Ecricome Maths approfondies ECS 2019Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2019

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2019.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Ccricome

prepa
Mathématiques
Option Scientifique

Mardi 16 avril 2019 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 7 pages.

CONSIGNES

TOUTES LES COPIES DOIVENT COMPORTER UN CODE-BARRES D'IDENTIFICATION.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

EXERCICE 1

On considère la suite

(I_n)_(n ⩾ 0)

définie par :

\foralln \in ℕ, I_n = \int_0^(π/2)(cost)^n dt.

Montrer que $I_n$ est bien défini pour tout $n \in ℕ$ .

Calculer

I_0, I_1

I_2

.
2.(a) Étudier la monotonie de la suite

(I_n)_(n ⩾ 0)

En déduire que la suite

(I_n)_(n ⩾ 0)

converge.
(b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que :

\foralln \in ℕ, I_(n + 2) = (n + 1)(I_n - I_(n + 2))

.
(c) En déduire que:

\foralln \in ℕ, I_(2n) = ((2n)!)/((2^n n!)^2)π/2

I_(2n + 1) = ((2^n n!)^2)/((2n + 1)!)

.
(d) Compléter la fonction I suivante, qui prend en entrée un entier positif

n

, afin qu'elle retourne un vecteur y qui contient les

2n + 2

premiers termes de la suite

(I_n)_(n ⩾ 0)

function y = I(n)
    u = zeros(1 , ........)
    u(0) = ........
    u(1) = ........
    for k = 1 : n
            ........
        end
        y = u
endfunction

3.(a) Rappeler un équivalent simple de

x ⟼ cos(x) - 1

u ⟼ ln(1 + u)

au voisinage de 0 .
(b) Montrer que

nln(cos(n^(- 1/4))) \sim _(n \to + \infty) - 1/2\sqrtn

. En déduire

lim_(n \to + \infty)(cos(n^(- 1/4)))^n

.
(c) Montrer que :

lim_(n \to + \infty)(cos(n^(- 2/3)))^n = 1

.
4. (a) Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

\int_0^(n^(- 1/4))(cost)^n dt ⩽ n^(- 1/4).

(b) Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

\int_(n^(- 1/4))^(π/2)(cost)^n dt ⩽ π/2(cos(n^(- 1/4)))^n.

lim_(n \to + \infty)I_n = 0

.
5.(a) Montrer que pour tout

n \in ℕ^*

I_n ⩾ \int_0^(n^(- 2/3))(cost)^n dt ⩾ n^(- 2/3)(cos(n^(- 2/3)))^n.

En déduire la nature de la série de terme général

I_n

.
(b) Écrire une fonction en Scilab qui prend entrée un entier naturel

n

et qui renvoie en sortie le terme de rang

n

de la suite des sommes partielles associée à la série

\sum_(n ⩾ 0)I_n

.
6.(a) Montrer que pour tout réel

t

] - π, π[ : cos(t) + 1 = 2/(1 + tan^2(t/2))

.
(b) À l'aide du changement de variable

u = tan(t/2)

, montrer que :

\int_0^(π/2)(dt)/(1 + cos(t)) = 1

.
(c) Montrer que pour tout entier

n : \sum_(k = 0)^n(- 1)^k I_k = \int_0^(π/2)(dt)/(1 + cos(t)) - \int_0^(π/2)((- cos(t))^(n + 1))/(1 + cos(t))dt

.
(d) Montrer que:

\foralln \in ℕ, |\int_0^(π/2)((- cos(t))^(n + 1))/(1 + cos(t))dt| ⩽ I_(n + 1)

.
(e) En déduire que la série

\sum_(k ⩾ 0)(- 1)^k I_k

est convergente et déterminer sa somme.

EXERCICE 2

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On dit qu'un vecteur

X = (x_1; ⋮; x_n)

M_(n, 1)(ℝ)

est symétrique (respectivement antisymétrique) lorsque :

\foralli \in [ [1, n] ], x_i = x_(n + 1 - i), (respectivement x_i = - x_(n + 1 - i) \cdot).

On note

F

l'ensemble des vecteurs symétriques de

M_(n, 1)(ℝ)

G

l'ensemble des vecteurs antisymétriques de

M_(n, 1)(ℝ)

.
On note

S = (s_(i, j)) \in M_n(ℝ)

la matrice définie par :

∀(i, j) ∈ [ [1, n] ]^2, s_(i, j) = {1, si, i = n + 1 − j,; 0, si, i ≠ n + 1 − j.

Partie A

Dans cette partie et uniquement dans cette partie, on étudie le cas particulier où

n = 3

. La matrice

S

est alors la suivante :

S = (0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0)

Calculer $S^2$ . En déduire les valeurs propres de $S$ .
Déterminer une base de $F$ et de $G$ .

