Ecricome Maths approfondies ECS 2017Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2017

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2017.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Option Scientifique

Mercredi 12 avril 2017 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20

L'énoncé comporte 6 pages.

CONSIGNES

Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.

EXERCICE 1

On définit sur l'intervalle

]0, 1]

les deux fonctions

f : x \mapsto xln(x)

g : x \mapsto x^x = e^(xln(x))

.
1.(a) Les fonctions

f

g

admettent-elles des limites en 0 ?
(b) Dresser les tableaux de variations des fonctions

f

g

sur

]0, 1]

.
(c) Justifier que l'intégrale

\int_0^1 g(t)dt

est convergente. On notera

I

sa valeur.
2. Pour tout

n \in ℕ

, on pose :

u_n = 1/(n!)\int_0^1(tln(t))^n dt

et :

S_n = \sum_(k = 0)^n u_k

(a) Justifier que pour tout

n \in ℕ, u_n

existe.
(b) Montrer que la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

converge vers 0.
(c) Calculer

u_0

u_1

.
(d) À l'aide d'intégrations par parties successives, montrer que :

\foralln \in ℕ, u_n = ((- 1)^n)/((n + 1)^(n + 1))

(e) Montrer que la série de terme général

u_n

est convergente.
(f) Écrire une fonction Scilab d'en-tête function

S =

somme(n) qui prend comme paramètre d'entrée un entier naturel

n

et qui produit en paramètre de sortie la valeur de

S_n

.
3.(a) À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange en 0 à l'ordre

n

appliquée à la fonction exponentielle, montrer que pour tout

x \in [ - 1/e, 0]

et tout entier naturel

n

|e^x - \sum_(k = 0)^n(x^k)/(k!)| ⩽ 1/(e^(n + 1)(n + 1)!)

(b) En déduire que:

\foralln \in ℕ, |I - S_n| ⩽ 1/(e^(n + 1)(n + 1)!)

I = - \sum_(n = 1)^(+ \infty)((- 1)^n)/(n^n)

(d) Écrire une fonction Scilab d'en-tête function I = estimation(eps) qui prend comme paramètre d'entrée un réel flottant strictement positif

ε

et qui produit en paramètre de sortie une valeur approchée de

I

ε

près.

EXERCICE 2

Soit

n

un entier supérieur ou égal à 2 .
Pour tout élément

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

ℝ^n

, on note

X = (x_1; ⋮; x_n)

le vecteur colonne de ses coordonnées dans la base canonique de

ℝ^n

.
On rappelle que si

x

est ainsi associé à

X

y

Y

, le produit scalaire canonique sur

ℝ^n

est défini par :

< x, y>=\sum_(k = 1)^n x_k y_k = ^t XY = ^t YX,

où

^t X

représente la transposée de

X

On note $J$ la matrice de $M_n(ℝ)$ dont tous les coefficients valent 1 .
(a) Justifier qu'il existe une matrice $P$ de $M_n(ℝ)$ et une matrice diagonale $D$ de $M_n(ℝ)$ telles que :

J = PD^t P.

(b) Déterminer le rang de

J

. En déduire une valeur propre de

J

ainsi que la dimension du sousespace propre associé.
(c) En examinant la trace de

J

, expliciter la matrice

D

.
2. On note

f

la forme quadratique définie sur

ℝ^n

par :

f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_(1 ⩽ i < j ⩽ n)x_i x_j.

(a) Montrer que pour tout

(x_1, x_2, \dots, x_n)

f(x_1, x_2, \dots, x_n) = 1/2[(\sum_(i = 1)^n x_i)^2 - \sum_(k = 1)^n x_k^2].

(b) Déterminer une matrice

M \in M_n(ℝ)

telle que :

\forallx \in ℝ^n, f(x) = ^t XMX.

M

comme combinaison linéaire de

J

I

, où

I

désigne la matrice identité de

M_n(ℝ)

.
(d) En déduire qu'il existe une matrice diagonale

Δ

à déterminer telle que :

M = PΔ^t P.

