BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : EDHEC

MATHÉMATIQUES

Exercice 1

1. Montrer que φ est un endomorphisme de ℳ_2(ℝ).
2. a) Exprimer φ(K_1), φ(K_2), φ(K_3) et φ(K_4) comme combinaisons linéaires de K_1, K_2, K_3, K_4.
   b) Expliquer comment est construite la matrice A de φ dans la base ( K_1, K_2, K_3, K_4 ) puis expliciter A.
   c) En déduire que φ est diagonalisable.
3. a) Déterminer le rang de A, puis donner une base de Im(φ).
   b) En déduire la dimension de Ker(φ), puis montrer que (I, J) est une base de Ker(φ).
4. a) Calculer A^2 puis montrer que A^3 − 4A = 0.
   b) En déduire les valeurs propres possibles de φ.
5. En Scilab, la commande r = rank (M) renvoie dans la variable r le rang de la matrice M. On a saisi :

A= [0,-1,1,0;-1,0,0,1;1,0,0,-1;0,1,-1,0]
r1=rank (A-2*eye (4,4))
r2=rank (A+2*eye (4, 4))
disp(r1,'r1=')
disp(r2,'r2=')

Exercice 2

1. Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de simuler ce jeu et d'afficher la valeur prise par X_n dès que l'utilisateur saisit une valeur pour p.

p=input('entrez la valeur de p dans 10;1[ :')
n=input('entrez la valeur de n :')
X=--------
while _-_--- & rand()<=p
    X=--------
end
disp(X, 'le niveau du joueur est :')

2. a) Justifier soigneusement que l'ensemble des valeurs prises par X_n est X_n(Ω) = [ [0, n] ].
   b) Déterminer la probabilité P(X_n = 0).
   c) Écrire l'événement (X_n = n) à l'aide de certains des événements R_k puis déterminer la probabilité P(X_n = n).
   d) Écrire, pour tout entier k de [ [1, n − 1] ], l'événement (X_n = k) à l'aide de certains des événements R_k puis déterminer la probabilité P(X_n = k). Vérifier que l'expression trouvée reste valable pour k = 0.
3. Vérifier par le calcul que ∑_(k = 0)^n P(X_n = k) = 1.
4. a) Expliquer pourquoi X_n admet une espérance et écrire cette dernière sous forme d'une somme dépendant de n et de p.
   b) Déterminer lim_(n → + ∞)E(X_n).
5. a) Montrer que, pour tout entier naturel k et pour tout entier n supérieur ou égal à k + 1, on a P(X_n = k) = p^k q.
   b) En déduire que la suite (X_n)_(n ∈ ℕ). converge en loi vers une certaine variable aléatoire X.
   c) On pose Y = X + 1.

Exercice 3

1. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , on considère la fonction f_n définie, pour tout réel x de [0, 1], par :

3. Montrer que la série de terme général u_n est convergente.
4. Pour tout n de ℕ^∗, on pose : S_n = ∑_(k = 1)^n u_k.
   a) Justifier que la suite (S_n)_(n ∈ ℕ^∗) est convergente. On note γ (on prononce gamma) sa limite.
   b) Vérifier que 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1) puis établir que 0 ≤ γ ≤ 1.
   c) Montrer que la suite (S_n)_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
5. a) Déterminer les deux réels a et b tels que, pour tout x de [0, 1] et pour tout k de ℕ^∗, on ait x/(k(x + k)) = a/k − b/(x + k), puis montrer que :

6. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , on pose : T_n = ∑_(k = 1)^n 1/k − lnn.
   a) Montrer que la suite (T_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge et donner sa limite.
   b) Justifier que, pour tout entier naturel n non nul, on a : 1/(n + 1) ≤ ln(n + 1) − lnn ≤ 1/n. En déduire que la suite (T_n)_(n ∈ ℕ^∗) est décroissante.
   c) Donner alors un encadrement de γ à l'aide des réels S_n et T_n.
7. a) En utilisant l'encadrement trouvé ci-dessus, préciser ce que représente S_n pour γ lorsque T_n − S_n est inférieur ou égal à 10^(− 3) ?
   b) Déterminer T_n − S_n, puis compléter le script Scilab suivant afin qu'il affiche une valeur approchée de γ à 10^(− 3) près.

n=1
s=1-log(2)
while ---
    n=---
    s=s+---
end
disp(---)

Problème

Partie 1

1. a) Expliquer rapidement pourquoi cette intégrale est bien définie.
   b) Montrer, grâce à une intégration par parties, que l'on a :

2. a) Pour tout couple ( p, q ) d'entiers naturels, déterminer I(p + q, 0) puis exprimer I(p, q) en fonction de p et q.
   b) Montrer enfin que : ∀p ∈ ℕ, ∫_0^1 x^p(1 − x)^p dx = ((p!)^2)/((2p + 1)!).

Partie 2

Partie 3