BCE Maths appliquées emlyon ECG 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : emlyon business school

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

Exercice 1

Études de fonctions et de suites

1. a) Étudier les variations de la fonction f : x ↦ f(x) (on dressera son tableau de variations, en précisant les limites).
   b) Vérifier que chaque terme de la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est correctement défini et strictement positif.
2. Informatique.
   a) Recopier et compléter la fonction Python suivante afin que l'appel fonc_1(a) renvoie le plus petit entier n tel que u_n > a.

def fonc_1(a):
    from numpy import exp
    u=1
    n=0
    while ...... :
        u=exp(-u)/u
        n=....
    return n

def fonc_2(a):
    from numpy import exp
    u=1
    n=0
    while u<a :
        u=exp(-u)/u
        n=n+1
    return n

Exercice 2

Deux systèmes différentiels

Partie I - Réduction de la matrice A

1. a) Quel est le rang de la matrice A − 2I ?
   b) Justifier que 2 est valeur propre de la matrice A et déterminer la dimension du sous-espace propre E_2 associé à la valeur propre 2 .
   c) Donner une base de E_2.
   d) Combien de valeurs propres autres que 2 la matrice A peut-elle avoir?
2. a) Dans cette sous-question M est une matrice dans M_3(ℝ) et U est le vecteur colonne (1; 1; 1).

Partie II - Un système différentiel

Partie III - Un second système différentiel

Exercice 3

L'entropie en probabilité

Notation

Partie I - Préliminaire

1. Soit h : ℝ^+ → ℝ définie par h(x) = {xlnx si x > 0; 0 si x = 0.
   a) Démontrer que la fonction h est continue sur ℝ^+.
   b) La fonction h est-elle dérivable en 0 ?
   c) Déterminer les antécédents de 0 par la fonction h.
2. Pour tout x dans [0, 1] on pose g(x) = − h(x) − h(1 − x).

Partie II - Des variables aléatoires discrètes

• Z(Ω) = {0, 1};
• l'événement [Z = 1] est réalisé si et seulement si l'événement « X_1 + X_2 est impair» est réalisé.
  On définit le réel p par : p = P(Z = 1).
  a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X_1 + X_2 ?
  b) Démontrer que p = p_1(1 − p_2) + p_2(1 − p_1).
  c) Vérifier que 1 − 2p = (1 − 2p_1)(1 − 2p_2)

6. Soit p ∈ ]0, 1[ et (X_k)_(k ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires (mutuellement) indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre p.
   Pour tout n ∈ ℕ^∗ on pose S_n = ∑_(k = 1)^n X_k et on considère la variable aléatoire Z_n telle que :

• Z_n(Ω) = {0, 1};
• l'événement [Z_n = 1] est réalisé si et seulement si l'événement « S_n est impair» est réalisé.
  a) Soit n ∈ ℕ^∗. Quelle est la loi de la variable aléatoire S_n ?
  b) Démontrer que pour tout n ∈ ℕ^∗ on a : 1 − 2P(Z_n = 1) = (1 − 2p)^n (on pourra raisonner par récurrence).
  c) Démontrer que H(Z_n) ⩽ ln2. Dans quel(s) cas a-t-on égalité?

Partie III - Des variables à densité

7. Soit U une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a, b] où a et b sont des réels tels que a < b.
   a) Démontrer que U admet une entropie.
   b) Déterminer H(U).
8. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, de densité f.
   a) Justifier de la convergence de l'intégrale impropre ∫_0^(+ ∞)tf(t)dt et déterminer sa valeur.
   b) Démontrer que X admet une entropie et que H(X) = 1 − lnλ.
9. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale N(m, σ^2) où m ∈ ℝ et σ > 0. On note φ la densité usuelle de la variable aléatoire X.
   a) Donner l'espérance et la variance de X. En déduire la valeur de l'intégrale impropre ∫_(− ∞)^(+ ∞)t^2 φ(t)dt.
   b) Démontrer que X admet une entropie et que H(X) = (1 + ln(2πσ^2))/2

Fin de l'énoncé