BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECS 2019Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2019

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECS, session 2019.

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Conception : HEC Paris - ESSEC BS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 30 avril 2019, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le problème comporte cinq parties.
Dans les trois premières parties, on étudie des propriétés usuelles des matrices

^t AA

où

A \in M_n(ℝ)

.
Dans la quatrième partie, on définit la racine carrée d'une matrice symétrique réelle dont les valeurs propres sont strictement positives, afin d'obtenir une décomposition d'une matrice

A \in GL_n(ℝ)

.
Dans la cinquième partie, on applique ce qui précède au calcul de la distance d'une matrice

A \in GL_n(ℝ)

à l'ensemble des matrices orthogonales de

M_n(ℝ)

Dans tout le problème :

$n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
$B_0 = (e_1, \dots, e_n)$ désigne la base canonique de $ℝ^n$ .
Si $x = \sum_(i = 1)^n x_i e_i$ est un vecteur de $ℝ^n$ , on lui associe la matrice

X = [x_1; ⋮; x_n]

de ses coordonnées dans la base

B_0

$<|>$ est le produit scalaire canonique sur $ℝ^n$ et la norme euclidienne qui lui est associée est notée $‖‖$ .
Si $A \in M_n(ℝ), ^t A$ désigne sa transposée et $trA$ désigne sa trace.
$I_n$ désigne la matrice unité de $M_n(ℝ)$ et Id l'endomorphisme identité de $ℝ^n$ .
Endomorphisme adjoint Si $A \in M_n(ℝ)$ et si $f$ est l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ , on note $f^*$ l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $^t A$ . On notera aussi $s_f = f^* \circ f$ l'endomorphisme canoniquement associé à la matrice $^t AA$ .
Si $λ$ est un nombre réel, on définit

E_λ(f) = Ker(f - λId) et E_λ(A) = Ker(A - λI_n)

Liste étendue des valeurs propres Lorsqu'une matrice $A$ de $M_n(ℝ)$ est diagonalisable, on appelle liste étendue des valeurs propres de $A$ , une liste de nombres réels où chaque valeur propre $λ$ de $A$ se trouve répétée $dimE_λ(A)$ fois. Par exemple, la matrice

[1, 0, 0; 0, 4, 0; 0, 0, 4]

admet

(1, 4, 4)

pour liste étendue des valeurs propres.

$S(ℝ^n)$ (respectivement $S_n(ℝ)$ ) désigne l'ensemble des endomorphismes symétriques de $ℝ^n$ (respectivement des matrices symétriques de $M_n(ℝ)$ ).
$S^+(ℝ^n)$ (respectivement $S_n^+(ℝ)$ ) désigne l'ensemble des endomorphismes symétriques de $ℝ^n$ (respectivement des matrices symétriques de $M_n(ℝ)$ ) à valeurs propres positives ou nulles.
On note $O_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices orthogonales de $M_n(ℝ)$ . Si $P \in M_n(ℝ)$ , on rappelle que $P$ est une matrice orthogonale si $P$ est inversible et si $P^(- 1) = ^t P$ .
Matrices définies par bloc Considérons $r \in [ [1, n - 1] ]$ et $(A, B) \in (M_n(ℝ))^2$ définies par

A = [A_1, A_2; A_3, A_4] et B = [B_1, B_2; B_3, B_4]

où

(A_1, B_1) \in (M_r(ℝ))^2; (A_4, B_4) \in (M_(n - r)(ℝ))^2

(A_2, B_2) \in (M_(r, n - r)(ℝ))^2; (A_3, B_3) \in (M_(n - r, r)(ℝ))^2

On utilisera sans démonstration les égalités suivantes

AB = [A_1 B_1 + A_2 B_3, A_1 B_2 + A_2 B_4; A_3 B_1 + A_4 B_3, A_3 B_2 + A_4 B_4] et ^t A = [^t A_1, ^t A_3; ^t A_2, ^t A_4]

Partie I - Un premier exemple

Soit

a

un réel différent de 1 et

A = 1/(1 - a)[1, - 1; a, - a] \in M_2(ℝ)

Quel est le rang de $A$ ? Calculer $A^2$ . Que peut-on dire de l'endomorphisme $f$ canoniquement associé à $A$ ? Est-ce un endomorphisme diagonalisable ? Quels sont les valeurs propres et les sous-espaces propres de $f$ ?
Calculer $M = ^t AA$ . La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Comparer $Kerf$ et $Ker(s_f)$ . Quels sont les valeurs propres et les sous-espaces propres de $s_f$ ?
À quelle condition nécessaire et suffisante, $M$ est-elle la matrice d'un projecteur?

