BCE Maths appliquées HEC/ESSEC ECE 2019Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2019

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Annale de maths appliquées BCE HEC/ESSEC pour la filiere ECE, session 2019.

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Conception : HEC Paris - ESSEC BS

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 30 avril 2019, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE

Dans cette question, on considère les matrices $C = (0; 1; 2) \in M_(3, 1)(R), L = (1, 2, - 1) \in M_(1, 3)(R)$ et le produit matriciel $M = CL$ .
a) (i) Calculer $M$ et $M^2$ .
(ii) Déterminer le rang de $M$ .
(iii) La matrice $M$ est-elle diagonalisable?
b) (i) Soit $P = (0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, - 2, 1)$ . Justifier que la matrice $P$ est inversible et calculer le produit $P(0; 1; 2)$ .
(ii) Trouver une matrice inversible $Q$ dont la transposée $^t Q$ vérifie : $^t Q(1; 2; - 1) = (1; 0; 0)$ .
(iii) Pour une telle matrice $Q$ , calculer le produit $PMQ$ .
La fonction Scilab suivante permet de multiplier la $i$ -ème ligne $L_i$ d'une matrice $A$ par un réel sans modifier ses autres lignes, c'est-à-dire de lui appliquer l'opération élémentaire $L_i \leftarrow aL_i$ (où $a \neq 0$ ).

function B=multlig(a,i,A)
    [n,p]=size(A);
    B=A;
    for j=1:p
        B(i,j)=a*B(i,j)
    end;

endfunction
a) Donner le code Scilab de deux fonctions addlig (d'arguments b,

i, j, A

) et echlig (d'arguments i, j, A) permettant d'effectuer respectivement les deux autres opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice :

L_i \leftarrow L_i + bL_j(i \neq j) et L_i \leftrightarrow L_j(i \neq j)

b) Expliquer pourquoi la fonction multligmat suivante retourne le même résultat B que la fonction multlig.

function \(B=\) multligmat \((a, i, A)\)
    [n,p]=size(A) ;
    \(D=\operatorname{eye}(n, n)\);
    \(D(\mathbf{i}, \mathbf{i})=\mathbf{a}\);
    \(\mathrm{B}=\mathrm{D} * \mathrm{~A} ;\)
endfunction

Dans cette question, on note $n$ un entier supérieur ou égal à 2 et $M$ une matrice de $M_n(R)$ de rang 1 .

Pour tout couple

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

, on note

E_(i, j)

la matrice de

M_n(R)

dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé à l'intersection de sa

i

-ème ligne et de sa

j

-ème colonne, qui vaut 1 .
a) (i) Justifier l'existence d'une matrice-colonne non nulle

C = (c_1; ⋮; c_n) \in M_(n, 1)(R)

et d'une matrice-ligne non nulle

L = (ℓ_1\dotsℓ_n) \in M_(1, n)(R)

telles que

M = CL

.
(ii) Calculer la matrice

MC

et en déduire une valeur propre de

M

.
(iii) Montrer que si le réel

\sum_(i = 1)^n c_i ℓ_i

est différent de 0 , alors la matrice

M

est diagonalisable.
b) (i) À l'aide de l'égalité

M = CL

, établir l'existence de deux matrices inversibles

P

Q

telles que

PMQ = E_(1, 1)

.
(ii) En déduire que pour tout couple

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

, il existe deux matrices inversibles

P_i

Q_j

telles que

P_i MQ_j = E_(i, j)

PROBLÈME

Dans ce problème, on définit et on étudie les fonctions génératrices des moments et les fonctions génératrices des cumulants de variables aléatoires discrètes ou à densité.
Les cumulants d'ordre 3 et 4 permettent de définir des paramètres d'asymétrie et d'aplatissement qui viennent compléter la description usuelle d'une loi de probabilité par son espérance (paramètre de position) et sa variance (paramètre de dispersion) ; ces cumulants sont notamment utilisés pour l'évaluation des risques financiers.

