La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE

Dans cette question, on considère les matrices et le produit matriciel .
a) (i) Calculer et .
(ii) Déterminer le rang de .
(iii) La matrice est-elle diagonalisable?
b) (i) Soit . Justifier que la matrice est inversible et calculer le produit .
(ii) Trouver une matrice inversible dont la transposée vérifie : .
(iii) Pour une telle matrice , calculer le produit .
La fonction Scilab suivante permet de multiplier la -ème ligne d'une matrice par un réel sans modifier ses autres lignes, c'est-à-dire de lui appliquer l'opération élémentaire (où ).

function B=multlig(a,i,A)
    [n,p]=size(A);
    B=A;
    for j=1:p
        B(i,j)=a*B(i,j)
    end;

endfunction
a) Donner le code Scilab de deux fonctions addlig (d'arguments b,

) et echlig (d'arguments i, j, A) permettant d'effectuer respectivement les deux autres opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice :

b) Expliquer pourquoi la fonction multligmat suivante retourne le même résultat B que la fonction multlig.

function \(B=\) multligmat \((a, i, A)\)
    [n,p]=size(A) ;
    \(D=\operatorname{eye}(n, n)\);
    \(D(\mathbf{i}, \mathbf{i})=\mathbf{a}\);
    \(\mathrm{B}=\mathrm{D} * \mathrm{~A} ;\)
endfunction

Dans cette question, on note un entier supérieur ou égal à 2 et une matrice de de rang 1 .

Pour tout couple

, on note

la matrice de

dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l'intersection de sa

-ème ligne et de sa

-ème colonne, qui vaut 1 .
a) (i) Justifier l'existence d'une matrice-colonne non nulle

et d'une matrice-ligne non nulle

telles que

.
(ii) Calculer la matrice

et en déduire une valeur propre de

.
(iii) Montrer que si le réel

est différent de 0 , alors la matrice

est diagonalisable.
b) (i) À l'aide de l'égalité

, établir l'existence de deux matrices inversibles

telles que

.
(ii) En déduire que pour tout couple

, il existe deux matrices inversibles

telles que

PROBLÈME

Dans ce problème, on définit et on étudie les fonctions génératrices des moments et les fonctions génératrices des cumulants de variables aléatoires discrètes ou à densité.
Les cumulants d'ordre 3 et 4 permettent de définir des paramètres d'asymétrie et d'aplatissement qui viennent compléter la description usuelle d'une loi de probabilité par son espérance (paramètre de position) et sa variance (paramètre de dispersion) ; ces cumulants sont notamment utilisés pour l'évaluation des risques financiers.

Dans tout le problème:

on note un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires introduites dans l'énoncé sont des variables aléatoires réelles définies sur ( );
sous réserve d'existence, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire sont respectivement notées et ;
pour toute variable aléatoire et pour tout réel pour lesquels la variable aléatoire admet une espérance, on pose :

(les fonctions

sont respectivement appelées la fonction génératrice des moments et la fonction génératrice des cumulants de

)

lorsque, pour un entier , la fonction est de classe sur un intervalle ouvert contenant l'origine, on appelle cumulant d'ordre de , noté , la valeur de la dérivée -ième de en 0 :

Partie I. Fonction génératrice des moments de variables aléatoires discrètes

Dans toute cette partie :

on note un entier supérieur ou égal à 2 ;
toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes à valeurs entières;
on note une variable aléatoire à valeurs dans dont la loi est donnée par :

Soit une variable aléatoire à valeurs dans .
a) Pour tout , écrire sous la forme d'une somme et en déduire que la fonction est de classe sur .
b) Justifier pour tout , l'égalité : .
c) Soit une variable aléatoire à valeurs dans dont la fonction génératrice des moments est la même que celle de .
On note et les deux polynômes définis par :

(i) Vérifier pour tout

, l'égalité :

.
(ii) Justifier la relation :

.
(iii) En déduire que la variable aléatoire

suit la même loi que

.
2. Dans cette question, on note

une variable aléatoire qui suit la loi binomiale

On suppose que les variables aléatoires

sont indépendantes et on pose

.
a) (i) Préciser l'ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire

.
(ii) Calculer les probabilités

attachées aux diverses valeurs possibles

.
b) Vérifier que la variable aléatoire

suit la même loi que

.
3. Le script Scilab suivant permet d'effectuer des simulations de la variable aléatoire

définie dans la question précédente.
(1)