Vérifier que

F

G

sont des sous-espaces propres de

S

.
3. En déduire que :

F \oplus G = M_(3, 1)(ℝ)

Partie B

On revient dans la suite dans le cas général où

n

est un entier supérieur ou égal à 2 .
4.(a) Expliciter

S

et justifier que

S

est diagonalisable.
(b) Calculer

SX

lorsque

X = (x_1; ⋮; x_n)

.
(c) Pour

i

j

deux entiers de

[ [1, n] ]

, expliciter le coefficient en ligne

i

et colonne

j

S^2

en fonction des coefficients

s_(k, ℓ)

S

En déduire que

S^2

est la matrice identité d'ordre

n

.
5.(a) Soit

X

un vecteur de

M_(n, 1)(ℝ)

Montrer qu'il existe un unique couple (

Y, Z

) de vecteurs de

M_(n, 1)(ℝ)

tel que :

Y \in F, Z \in G et X = Y + Z.

(b) Montrer que

F

G

sont les sous-espaces propres de

S

. Préciser les valeurs propres associées.
6. Soit

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

une matrice de

M_n(ℝ)

telle que :

\forall(i, j) \in [ [1, n] ], a_(i, n + 1 - j) = a_(n + 1 - i, j).

On considère

λ

une valeur propre de

A

X

un vecteur propre associé.
(a) Vérifier que

AS = SA

.
(b) Montrer que

SX

est un vecteur propre de

A

.
(c) On pose

Y = X + SX

. Exprimer

AY

en fonction de

Y

λ

.
(d) En déduire que le sous-espace propre

E_λ(A)

associé à la valeur propre

λ

A

contient nécessairement un vecteur symétrique non nul ou un vecteur antisymétrique non nul.

PROBLEME

Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages d'une boule dans cette urne. Après chaque tirage, on remet la boule tirée dans l'urne, et on rajoute dans l'urne une boule de couleur opposée à celle qui vient d'être tirée.
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé

(Ω, T, ℙ)

.
Pour tout

k \in ℕ

, on note

X_k

le nombre de boules blanches présentes dans l'urne juste avant le

(k + 1)

-ième tirage. En particulier, on a

X_0 = 1

. On admet que pour tout entier

k, X_k

est une variable aléatoire de

(Ω, T, ℙ)

Partie A

Déterminer la loi de $X_1$ . Donner son espérance et sa variance.
Justifier soigneusement que la loi de $X_2$ est donnée par :

ℙ([X_2 = 1]) = 1/6, ℙ([X_2 = 2]) = 2/3, ℙ([X_2 = 3]) = 1/6.

Préciser l'ensemble $X_k(Ω)$ des valeurs que peut prendre $X_k$ .
Soient $i \in ℕ^*$ et $j \in X_k(Ω)$ . Déterminer $ℙ_([X_k = j])([X_(k + 1) = i])$ .
(On distinguera différents cas selon les valeurs relatives de $i$ et $j$ ).
Déduire de ce qui précède que :

\forallk \in ℕ, \foralli \in ℕ^*, ℙ([X_(k + 1) = i]) = i/(k + 2)ℙ([X_k = i]) + (3 + k - i)/(k + 2)ℙ([X_k = i - 1]).

À l'aide de la formule (*), déterminer la loi de $X_3$ .
7.(a) Montrer que pour tout $k \in ℕ : ℙ([X_k = 1]) = 1/((k + 1)!)$ .
(b) Déterminer pour tout $k \in ℕ$ , la valeur de $ℙ([X_k = k + 1])$ .
(c) Pour tout $k \in ℕ$ , on pose : $a_k = (k + 1)! \times ℙ([X_k = 2])$ .

Exprimer

a_(k + 1)

en fonction de

a_k

et de

k

.
Montrer que la suite

(b_k)_(k ⩾ 0)

définie par :

\forallk \in ℕ, b_k = a_k + k + 2

est géométrique.
En déduire alors que :

\forallk \in ℕ, ℙ([X_k = 2]) = (2^(k + 1) - k - 2)/((k + 1)!)

Partie B

Que renvoie la fonction Scilab suivante pour un entier $k$ non nul?

Détailler le fonctionnement de la ligne 5.

function x = mystere( k )
    n = 1 ;
    b = 1 ;
    for i = 1 : k
        r = floor(rand()*(n+b)+1)
        if r > n then
            n = n + 1
        else
            b = b + 1
        end
    end
    x = b
endfunction

Écrire une fonction Scilab d'en-tête function LE $=$ loi-exp( $k, N$ ) qui prend en entrée un entier strictement positif $k$ et un entier $N$ , qui effectue $N$ simulations de $k$ tirages successifs dans l'urne et qui retourne un vecteur LE qui contient une estimation de la loi de $X_k$ (c'est-à-dire que pour chaque $i \in [ [1, k + 1] ]$ , LE(i) contient la fréquence d'apparition de l'événement $[X_k = i]$ au cours des $N$ simulations).
On pourra utiliser la fonction mystere.
Recopier et compléter la fonction loi-theo suivante, qui prend en entrée un entier strictement positif $n$ , afin qu'elle retourne un vecteur LT qui contient la loi théorique de $X_n$ .