Dans tout le problème:

on note $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires introduites dans l'énoncé sont des variables aléatoires réelles définies sur ( $Ω, A$ );
sous réserve d'existence, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire $X$ sont respectivement notées $E(X)$ et $V(X)$ ;
pour toute variable aléatoire $X$ et pour tout réel $t$ pour lesquels la variable aléatoire $e^(tX)$ admet une espérance, on pose :

M_X(t) = E(e^(tX)) et K_X(t) = ln(M_X(t));

(les fonctions

M_X

K_X

sont respectivement appelées la fonction génératrice des moments et la fonction génératrice des cumulants de

X

)

lorsque, pour un entier $p \in N^*$ , la fonction $K_X$ est de classe $C^p$ sur un intervalle ouvert contenant l'origine, on appelle cumulant d'ordre $p$ de $X$ , noté $Q_p(X)$ , la valeur de la dérivée $p$ -ième de $K_X$ en 0 :

Q_p(X) = K_X^((p))(0)

Partie I. Fonction génératrice des moments de variables aléatoires discrètes

Dans toute cette partie :

on note $n$ un entier supérieur ou égal à 2 ;
toutes les variables aléatoires considérées sont discrètes à valeurs entières;
on note $S$ une variable aléatoire à valeurs dans ${ - 1, 1}$ dont la loi est donnée par :

P([S = - 1]) = P([S = + 1]) = 1/2.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[ [ - n, n] ]$ .
a) Pour tout $t \in R$ , écrire $M_X(t)$ sous la forme d'une somme et en déduire que la fonction $M_X$ est de classe $C^\infty$ sur $R$ .
b) Justifier pour tout $p \in N^*$ , l'égalité : $M_X^((p))(0) = E(X^p)$ .
c) Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $[ [ - n, n] ]$ dont la fonction génératrice des moments $M_Y$ est la même que celle de $X$ .
On note $G_X$ et $G_Y$ les deux polynômes définis par :

∀x ∈ R, {G_X(x) = ∑_(k = 0)^(2n)P([X = k − n])x^k; G_Y(x) = ∑_(k = 0)^(2n)P([Y = k − n])x^k

(i) Vérifier pour tout

t \in R

, l'égalité :

G_X(e^t) = e^(nt)M_X(t)

.
(ii) Justifier la relation :

\forallt \in R, G_X(e^t) = G_Y(e^t)

.
(iii) En déduire que la variable aléatoire

Y

suit la même loi que

X

.
2. Dans cette question, on note

X_2

une variable aléatoire qui suit la loi binomiale

B(2, 1/2)

On suppose que les variables aléatoires

X_2

S

sont indépendantes et on pose

Y_2 = SX_2

.
a) (i) Préciser l'ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire

Y_2

.
(ii) Calculer les probabilités

P([Y_2 = y])

attachées aux diverses valeurs possibles

y

Y_2

.
b) Vérifier que la variable aléatoire

X_2 - (S + 1)

suit la même loi que

Y_2

.
3. Le script Scilab suivant permet d'effectuer des simulations de la variable aléatoire

Y_2

définie dans la question précédente.
(1)

n = 10

;
(2)

X = grand(n, 2, ^'

bin

^', 2, 0.5)

;
(3)

B = grand(n, 2, ^' bin^', 1, 0.5)

;
(4)

S = 2*B

-ones

(n, 2)

;
(5)

Z1 = [S(1 : n, 1) \cdot *X(1 : n, 1), X(1 : n, 1) - S(1 : n, 1) -

ones

(n, 1)]

;
(6)

Z2 = [S(1 : n, 1) \cdot *X(1 : n, 1), X(1 : n, 2) - S(1 : n, 2) -

ones

(n, 1)]

;
a) Que contiennent les variables

X

S

après l'exécution des quatre premières instructions ?
b) Expliquer pourquoi, après l'exécution des six instructions, chacun des coefficients des matrices Z1 et Z2 contient une simulation de la variable aléatoire