(e) Montrer que la fonction

f

admet un minimum et un maximum sur l'ensemble :

S = {(x_1, x_2, …, x_n) ∈ ℝ^n/x_1^2 + x_2^2 + ⋯ + x_n^2 = 1}

et déterminer la valeur minimale et la valeur maximale de

f

sur

S

.
3. Dans cette question,

A

est une matrice de

M_n(ℝ)

qui est symétrique et dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. On note

u

l'endomorphisme de

ℝ^n

dont

A

est la matrice dans la base canonique de

ℝ^n

.
(a) Justifier que

A

est diagonalisable et montrer qu'il existe une matrice

B \in M_n(ℝ)

telle que

B^2 = A

.
On note

v

l'endomorphisme dont

B

est la matrice dans la base canonique de

ℝ^n

.
(b) À l'aide de

v

et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, montrer que :

\forall(x, y) \in (ℝ^n)^2, (< x, y >)^2⩽<u(x), x > \times < u^(- 1)(y), y >

Pour un

x \in ℝ^n

non nul donné, trouver un

y \in ℝ^n

non nul tel que cette inégalité soit une égalité.
(c) En déduire que :

inf_(x \in ℝ^n; ‖x‖ = 1)(⟨u(x), x⟩) \times (⟨u^(- 1)(x), x⟩) = 1

On suppose que $n = 2$ et $A = (1, 1; 1, 2)$ .
(a) Montrer que $A$ est inversible et déterminer $A^(- 1)$ .
(b) Montrer que toutes les valeurs propres de $A$ sont strictement positives.
(c) En déduire le minimum de la fonction $g$ définie sur $ℝ^2$ par :

g(x_1, x_2) = (x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_1 x_2)(2x_1^2 + x_2^2 - 2x_1 x_2)

sous la contrainte

x_1^2 + x_2^2 = 1

PROBLÈME

Toutes les variables aléatoires présentes dans ce problème sont définies sur un même espace probabilisé

(Ω, A, P)

Partie A

Dans toute cette partie,

a

est un réel strictement positif et

g_a

est la fonction définie par:

∀x ∈ ℝ, g_a(x) = {0, si x < 0,; x/(a^2)e^(− (x^2)/(2a^2)), si x ⩾ 0.

Justifier que $g_a$ est une densité de probabilité.
Soit $Z_a$ une variable aléatoire admettant $g_a$ pour densité.
(a) Soit $N$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée et de variance $a^2$ . Rappeler une densité de $N$ et donner les valeurs de $E(N)$ et $E(N^2)$ .
(b) Montrer que $Z_a$ admet une espérance et calculer $E(Z_a)$ .
(c) Montrer que $Z_a$ admet une variance et calculer $V(Z_a)$ .

Partie B

Pour tout entier

n

strictement positif, on considère l'expérience suivante : on dispose de

n

urnes initialement vides, numérotées de 1 à

n

et on dispose d'un grand stock de boules que l'on dépose une à une dans ces urnes. Pour chaque boule, on choisit au hasard, de façon équiprobable, l'urne dans laquelle la boule est déposée.
On note

X_n

le rang du premier tirage pour lequel une des urnes contiendra deux boules.

Compléter la fonction Scilab suivante pour qu'elle simule une réalisation de la variable aléatoire $X_n$ :

function X = tirage(n)
    urnes = zeros(1,n)
    X = 1
    choix = floor((rand()*n))+1
    while ............
        urnes(choix) = urnes(choix)+1
        choix = floor((rand()*n))+1
        X = ............
    end
endfunction

On suppose dans cette question que $n = 1$ .

Déterminer la loi de

X_1

ainsi que son espérance et sa variance.
3. On suppose dans cette question que

n = 2

Déterminer la loi de

X_2

ainsi que son espérance et sa variance.
4. On se place ici dans le cas général,

n

désigne un entier strictement positif.
(a) Déterminer

X_n(Ω)

en justifiant brièvement.
(b) Montrer que :

\forallk \in [ [2, n + 1] ], P(X_n = k) = (n!(k - 1))/(n^k(n - k + 1)!).

n, X_n

admet une espérance.
(d) On souhaite écrire une fonction Scilab qui calcule

E(X_n)

en fonction de

n

Compléter la fonction suivante à cet effet :

function E = esperance(n)
    facto = prod([1:n])
    fac = facto
    somme = 0
    puissance = n
    for k = 2 : (n+1)
        puissance = ........
        fac = ........
        somme = somme + k*(k-1)/(puissance*fac)
    end
    E = facto * somme
endfunction

Partie C

On reprend dans cette partie les variables aléatoires

X_n

étudiées dans la partie B . Pour tout entier

n \in ℕ^*

et pour tout

m \in ℕ

, on pose :

α(n, m) = \sum_(k = 0)^m ln(1 - k/n).

