Ecricome Maths appliquées ECE 2018Sujet, corrigé et rapport du jury

(e) ECRICOME

Lundi 16 avril 2018 de 8h00 à 12h00

CONSIGNES

EXERCICE 1

Partie I

1. Soit A la matrice de M_3(ℝ) donnée par : A = (2, 1, − 2; 0, 3, 0; 1, − 1, 5).
   (a) Calculer A^2 − 7A.
   (b) En déduire que les seuls réels susceptibles d'être valeurs propres de A sont les réels 3 et 4 .
   (c) Trouver alors toutes les valeurs propres de A, et pour chacune d'entre elles, donner une base du sous-espace propre associé.
   (d) La matrice A est-elle inversible ? Est-elle diagonalisable ?
2. Soient B = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de ℝ^3 et f l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice représentative dans la base B est la matrice : B = (1, − 1, − 1; − 3, 3, − 3; − 1, 1, 1).
   (a) Déterminer le noyau de f. En déduire une valeur propre de f et l'espace propre associé.
   (b) Déterminer le rang de la matrice B − 2I_3.
   (c) Calculer f(e_1 − e_2 − e_3).
   (d) Déduire des questions précédentes que l'endomorphisme f est diagonalisable.
3. Trouver une matrice P inversible vérifiant toutes les conditions ci-dessous :

Partie II

1. Démontrer que :

2. Pour tout entier naturel n, on note : Y_n = (a_n; b_n; c_n).

3. Démontrer que P^(− 1) = (1, − 1, 1; 1, 0, 1; 1, − 1, 2), puis calculer les matrices Y_0 et Y_1.
4. Pour tout entier naturel n, calculer a_n, b_n et c_n en fonction de n.
5. En déduire l'expression de X_n en fonction de n, pour tout entier naturel n.

function res=X(n)
    Xold=[3;0;-1]
    Xnew = [3;0;-2]
    A = [2,1,-2;0,3,0;1,-1,5]
    B=[1,-1,-1;-3,3,-3;-1,1,1]
    for i=2:n
        Aux = .........
        Xold=........
        Xnew = ........
    end
    res = ...........
endfunction

(b) La fonction précédente a été utilisée dans un script permettant d'obtenir graphiquement cidessous les valeurs de α_n, β_n et γ_n en fonction de n.
Associer chacune des trois représentations graphiques à chacune des suites (α_n)_(n ∈ ℕ), (β_n)_(n ∈ ℕ) et (γ_n)_(n ∈ ℕ) en justifiant votre réponse.

EXERCICE 2

Partie I : Étude de deux suites

1. Soit f la fonction définie sur ℝ_+^∗ par f(x) = 1/(x + 1) + ln(x) − ln(x + 1).
   (a) Déterminer lim_(x → 0)f(x) et lim_(x → + ∞)f(x).
   (b) Étudier les variations de la fonction f sur ℝ_+^∗ et dresser son tableau de variations.
   (c) Démontrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, u_(n + 1) − u_n = f(n).
   (d) En déduire la monotonie de la suite (u_n)_(n ∈ ℕ^∗).
   (e) Écrire une fonction d'en-tête : function y = u(n) qui prend en argument un entier naturel n non nul et qui renvoie la valeur de u_n.
   2.(a) Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, v_(n + 1) − v_n = 1/n − ln(1 + 1/n).
   (b) Montrer que pour tout réel x positif :

eps=input('Entrer un réel strictement positif')
n=floor(1/eps)+1
disp(u(n))

Partie II : Étude d'une série

1. Démontrer que la série de terme général a_n converge.
   2.(a) Justifier que :

EXERCICE 3

Partie I

1. Reconnaître la loi de X, puis vérifier que : P(A) = (13)/(27).
2. Montrer que : G(Ω) = { − 30, − 10, 0, 20}, puis expliciter la loi de G.
3. Calculer l'espérance de la variable aléatoire G. Le jeu est-il favorable au joueur?

Partie II

Partie III

1. Exprimer G en fonction de X et Y. En déduire que :

2. Démontrer que: ∀k ∈ [ [1, n] ], k(n/k) = n((n − 1)/(k − 1)).
3. Montrer que : E(G) = − 10np(1 − 2p)^(n − 1)
4. Démontrer alors que :

Partie IV

1. Pour tout entier i ∈ [ [1, 200] ], donner la loi de G_i, et calculer son espérance et sa variance.
2. Exprimer la variable aléatoire J en fonction des variables aléatoires G_i.