function LT = loi-theo(n)
    M = zeros(n , n + 1)
    M(1,1) = 1 / 2
    M(1,2) = 1 / 2
    for k = 1 : n - 1
        M(k+1,1) = ........
        for i = 2 : k + 1
            M(k+1, i) = ........
        end
        M(k+1,k+2) = ........
    end
LT = ........
endfunction

Un étudiant nous propose comme loi de $X_5$ le résultat suivant :

$k$	1	2	3	4	5	6
$ℙ([X_5 = k])$	0.001368	0.079365	0.419434	0.418999	0.079454	0.00138

A-t-il utilisé loi-exp ou bien loi-theo?

Partie C

12.(a) À l'aide de la formule (*), montrer que :

\forallk \in ℕ, E(X_(k + 1)) = (k + 1)/(k + 2)E(X_k) + 1.

(b) Déduire de ce qui précède que :

\forallk \in ℕ, E(X_k) = (k + 2)/2.

Y_k

la variable aléatoire égale au nombre de boules noires présentes dans l'urne après

k

tirages.
Justifier que

X_k

Y_k

ont même espérance, puis retrouver le résultat de la question précédente.
On admettra pour la suite que :

\forallk \in ℕ^*, V(X_k) = (k + 2)/(12).

(a) Soit $α > 0$ . Montrer que :

lim_(k \to + \infty)ℙ(|(X_k)/(k + 2) - 1/2| < α) = 1.

(b) Interpréter ce résultat et le justifier intuitivement.

Partie D

Pour tout couple d'entiers $(i, j)$ tels que $1 ⩽ j < i$ , on définit l'application $φ_(i, j)$ par :

φ_(i, j) : ℝ[X], ⟶ ℝ[X]; P, ⟼ jP(X + 1) - iP(X).

(a) Montrer que

φ_(i, j)

est linéaire.
(b) Pour

P \in ℝ[X]

, montrer que

deg(φ_(i, j)(P)) = deg(P)

.
(c) En déduire que

φ_(i, j)

est injective.
(d) Montrer que pour tout polynôme

P

dans

ℝ[X]

, il existe un polynôme

Q

dans

ℝ[X]

tel que

φ_(i, j)(Q) = P

.
(Pour

P

non nul, on pourra s'intéresser à la restriction de

φ_(i, j)

ℝ_n[X]

où

n

est le degré de

P

).
Ce qui précède montrant que

φ_(i, j)

est un automorphisme, on définit le polynôme

P_(i, j)

pour tout couple d'entiers

(i, j)

tels que

1 ⩽ j ⩽ i

, en posant:

P_(1, 1)(X) = 1, et pour 1 ⩽ j < i, P_(i, j)(X) = φ_(i, j)^(- 1)((3 + X - i)P_(i - 1, j)(X)),

et enfin pour tout entier

i > 1

P_(i, i)(X) = - \sum_(j = 1)^(i - 1)P_(i, j)(0).

(a) Vérifier que : $P_(2, 1)(X) = - X - 2$ , puis calculer $P_(2, 2)(X)$ .
(b) Vérifier que : $P_(3, 2)(X) = - 2X - 4$ .

On admettra dans la suite que :

P_(3, 1)(X) = 1/2X^2 + 3/2X + 1

P_(3, 3)(X) = 3

Cócricome

On considère, pour tout entier $i$ de $ℕ^*$ , la propriété suivante :

H_i:≪\forallk \in ℕ, ℙ([X_k = i]) = 1/((k + 1)!)\sum_(j = 1)^i P_(i, j)(k)j^k≫.

On souhaite montrer par récurrence que, pour tout

i

ℕ^*, H_i

est vraie.
(a) Montrer que

H_1

est vraie.
(b) Soit

i > 1

. On suppose que

H_(i - 1)

est vraie et on pose:

\forallk \in ℕ, α_k = (k + 1)!ℙ([X_k = i]) - \sum_(j = 1)^(i - 1)P_(i, j)(k)j^k.

En utilisant la formule

(*)

et la relation

(3 + X - i)P_(i - 1, j)(X) = φ_(i, j)(P_(i, j)(X))

, montrer que la suite

(α_k)_(k ⩾ 0)

est géométrique.
Déterminer

α_0

et en déduire que

H_i

est vraie.
(c) Conclure.
17.(a) En utilisant le résultat de la question 15(a), retrouver le résultat de la question 7(c).
(b) Déterminer

ℙ([X_k = 3])

pour tout

k \in ℕ^*

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