BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2020Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2020

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2020 FilièreECE MatièreMathématiques

Annales BCE ECE Mathématiques BCE ECE 2020 ECE Mathématiques Mathématiques 2020

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Difficile

Matrices antisymétriques et endomorphisme associé, estimation de l'écart-type d'une loi normale à partir d'une valeur absolue, tirage en deux étapes dans deux urnes, suites d'intégrales liées à la série harmonique alternée

L'épreuve comporte trois exercices indépendants et un problème. Le premier exercice étudie les matrices antisymétriques et un endomorphisme construit à partir d'une matrice fixée. Le deuxième porte sur l'estimation de l'écart-type d'une loi normale à partir de la valeur absolue de la variable. Le troisième étudie un tirage en deux étapes dans deux urnes, avec simulation Scilab. Le problème étudie deux suites d'intégrales liées à la série harmonique alternée.

1Exercice 1 : matrices antisymétriquespremière annéeÉtude de l'espace des matrices antisymétriques 3x3 et diagonalisation d'un endomorphisme f construit à partir d'une matrice A.
2Exercice 2 : estimation de l'écart-type d'une loi normaleÉtude de Y = |X| pour X de loi normale, construction d'un estimateur sans biais et convergent de l'écart-type, simulation en Scilab.
3Exercice 3 : tirage en deux étapes dans deux urnesÉtude des variables X et Y issues d'un tirage en deux étapes, calcul de loi conditionnelle, d'espérance et de variance, simulation en Scilab.
4Problème : suites d'intégrales liées à la série harmonique alternéeÉtude de deux suites d'intégrales, leur convergence, un équivalent, et lien avec la somme de la série harmonique alternée.

Difficile. Le rapport indique que l'exercice 3 est, de loin, le moins bien réussi de l'épreuve et qu'il a permis de départager de façon tranchée les candidats, tandis que le niveau des questions du problème est jugé difficile pour la plupart des candidats à partir de la question 8.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées

Confusions en algèbre linéaire · Rigueur négligée dans les calculs de sommes · Récurrence inutile sur un résultat dépendant de n

Le jury observe un niveau très hétérogène, avec des questions subtiles qui échappent à presque tous les candidats. Les meilleurs candidats ont acquis des techniques et des réflexes mais ne comprennent pas toujours en profondeur ce qu'ils font.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusions en algèbre linéaire4a, 5a, 5b
Les candidats que l'algèbre linéaire rebute se contentent souvent de traiter les questions 4a, 5a et 5b de l'exercice 1, les autres questions donnant lieu à de très grosses confusions.
2
Rigueur négligée dans les calculs de sommes
Presque tous les correcteurs signalent les libertés prises par les candidats avec la rigueur, voire des résultats arrangés dans les calculs de sommes simples ou doubles de l'exercice 3.
« des « résultats ar rangés » dans les calculs de sommes »
3
Récurrence inutile sur un résultat dépendant de n
Les questions dont le résultat dépend d'un entier naturel n ne doivent pas forcément faire l'objet d'un raisonnement par récurrence.
4
Absence d'argument dans les calculs d'espérance
Un nombre non négligeable de candidats reste adepte du bluff, l'absence d'argument ou le manque de précision rendant la réponse irrecevable, notamment dans les calculs d'espérances et dans l'exercice 3.

Ce qui a été bien réussi

L'exercice 1 a été souvent bien réussi par les candidats que l'algèbre linéaire ne rebute pas trop.
L'exercice 2 a permis aux candidats les moins aguerris de se refaire partiellement une santé sur les questions d'estimation.
De nombreux candidats ont correctement traité les trois premières questions de l'exercice 3.
La majorité des candidats a su profiter des quelques questions faciles qui émaillaient le problème.

Conseils du jury

Soigner la présentation et l'ordre des questions, une copie n'étant pas un brouillon.
Éviter les abréviations non académiques qui dénotent un manque de rigueur.
Construire toute réponse de façon rigoureuse, avec argumentation et précision, en particulier dans les calculs de sommes et d'espérances.
Ne pas se précipiter vers un raisonnement par récurrence dès qu'un résultat dépend d'un entier naturel n.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2020.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Conception : EDHEC BS

OPTION ÉCONOMIQUE
MATHÉMATIQUES

Mardi 5 mai 2020, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On note

^t B

la transposée d'une matrice

B

et on rappelle que la transposition est une application linéaire.
On dit qu'une matrice

M

M_n(ℝ)

est antisymétrique lorsqu'elle vérifie

^t M = - M

et on note

A_n(ℝ)

l'ensemble des matrices antisymétriques.