Partie II - Généralités

Produit scalaire sur $M_n(ℝ)$
$a$ - Soit

A = [a_(ij)]_((i, j) \in [ [1, n] ]^2) et B = [b_(ij)]_((i, j) \in [ [1, n] ]^2)

deux matrices de

M_n(ℝ)

. Donner l'expression de

tr(^t AB)

en fonction des coefficients de

A

et de

B

b

- Montrer que l'application

(A, B) \mapsto tr(^t AB)

est un produit scalaire sur

M_n(ℝ)

Dans la suite du problème, on notera

(A|B) = tr(^t AB) et ‖A‖_2 = \sqrt(tr(^t AA))

la norme euclidienne associée.

c

- Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz puis vérifier que

\forallA \in M_n(ℝ), trA^2 ⩽ tr(^t AA).

Montrer également que

trA^2 = tr(^t AA) \Leftrightarrow A \in S_n(ℝ).

Dans la suite,

A \in M_n(ℝ)

f

est toujours l'endomorphisme canoniquement associé à

A

.
5) Caractérisation de la matrice de

f^*

en base orthonormée

Soit

B^' = (e_1^', \dots, e_n^')

une base orthonormée de

ℝ^n

, on note

P

la matrice de passage de

B_0

vers

B^'

A^'

la matrice de

f

dans la base

B^'

a

- Rappeler la relation liant

A

A^'

b

- Rappeler pourquoi

P

est une matrice orthogonale.

c

- En déduire que

^t A^'

est la matrice de

f^*

dans la base

B^'

.
6) Réduction de

s_f

a

- Vérifier que, pour tout

X \in M_(n, 1)(ℝ), ^t X(^t AA)X = ‖AX‖^2

b

- Montrer que

Kerf = Ker(s_f)

rg(s_f) = rgf

c

- Vérifier que

s_f

est un endomorphisme symétrique de

ℝ^n

d

- Montrer que les valeurs propres de

s_f

sont positives ou nulles.
On note

r = rgf

et on suppose pour la fin de la question 6) que

1 ⩽ r ⩽ n - 1

e

- Justifier qu'il existe une base orthonormée

C = (ε_1, \dots, ε_r, \dotsε_n)

ℝ^n

dans laquelle la matrice de

s_f

est de la forme

[D, 0_(r, n - r); 0_(n - r, r), 0_(n - r, n - r)],

où

D

est une matrice diagonale d'ordre

r

dont les éléments diagonaux

λ_1, \dots, λ_r

sont strictement positifs et où

0_(r, n - r), 0_(n - r, r)

0_(n - r, n - r)

sont des matrices dont tous les coefficients sont nuls.

f

- Montrer que la matrice de

f

dans la base

C

est de la forme

Mat_C(f) = [A_1, 0_(r, n - r); A_3, 0_(n - r, n - r)],

où

A_1 \in M_r(ℝ)

A_3 \in M_(n - r, r)(ℝ)

. Vérifier que

^t A_1 A_1 + ^t A_3 A_3 = D

.
7) Étude des valeurs propres de

A^t A

On note

τ_f = f \circ f^*

l'endomorphisme canoniquement associé à

A^t A

a

- Montrer que

rg(s_f) = rg(τ_f)

dim(Ker(s_f)) = dim(Ker(τ_f))

b

- Soit

λ

une valeur propre strictement positive de

s_f

x

un vecteur propre associé. Vérifier que

λ

est une valeur propre de

τ_f

et que

f(x)

en est un vecteur propre associé. Montrer alors que

dim(E_λ(s_f)) ⩽ dim(E_λ(τ_f)).

c

- Montrer que

τ_f

est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres, qu'il possède exactement les mêmes valeurs propres que

s_f

et que, pour chacune de ces valeurs propres

λ

, on a

dim(E_λ(s_f)) = dim(E_λ(τ_f)).

d

- En déduire enfin qu'il existe

Ω \in O_n(ℝ)

telle que

A^t A = Ω(^t AA)^t Ω

.
8) Une inégalité

Dans cette question, on note

V = {(x_1, …, x_n) ∈ [0, + ∞[^n} et U = {(x_1, …, x_n) ∈ ]0, + ∞[^n}

φ

l'application de

ℝ^n

dans

ℝ

définie par

φ : (x_1, \dots, x_n) \mapsto \prod_(i = 1)^n x_i.