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0; 1/2]$ ,

- x - x^2 ⩽ ln(1 - x) ⩽ - x

En déduire que pour tout $(n, m) \in ℕ^* \times ℕ$ tel que $m ⩽ n/2$ , on a :

- (m(m + 1))/(2n) - (m(m + 1)(2m + 1))/(6n^2) ⩽ α(n, m) ⩽ - (m(m + 1))/(2n).

On suppose dans cette question que $x ⩽ 0$ .

Calculer

lim_(n \to + \infty)(\sqrtnP(X_n = ⌊\sqrtnx⌋))

.
4. On suppose dans cette question que

x

est un réel

x > 0

.
(a) Donner la limite puis un équivalent simple de

⌊\sqrtnx⌋

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
(b) Justifier qu'il existe un entier

N

tel que:

\foralln ⩾ N, ⌊\sqrtnx⌋ ⩽ n/2.

\foralln \in ℕ^*, \forallk \in [ [2, n + 1] ], P(X_n = k) = (k - 1)/n\prod_(i = 0)^(k - 2)(1 - i/n)

(d) En déduire que pour tout

n ⩾ N

, on a :

P(X_n = ⌊\sqrtnx⌋) = (⌊\sqrtnx⌋ - 1)/nexp(α(n, ⌊\sqrtnx⌋ - 2)).

(e) Montrer alors que

\sqrtnP(X_n = ⌊\sqrtnx⌋)

admet une limite lorsque

n

tend vers l'infini et déterminer cette limite.

Partie D

On admettra dans cette partie le résultat suivant :
Si

W

est une variable aléatoire et si

(W_n)_(n \in ℕ^*)

est une suite de variables aléatoires telles que :
★ pour tout

n \in ℕ^*, W_n

admet une densité

h_n

;
★ la variable

W

admet une densité

h

;

⋆

pour tout réel

x

, on a :

lim_(n \to + \infty)h_n(x) = h(x)

;
alors, la suite

(W_n)_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers

W

.
On considère toujours dans cette partie la suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires définies dans la partie B . On introduit une variable aléatoire

U

qui suit la loi uniforme sur l'intervalle

[0; 1]

, que l'on suppose indépendante des variables aléatoires

X_n

(pour

n \in ℕ^*

), et on pose :

\foralln \in ℕ^*, Y_n = (X_n + U)/(\sqrtn)

On définit enfin, pour tout entier entier strictement positif, la fonction

f_n

par :

\forallx \in ℝ, f_n(x) = \sqrtnP(X_n = ⌊\sqrtnx⌋).

1.(a) Soit

n \in ℕ^*

k \in ℤ

Déterminer l'ensemble des réels

x

tels que

⌊\sqrtnx⌋ = k

.
(b) Montrer que pour tout entier

n \in ℕ^*

, la fonction

f_n

est une densité de probabilité.
2.(a) Soit

n \in ℕ^*

k \in ℤ

. Calculer

P(U ⩽ \sqrtnx - k)

On pourra séparer les cas où

k > ⌊\sqrtnx⌋, k < ⌊\sqrtnx⌋

k = ⌊\sqrtnx⌋

.
(b) À l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que :

\forallx \in ℝ, P(Y_n ⩽ x) = \int_(- \infty)^x f_n(t)dt

n \in ℕ^*

, la variable aléatoire

Y_n

est une variable aléatoire à densité, et que

Y_n

admet

f_n

pour densité.
(d) Montrer que la suite de variables aléatoires

(Y_n)_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable aléatoire

Y

à densité dont on précisera la densité.
3.(a) Rappeler l'énoncé du Théorème de Slutsky.
(b) Montrer que la suite de variables aléatoires

((X_n)/(\sqrtn))_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable aléatoire à densité dont on donnera une densité.

ECRICOME

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