Montrer que $A_n(ℝ)$ est un sous-espace vectoriel de $M_n(ℝ)$ .

On considère une matrice

A

fixée de

M_n(ℝ)

et l'application

f

, qui à toute matrice

M

A_n(ℝ)

, associe :

f(M) = (^t A)M + MA

a) Soit $M$ une matrice de $A_n(ℝ)$ . Établir que $f(M)$ est une matrice antisymétrique.
b) En déduire que $f$ est un endomorphisme de $A_n(ℝ)$ .

Dans toute la suite, on étudie le cas

n = 3

et on choisit

A = (0, 0, 1; 0, - 1, 0; 0, 0, 0)

.
3) On considère les trois matrices

J = (0, 1, 0; - 1, 0, 0; 0, 0, 0), K = (0, 0, 1; 0, 0, 0; - 1, 0, 0)

L = (0, 0, 0; 0, 0, 1; 0, - 1, 0)

.
a) Montrer que la famille

B = (J, K, L)

est une famille génératrice de

A_3(ℝ)

.
b) Montrer que

B

est une famille libre et en déduire la dimension de

A_3(ℝ)

.
4) a) Calculer

f(J), f(K)

f(L)

, puis les exprimer comme combinaisons linéaires de

J

L

seulement. Les calculs devront figurer sur la copie.
b) En déduire une base de

Im(f)

ne contenant que des matrices de

B

.
c) Déterminer la dimension de

Ker(f)

puis en donner une base.
5) a) Écrire la matrice

F

f

dans la base

B

. On vérifiera que ses coefficients sont tous dans

{ - 1; 0}

.
b) En déduire les valeurs propres de

f

.
c) On note Id l'endomorphisme identité de

A_3(ℝ)

. Déterminer le rang de

f + Id

et dire si

f

est ou n'est pas diagonalisable.

Exercice 2

On considère une variable aléatoire

X

suivant la loi normale

N(0, σ^2)

, où

σ

est strictement positif. On rappelle que la fonction

f_X

qui à tout réel

x

associe

1/(σ\sqrt(2π))exp(- (x^2)/(2σ^2))

est une densité de

X

et on note

F_X

la fonction de répartition de

X

, définie par :

\forallx \in ℝ, F_X(x) = \int_(- \infty)^x f_X(t)dt

Montrer que: $\forallx \in ℝ, F_X(- x) = 1 - F_X(x)$ .
On pose $Y = |X|$ et on admet que $Y$ est une variable aléatoire.
a) Montrer que la fonction de répartition de $Y$ est la fonction, notée $F_Y$ , définie par :

F_Y(x) = {2F_X(x) − 1 si x ≥ 0; 0 si x < 0

b) En déduire que

Y

est une variable à densité et donner une densité

f_Y

Y

.
c) Montrer que

Y

possède une espérance et que l'on a

E(Y) = σ\sqrt(2/π)

3) On suppose, dans cette question seulement, que

σ

est inconnu et on se propose de l'estimer.

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On considère un échantillon (

Y_1, Y_2, \dots, Y_n

) composé de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, et ayant toutes la même loi que

Y

.
On note

S_n

la variable aléatoire définie par

S_n = 1/n\sum_(k = 1)^n Y_k

.
a) Montrer que

S_n

est un estimateur de

σ

, donner la valeur de son biais, puis proposer un estimateur sans biais de

σ

, que l'on notera

T_n

, construit de façon affine à partir de

S_n

.
b) Rappeler la valeur du moment d'ordre 2 de

X

, puis déterminer

E(Y^2), V(Y)

V(S_n)

.
c) Déterminer le risque quadratique de

T_n

en tant qu'estimateur de

σ

. En déduire que

T_n

est un estimateur convergent de

σ

.
4) On rappelle qu'en Scilab, si

i

j

désignent deux entiers naturels non nuls, la commande grand (

i, j, ^'

nor',

m, s

) simule dans un tableau à

i

lignes et

j

colonnes,

i \times j

variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi normale d'espérance

m

et de variance

s^2

.
Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de simuler les variables aléatoires

S_n

T_n

pour des valeurs de

n

σ

entrées par l'utilisateur.

n=input('entrez la valeur de n :')
sigma=input('entrez la valeur de sigma :')
X=------ // simulations de X1,...,Xn
Y=------ // simulations de Y1,...,Yn
S=------
T=-------

Exercice 3

Soit

n

un entier naturel non nul et

p

un réel de

]0; 1[

. On pose

q = 1 - p

.
On dispose de deux urnes, l'urne

U

qui contient

n

boules numérotées de 1 à

n

et l'urne

V

qui contient des boules blanches en proportion

p

.
On pioche une boule au hasard dans

U

et on note

X

la variable aléatoire égale au numéro de la boule tirée.
Si

X

prend la valeur

k

, on pioche

k

boules dans

V

, une par une, avec remise à chaque fois de la boule tirée, et on appelle

Y

la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

Dans le cas où $n = 1$ , reconnaître la loi de $Y$ .