;
(2)

bin

;
(3)

;
(4)

-ones

;
(5)

ones

;
(6)

ones

;
a) Que contiennent les variables

après l'exécution des quatre premières instructions ?
b) Expliquer pourquoi, après l'exécution des six instructions, chacun des coefficients des matrices Z1 et Z2 contient une simulation de la variable aléatoire

.
c) On modifie la première ligne du script précédent en affectant à n une valeur beaucoup plus grande que 10 (par exemple, 100000) et en lui adjoignant les deux instructions (7) et (8) suivantes:

length

ind

length

ind

;
Quelles valeurs numériques approchées la loi faible des grands nombres permet-elle de fournir pour p1 et p2 après l'exécution des huit lignes du nouveau script ?
Dans le langage Scilab, la fonction length fournit la «longueur» d'un vecteur ou d'une matrice et la fonction find calcule les positions des coefficients d'une matrice pour lesquels une propriété est vraie, comme l'illustre le script suivant :

- > A= [1;2;0;4];
- > B= [2;2;4;3];
-- length(A)
ans = 4.
--> length([A,B])
ans =8.
- → find(A<B)
ans = 1. 3. // car 1<2 et 0<4, alors que 2>=2 et 4>=3

Dans cette question, on note une variable aléatoire qui suit la loi binomiale .

On suppose que les variables aléatoires

sont indépendantes et on pose

.
a) Justifier que la fonction

est définie sur

et calculer

pour tout

.
b) Montrer que la fonction

est donnée par:

.
c) En utilisant l'égalité

, montrer que

suit la même loi que la différence

, où

est une variable aléatoire indépendante de

dont on précisera la loi.

Partie II. Propriétés générales des fonctions génératrices des cumulants et quelques exemples

Soit une variable aléatoire et le domaine de définition de la fonction .
a) Donner la valeur de .
b) Soit et . Justifier pour tout réel pour lequel a appartient à , l'égalité :

c) On suppose ici que les variables aléatoires

suivent la même loi.

Que peut-on dire dans ce cas des cumulants d'ordre impair de la variable aléatoire

?
6. Soit

deux variables aléatoires indépendantes et

les domaines de définition respectifs des fonctions

.
a) Montrer que pour tout réel

appartenant à la fois à

, on a :

.
b) En déduire une relation entre les cumulants des variables aléatoires

.
7. Soit

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle

.
a) Montrer que la fonction

est définie sur

et donnée par:

.
b) Calculer la dérivée de la fonction

en tout point

.
c) Trouver la limite du quotient

lorsque

tend vers 0 .
d) Montrer que la fonction

est de classe

sur

.
8. Soit

deux réels tels que

Dans cette question, on note

une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle

.
a) Exprimer

en fonction de

, où la variable aléatoire

a été définie dans la question 7 .
b) Justifier que la fonction

est de classe

sur

et établir l'égalité :

.
9. Soit un réel

et soit

une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre

.
a) Déterminer les fonctions

.
b) En déduire tous les cumulants de

.
10. Soit

une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
a) Justifier pour tout

, la convergence de l'intégrale

.
b) Montrer que la fonction

est définie sur

et donnée par :

.
c) En déduire la valeur de tous les cumulants d'une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance

et d'écart-type

.
11. Soit

une suite de variables aléatoires telles que, pour tout

, la variable aléatoire

suit la loi de Poisson de paramètre

. Pour tout

, on pose :

.
a) Justifier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires

vers une variable aléatoire

.
b) Déterminer la fonction

.
c) Montrer que pour tout

, on a :

Partie III. Cumulant d'ordre 4

Dans cette partie, on considère une variable aléatoire

telle que

est de classe

sur un intervalle ouvert I contenant l'origine.
On admet alors que

possède des moments jusqu'à l'ordre 4 qui coïncident avec les dérivées successives de la fonction

en 0 . Autrement dit, pour tout

, on a

.
De plus, on pose :

.
12. Justifier les égalités :

.
13. Soit

deux variables aléatoires indépendantes et de même loi que

. On pose :

.
a) Montrer que la variable aléatoire

possède un moment d'ordre 4 et établir l'égalité :

b) Montrer que les fonctions

sont de classe

sur

et que pour tout

, on a :

c) En déduire l'égalité :

.
14. Justifier que le cumulant d'ordre 4 de

est donné par la relation :

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\title{Conception : HEC Paris - ESSEC BS }

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