On admet que

V

est une partie fermée de

ℝ^n

et que

U

est une partie ouverte de

ℝ^n

a

-Montrer que

W = {(x_1, …, x_n) ∈ V |x_1 + ⋯ + x_n = 1}

est une partie fermée bornée de

ℝ^n

b

- En déduire que

φ

admet un maximum global noté

M

sur

W

c

- Calculer

φ(x_1, \dots, x_n)

lorsque

(x_1, \dots, x_n) \in V∖U

d

- En déduire que

M

est le maximum de

φ

sur

U

sous la contrainte

x_1 + \dots + x_n = 1

e

- Déterminer alors la valeur du maximum

M

et préciser en quel vecteur de

U

il est atteint.

f

- Soit

S \in S_n(ℝ)

. On suppose que les valeurs propres de

S

sont positives ou nulles et on note

(μ_1, \dots, μ_n)

une liste étendue des valeurs propres de

S

. Déduire de ce qui précède que

\prod_(i = 1)^n μ_i ⩽ ((trS)/n)^n

Dans quel cas a-t-on égalité dans cette inégalité ?

g

- Dans cette question, on note

(λ_1, \dots, λ_n)

une liste étendue des valeurs propres de

^t AA

. On définit l'application

Δ

sur

ℝ

par

\forallx \in ℝ, Δ(x) = \prod_(i = 1)^n(x + λ_i).

Montrer alors que pour tout réel

x ⩾ 0

Δ(x) ⩽ ((tr(xI_n + ^t AA))/n)^n = ((nx + λ_1 + \dots + λ_n)/n)^n.

Partie III - Étude de deux cas particuliers

Dans cette partie encore,

A \in M_n(ℝ)

f

est toujours l'endomorphisme canoniquement associé à

A

.
9) On suppose dans cette question que

f

est un projecteur de rang

r \in [ [1, n - 1] ]

a

- Montrer que la trace de toute matrice représentant l'endomorphisme

f

est

r

b

- On reprend les notations de la question 6) selon lesquelles

Mat_C(f) = [A_1, 0_(r, n - r); A_3, 0_(n - r, n - r)]

Vérifier que

A_1^2 = A_1

et que

tr(A_1) = r

, et en déduire la matrice

A_1

c

- Montrer alors que les valeurs propres non nulles de

^t AA

sont supérieures ou égales à 1 et que

tr(^t AA) ⩾ r

d

- Quels sont les projecteurs orthogonaux pour lesquels

tr(^t AA) = r

?
10) On suppose dans cette question que

f

est une symétrie, c'est-à-dire

f^2 =

Id.
a. Justifier que

^t AA

est inversible et exprimer son inverse en fonction de

A

de^t A

b

- Montrer que si

λ

est une valeur propre

det^t AA

, alors

1/λ

est aussi une valeur propre

de^t AA

et que

dimE_λ(^t AA) = dimE_(1/λ)(^t AA).

c

- Vérifier que pour tout

x

réel strictement positif on a

x + 1/x ⩾ 2

puis établir l'équivalence logique

x + 1/x = 2 \Leftrightarrow x = 1.

d

- On note

(λ_1, \dots, λ_n)

une liste étendue des valeurs propres

de^t AA

. Montrer que

\prod_(i = 1)^n(1 + λ_i) ⩾ 2^n

e

- Quelles sont les matrices pour lesquelles

\prod_(i = 1)^n(1 + λ_i) = 2^n

? Montrer que cette égalité correspond au cas où

f

est une symétrie orthogonale, ce qui signifie que les sous-espaces

E_1(f)

E_(- 1)(f)

sont orthogonaux.

Partie IV - Décomposition polaire

Dans cette partie encore,

A \in M_n(ℝ)

f

est toujours l'endomorphisme canoniquement associé à

A

et on suppose de plus que

A

est inversible.
11) Montrer qu'il existe une base orthonormée

C = (ε_1, \dots, ε_n)

n

réels strictement positifs

λ_1, \dots, λ_n

, tels que

\foralli \in [ [1, n] ], s_f(ε_i) = λ_i ε_i

et on pose alors

\foralli \in [ [1, n], v(ε_i) = \sqrt(λ_i)ε_i.

Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme

v

ℝ^n

tel que

v \in S^+(ℝ^n)

v^2 = s_f

.
12) Soit

w

un endomorphisme de

ℝ^n

tel que

w \in S^+(ℝ^n)

w^2 = s_f

Montrer que, pour toute valeur propre

μ

w

, on a

E_μ(w) \subset E_(μ^2)(s_f)

, et montrer ensuite que

E_μ(w) = E_(μ^2)(s_f) et Sp(w) = {√λ|λ ∈ Sp(s_f)}.

En déduire qu'il existe un unique endomorphisme $v$ de $ℝ^n$ tel que $v \in S^+(ℝ^n)$ et $v^2 = s_f$ et que, dans toute base orthonormée de vecteurs propres de $s_f$ , la matrice de $v$ est diagonale.
En déduire qu'il existe une unique matrice notée $\sqrt(^t AA)$ appartenant à $S_n^+(ℝ)$ telle que $(\sqrt(^t AA))^2 = ^t AA$ .
Vérifier que la matrice $A(\sqrt(^t AA))^(- 1)$ est orthogonale. Montrer alors qu'il existe un unique couple

(Ω, S) \in O_n(ℝ) \times S_n^+(ℝ)

tel que

A = ΩS

. C'est ce que l'on appelle la décomposition polaire de

A

Partie V - Application à la distance d'une matrice inversible à l'ensemble $O_n(ℝ)$

Dans cette partie,

A

est une matrice inversible de

M_n(ℝ)

. Soit

M \in GL_n(ℝ)

. On note

d(M)

la distance de

M

O_n(ℝ)

, c'est-à-dire

d(M) = inf_(V \in O_n(ℝ))‖M - V‖_2

Justifier que $d(M)$ est bien définie.
Soit $R \in O_n(ℝ)$ . Montrer que

\forallN \in M_n(ℝ), ‖RN‖_2 = ‖NR‖_2 = ‖N‖_2

Montrer que les applications

V \mapsto VR^(- 1)

V \mapsto R^(- 1)V

sont des bijections de

O_n(ℝ)

sur lui-même. En déduire que

d(M) = d(RM) = d(MR)

On note $A = ΩS$ la décomposition polaire de $A$ . On considère une matrice diagonale $D$ à éléments diagonaux strictement positifs et une matrice $P \in O_n(ℝ)$ telles que

S = PD^t P

Vérifier que

d(A) = d(D)

.
19) Soit

V \in O_n(ℝ)

. On note

W = 1/2(V + ^t V),

v

l'endomorphisme canoniquement associé à

V

a

- Justifier que

W

est diagonalisable. On note

w

l'endomorphisme canoniquement associé à

W

b

- Soit

x \in ℝ^n

. Vérifier que

⟨w(x)|x⟩ = ⟨v(x)|x⟩

et que

‖v(x)‖ = ‖x‖

. En déduire que

| < w(x)|x>|⩽‖x‖^2 et < x - w(x)|x>⩾0.

c

- Montrer alors que les valeurs propres de

I_n - W

sont positives ou nulles.

d

- On note

W = [w_(ij)]_((i, j) \in [ [1, n] ]^2)

. Montrer aussi que, pour tout

i \in [ [1, n] ], 1 - w_(ii) ⩾ 0

e

- Montrer que, pour tout

i \in [1, n]

, on a

w_(ii) = 1

si, et seulement si,

W = I_n

.
20) On conserve les notations des questions 18) et 19).

a

-Montrer que

‖D - V‖_2^2 - ‖D - I_n‖_2^2 = 2(I_n - V|D) = 2(I_n - W|D)

b

- En déduire que

‖D - V‖_2^2 - ‖D - I_n‖_2^2 ⩾ 0

c

- Montrer alors que

d(A) = ‖D - I_n‖_2 = ‖\sqrt(^t AA) - I_n‖_2,

et montrer aussi que

I_n

est l'unique élément

V

O_n(ℝ)

tel que

d(A) = ‖D - V‖_2

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Partie V - Application à la distance d'une matrice inversible à l'ensemble O_n(ℝ)

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Partie V - Application à la distance d'une matrice inversible à l'ensemble $O_n(ℝ)$