BCE Maths approfondies HEC/ESSEC ECG 2023Sujet

MATHÉMATIQUES APPROFONDIES

Notations

• Pour tout entier n ⩾ 0, on note [ [0; n] ] l'ensemble des entiers k vérifiant 0 ⩽ k ⩽ n.
• Si x ∈ ℝ, on note ⌊x⌋ la partie entière de x.
• Pour tous n ∈ ℕ^∗ et m ∈ ℕ^∗, M_(n, m)(ℝ) désigne l'ensemble des matrices à coefficients réels ayant n lignes et m colonnes. On pose M_n(ℝ) = M_(n, n)(ℝ) et on note I_n la matrice identité de M_n(ℝ). Les coefficients d'une matrice A ∈ M_(n, m)(ℝ) sont notés (A)_(i, j), 1 ⩽ i ⩽ n et 1 ⩽ j ⩽ m.
• La transposée d'une matrice A est notée ^t A. Lorsque A = [a] ∈ M_1(ℝ), où a ∈ ℝ, on identifie A au réel a. Si V ∈ M_(n, 1)(ℝ), n ∈ ℕ^∗, on note ‖V‖ sa norme euclidienne.
• Soit (Ω, A, ℙ) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires de cet énoncé sont définies sur cet espace.
• Si X est une variable aléatoire réelle, on note 𝔼(X) son espérance, si elle existe. Pour tout k ∈ ℕ^∗, on appelle moment d'ordre k de X, s'il existe, le réel 𝔼(X^k). On le note m_k(X) et on convient que m_0(X) = 1
• Si g : ℝ^2 → ℝ est une fonction de deux variables de classe C^2 et (x_1, x_2) ∈ ℝ^2, on notera ∇g(x_1, x_2) et ∇^2 g(x_1, x_2), respectivement, le gradient et la matrice hessienne de g au point ( x_1, x_2 ).
• ∀α ∈ ℝ_+^∗, on définit la fonction puissance α sur ℝ_+par

• Soit f une fonction définie sur ℝ à valeurs dans ℝ et J un intervalle de ℝ. On note f_(|J), la restriction de f à J :

Partie I : questions préliminaires, problème des moments

1. Montrer que dans les cas suivants, la variable X admet des moments de tout ordre et déterminer ces moments :
   (a) X suit la loi uniforme sur [0, 1].
   (b) X suit la loi exponentielle de paramètre λ ∈ ℝ_+^∗.

• Pour tout k ∈ ℕ, X admet un moment d'ordre k et m_k(X) = u_k.
• X admet une densité f, avec f_(|J) continue sur J.
• ∀x ∈ ℝ∖J, f(x) = 0.

• Le cas J = ℝ_+. Dans ce cas, ℳ^∗(J) est appelé le problème de Stieltjes.
• Le cas J = [0, 1]. Dans ce cas, ℳ^⋆(J) est appelé le problème de Hausdorff.

Partie II : le problème de Stieltjes

II.1) Des conditions nécessaires d'existence

2. Ecrire explicitement H_3 et G_3 en fonction de u_0, u_1, u_2, u_3, u_4 et u_5.
3. Soit n ∈ ℕ^⋆ et W = [α_1; ⋮; α_n] ∈ M_(n, 1)(ℝ). Montrer que

4. En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, toutes les valeurs propres de H_n sont positives.
5. Montrer de même que pour tout n ∈ ℕ^∗, toutes les valeurs propres de G_n sont positives.
6. On suppose uniquement dans cette question que u_0 = 1, u_1 = 1/2 et u_2 = 1/3.

8. Python

import numpy as np
import numpy.linalg as al
def test_stieltjes(U):
    N = len(U) - 1 # indice du dernier terme de la suite finie U
    m = 1+ N // 2
    H = np.zeros((m, m))
    for n in range(1, m+1): # taille de la matrice H_n
        for i in range(_______, ________):
            H[i, n-1] = U[i+n-1]
            H[n-1, i] =
        valp = al.eigvalsh(H)
        for k in range(0, _-_-_-___):
            if (__-_-_-_-_-_-_-_-___):
                return __-_
    return __-_

II.2) Non unicité des solutions

9. Soit n ∈ ℕ. Montrer que les intégrales

10. Montrer que S_0 = 1/2. On admet que T_0 = S_0.
11. Montrer que pour tout n ∈ ℕ on a

12. En déduire que pour tout n ∈ ℕ on a

13. En déduire que pour tout n ∈ ℕ

14. Calculer M^4 et en déduire que pour tout n ∈ ℕ

15. En utilisant le changement de variable x = t^4 dont on justifiera la validité, montrer que:

16. Montrer qu'il existe deux fonctions g_1 et g_2 positives, distinctes, continues sur ℝ_+et telles que pour tout n ∈ ℕ les deux intégrales

Partie III : le problème de Hausdorff

III.1) Une condition nécessaire d'existence

20. On suppose dans cette question seulement que u_0 = 1, u_1 = 1/2 et u_2 = 1/3.

22. Exprimer Δ_(n, 0) en fonction de u_n.
23. Montrer que pour tout n ∈ ℕ et tout j ∈ [ [0; n] ] on a

24. Python

• info = − 1 si la condition (CH_n) est satisfaite pour tout n ∈ [ [0; N] ].
• info est égal au plus petit entier n ∈ [ [0; N] ] pour lequel CH_n n'est pas satisfaite sinon.

import numpy as np
def test_hausdorff(U):
    N = len(U) - 1 # indice du dernier terme de la suite finie U
    Delta = np.zeros((N+1, N+1))
    info = -1
    for k in range(__-_,_-_-___):
        Delta[k, 0] = U[__]
        if ((__-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-__) and (info == -1 )):
                info = k
        for j in range(____-_ , _________):
            Delta[k, j] =
            if ( (__________-___________) and (________________)):
                info =
    return (info, Delta)

25. Python

def test3():
    N = 10
    U = np.zeros(N+1)
    for k in range(0, N+1):
        U[k] = 1.0/(k+1) # correspond a une loi uniforme
    V=test_hausdorff (U)
    \mathrm { U[3] } \mathrm { = } \mathrm { 0.16 }
    W=test_hausdorff (U)
    return V,W

>>> V,W=test3()

26. Montrer qu'il existe une constante réelle K ∈ ℝ_+telle que

27. Soient x ∈ [0, 1] et n ∈ ℕ^∗ fixés tous les deux. Soit Y_n une variable aléatoire discrète à valeurs dans [ [0; n] ]. On pose

28. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] et tout n ∈ ℕ^∗ on a

29. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ on a

30. En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, on a

31. En déduire que f_1 = f_2. Conclure.

III.4) Problème de Hausdorff tronqué

33. Soit k ∈ ℕ.
    (a) Montrer que R_k admet une dérivée partielle par rapport à sa première variable en tout point et que pour tout (α_1, α_2) ∈ ℝ^2

34. Soit (α_1, α_2) ∈ ℝ^2.
    (a) Exprimer ∇^2 G(α_1, α_2) en fonction des dérivées partielles des F_k(α_1, α_2), k ⩾ 0.
    (b) En déduire que pour tout v = [v_1; v_2] ∈ M_(2, 1)(ℝ) tel que v ≠ 0 on a