On revient au cas général.

Reconnaître la loi de $X$ et donner son espérance et sa variance.
Soit $k$ un élément de $[ [1, n] ]$ . Reconnaître la loi de $Y$ , conditionnellement à l'événement ( $X = k$ ), et en déduire, en distinguant les cas $0 \leq i \leq k$ et $k < i$ , la probabilité $P_((X = k))(Y = i)$ .
On rappelle les commandes Scilab suivantes qui permettent de simuler des variables usuelles discrètes :
grand ( 1,1 , 'uin', $a, b$ ) simule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[ [a, b] ]$ . grand $(1, 1, ^'$ bin $^', n, p)$ simule une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n, p$ . grand $(1, 1$ , 'geom', p $)$ simule une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$ . grand $(1, 1$ , 'poi', a) simule une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $a$ .

Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de simuler les variables

X

Y

n=input('entrez la valeur de n :')
p=input('entrez la valeur de p :')
X=------
Y=-------

a) Justifier que l'ensemble $Y(Ω)$ des valeurs prises par $Y$ est égal à $[ [0, n] ]$ , puis montrer que :

P(Y = 0) = (q(1 - q^n))/(n(1 - q))

b) Écrire, pour tout

i

[ [1, n] ]

, la probabilité

P(Y = i)

sous forme d'une somme de

n - i + 1

termes que l'on ne cherchera pas à simplifier.
6) a) Soit

i

k

deux entiers naturels tels que

1 \leq i \leq k \leq n

. Montrer l'égalité :

i(k/i) = k((k - 1)/(i - 1))

.
b) Établir ensuite que

Y

possède une espérance et que celle-ci est donnée par :

E(Y) = 1/n\sum_(k = 1)^n(k\sum_(i = 1)^k((k - 1)/(i - 1))p^i q^(k - i))

c) En déduire que

E(Y) = ((n + 1)p)/2

.
7) a) Établir que :

\foralln \geq 2, E(Y(Y - 1)) = 1/n\sum_(k = 2)^n(k(k - 1)\sum_(i = 2)^k((k - 2)/(i - 2))p^i q^(k - i))

b) Montrer que l'on a :

\foralln \geq 2, E(Y(Y - 1)) = ((n^2 - 1)p^2)/3

c) Vérifier que cette expression reste valable pour

n = 1

.
d) Exprimer, sans chercher à la calculer, la variance de

Y

en fonction de

E(Y(Y - 1))

E(Y)

Problème

On convient que, pour tout réel

x

, on a

x^0 = 1

Pour tout $n$ de $ℕ$ , justifier l'existence des intégrales:

I_n = \int_0^1(x^n)/((1 + x)^2)dx et J_n = \int_0^1(x^n)/(1 + x)dx

Calculer $I_0$ et $I_1$ .
a) Pour tout $n$ de $ℕ$ , calculer $I_(n + 2) + 2I_(n + 1) + I_n$ .
b) En déduire $I_2$ .
c) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette le calcul de $I_n$ (dans la variable b) et son affichage pour une valeur de $n$ entrée par l'utilisateur.

n=input('donnez une valeur pour n :')
a=1/2
b= log (2) - 1/2
for k=2:n
    aux=a
    a=-------
    b=------
end
disp (b)

a) Montrer que: $\foralln \in ℕ, 0 \leq I_n \leq 1/(n + 1)$ .
b) En déduire que la suite ( $I_n$ ) est convergente et donner sa limite.
Établir, à l'aide d'une intégration par parties, que : $\foralln \in ℕ^*, I_n = nJ_(n - 1) - 1/2$ .
a) Calculer $J_0$ puis exprimer, pour tout entier naturel $n, J_n + J_(n + 1)$ en fonction de $n$ .
b) En déduire la valeur de $J_1$ .
En utilisant les questions 5) et 6), compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette le calcul et l'affichage de $I_n$ pour une valeur de $n$ entrée par l'utilisateur.

