = 4 \times 3 + 1$ .

La bibliothèque numpy.

Exemple d'importation : import numpy as np.
Les opérations $+, -, *, /, **$ , lorsqu'elles sont possibles, peuvent être réalisées entre deux tableaux numpy de dimensions compatibles et agissent alors coefficient par coefficient.
Les fonctions np.sqrt (racine carrée), np.abs (valeur absolue), np.log (logarithme népérien) et np.exp (exponentielle) s'appliquent à une quantité numérique ou à un tableau numpy de nombres. Dans ce dernier cas, les fonctions sont appliquées à chaque élément du tableau donné en argument d'entrée.
Une valeur approchée de la constante $π$ est stockée dans la variable np.pi.

Le module numpy.random.

Exemple d'importation : import numpy.random as rd.
La commande rd.normal() renvoie une réalisation aléatoire de la loi normale centrée réduite.

Annexe B - Commandes SQL

La fonction COUNT(). La fonction d'agrégation COUNT() permet de connaître le nombre d'enregistrements d'une table, vérifiant éventuellement une certaine condition.
Nous donnons ci-dessous plusieurs exemples d'utilisation de la fonction COUNT(), en considérant une table nommée ma_table comportant deux colonnes colonne_1 et colonne_2.

La requête suivante renvoie le nombre total d'enregistrements dans ma_table :

SELECT COUNT(*) FROM ma_table

La requête suivante renvoie le nombre d'enregistrements de ma_table vérifiant la condition cond :

SELECT COUNT (*) FROM ma_table
WHERE cond

La requête suivante renvoie le nombre d'enregistrements de ma_table pour lesquels la valeur de colonne_2 n'est pas vide :

SELECT COUNT(colonne_2) FROM ma_table

La fonction d'agrégation AVG(). La fonction AVG() permet de calculer la moyenne des valeurs d'une colonne dans une table. Par exemple, si on considère la table nommée table contenant les enregistrements suivants :

colonne_1	colonne_2	colonne_3	colonne_4
1	69	Lyon	4
2	31	Toulouse	8
3	54	Nancy	5
4	64	Saint-Jean-de-Luz	17
5	44	Nantes	6

alors la requête suivante

SELECT AVG(colonne_4)
    FROM table
    WHERE colonne_1 <= 3

affiche la moyenne des valeurs de colonne_4 des trois premiers enregistrements : 5.6667 c'est-à-dire

(4 + 8 + 5)/3

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