n=input('donnez une valeur pour n :')
J=log(2)
for k=1:n-1
J=------
end
I=------
disp(I)

Établir que: $\foralln \in ℕ^*, J_n = (- 1)^n(ln2 - \sum_(k = 1)^n((- 1)^(k - 1))/k)$ .
a) Utiliser les questions 4) et 5) pour déterminer la valeur de $lim_(n \to + \infty)J_n$ .
b) En déduire la nature de la série de terme général $((- 1)^(k - 1))/k$ ainsi que la valeur de $\sum_(k = 1)^(+ \infty)((- 1)^(k - 1))/k$ .
c) Utiliser la question 5) pour déterminer un équivalent de $J_n$ , du type $1/(αn)$ , avec $α > 0$ , lorsque $n$ est au voisinage de $+ \infty$ .
Pour tout $n$ de $ℕ^*$ , on pose $u_n = ln2 - \sum_(j = 1)^n((- 1)^(j - 1))/j$ .
a) Déduire des questions précédentes un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ est au voisinage de $+ \infty$
b) Montrer que la série de terme général $((- 1)^n)/(2n)$ est convergente. Peut-on en déduire la nature de la série de terme général $u_n$ ?
On se propose, malgré l'impasse précédente, de montrer que la série de terme général $u_n$ est convergente. Pour ce faire, on admet le résultat suivant: si une suite $(x_n)$ est telle que les suites $(x_(2n))$ et ( $x_(2n + 1)$ ) sont convergentes et de même limite $ℓ$ , alors la suite ( $x_n$ ) converge vers $ℓ$ .

Pour tout entier naturel

n

non nul, on pose

S_n = \sum_(k = 1)^n u_k

.
a) Justifier que, pour tout entier naturel

k

non nul, on a :

u_k = (k + 1)u_(k + 1) - ku_k + (- 1)^k

.
b) En déduire l'égalité suivante :

\foralln \in ℕ^*, S_n = (n + 1)u_(n + 1) - u_1 - 1/2(1 - (- 1)^n)

c) Montrer alors que

lim_(n \to + \infty)S_(2n) = lim_(n \to + \infty)S_(2n + 1) = 1/2 - ln2

. Conclure.
12) Des trois résultats suivants, expliquer lequel on vient de démontrer.
a)

\sum_(k = 1)^(+ \infty)\sum_(j = 1)^k((- 1)^(j - 1))/j = 1/2 - ln2

.
b)

\sum_(k = 1)^(+ \infty)\sum_(j = 1)^(+ \infty)((- 1)^(j - 1))/j = 1/2 - ln2

.
c)

\sum_(k = 1)^(+ \infty)\sum_(j = k + 1)^(+ \infty)((- 1)^(j - 1))/j = 1/2 - ln2

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques EDHEC ECE 2020 ?

Le sujet couvre les matrices antisymétriques et la réduction des endomorphismes, l'estimation statistique liée à la loi normale, les probabilités discrètes avec tirages en deux étapes, et les suites d'intégrales liées à la série harmonique alternée.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques EDHEC ECE 2020 ?

Le jury relève un manque de rigueur dans les calculs de sommes de l'exercice 3, des réponses sans argument dans les calculs d'espérance, et de grosses confusions en algèbre linéaire chez les candidats les moins à l'aise.

Quel est l'exercice le plus difficile du sujet EDHEC maths ECE 2020 ?

L'exercice 3, sur un tirage en deux étapes dans deux urnes, est décrit comme de loin le moins bien réussi de l'épreuve, et le problème devient difficile pour la plupart des candidats à partir de la question 8.

L'épreuve de mathématiques EDHEC ECE 2020 est-elle sélective ?

Oui, le rapport indique que l'exercice 3 a permis de départager de façon tranchée les candidats, dans un contexte de niveau très hétérogène.

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2020

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

Conception : EDHEC BS

OPTION ÉCONOMIQUE MATHÉMATIQUES

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

On revient au cas général.

Problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques EDHEC ECE 2020 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques EDHEC ECE 2020 ?

Quel est l'exercice le plus difficile du sujet EDHEC maths ECE 2020 ?

L'épreuve de mathématiques EDHEC ECE 2020 est-elle sélective ?

Commentaires• BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2020

Commentaires• BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2020

OPTION ÉCONOMIQUE
MATHÉMATIQUES