Y_2

.
c) On modifie la première ligne du script précédent en affectant à n une valeur beaucoup plus grande que 10 (par exemple, 100000) et en lui adjoignant les deux instructions (7) et (8) suivantes:

p1 =

length

(f

ind

(Z1(1 : n, 1) = Z1(1 : n, 2)))/n;

p2 =

length

(f

ind

(Z2(1 : n, 1) = Z2(1 : n, 2)))/n

;
Quelles valeurs numériques approchées la loi faible des grands nombres permet-elle de fournir pour p1 et p2 après l'exécution des huit lignes du nouveau script ?
Dans le langage Scilab, la fonction length fournit la «longueur» d'un vecteur ou d'une matrice et la fonction find calcule les positions des coefficients d'une matrice pour lesquels une propriété est vraie, comme l'illustre le script suivant :

- > A= [1;2;0;4];
- > B= [2;2;4;3];
-- length(A)
ans = 4.
--> length([A,B])
ans =8.
- → find(A<B)
ans = 1. 3. // car 1<2 et 0<4, alors que 2>=2 et 4>=3

Dans cette question, on note $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $B(n, 1/2)$ .

On suppose que les variables aléatoires

X_n

S

sont indépendantes et on pose

Y_n = SX_n

.
a) Justifier que la fonction

M_(X_n)

est définie sur

R

et calculer

M_(X_n)(t)

pour tout

t \in R

.
b) Montrer que la fonction

M_(Y_n)

est donnée par:

\forallt \in R, M_(Y_n)(t) = 1/(2^(n + 1))((1 + e^t)^n + (1 + e^(- t))^n)

.
c) En utilisant l'égalité

(1 + e^(- t))^n = e^(- nt)(1 + e^t)^n

, montrer que

Y_n

suit la même loi que la différence

X_n - H_n

, où

H_n

est une variable aléatoire indépendante de

X_n

dont on précisera la loi.

Partie II. Propriétés générales des fonctions génératrices des cumulants et quelques exemples

Soit $X$ une variable aléatoire et $D_X$ le domaine de définition de la fonction $K_X$ .
a) Donner la valeur de $K_X(0)$ .
b) Soit $(a, b) \in R^2$ et $Y = aX + b$ . Justifier pour tout réel $t$ pour lequel a $t$ appartient à $D_X$ , l'égalité :

K_Y(t) = bt + K_X(at)

c) On suppose ici que les variables aléatoires

X

- X

suivent la même loi.

Que peut-on dire dans ce cas des cumulants d'ordre impair de la variable aléatoire

X

?
6. Soit

X

Y

deux variables aléatoires indépendantes et

D_X

D_Y

les domaines de définition respectifs des fonctions

K_X

K_Y

.
a) Montrer que pour tout réel

t

appartenant à la fois à

D_X

D_Y

, on a :

K_(X + Y)(t) = K_X(t) + K_Y(t)

.
b) En déduire une relation entre les cumulants des variables aléatoires

X, Y

X + Y

.
7. Soit

U

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle

[0, 1]

.
a) Montrer que la fonction

M_U

est définie sur

R

et donnée par:

∀t ∈ R, M_U(t) = {(e^t − 1)/t, si t ≠ 0; 1, si t = 0

.
b) Calculer la dérivée de la fonction

M_U

en tout point

t \neq 0

.
c) Trouver la limite du quotient

(M_U(t) - 1)/t

lorsque

t

tend vers 0 .
d) Montrer que la fonction

M_U

est de classe

C^1

sur

R

.
8. Soit

α

β

deux réels tels que

α < β

Dans cette question, on note

X

une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle

[α, β]

.
a) Exprimer

K_X

en fonction de

M_U

, où la variable aléatoire

U

a été définie dans la question 7 .
b) Justifier que la fonction

K_X

est de classe

C^1

sur

R

et établir l'égalité :

Q_1(X) = E(X)

.
9. Soit un réel

λ > 0

et soit

T

une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre

λ

.
a) Déterminer les fonctions

M_T

K_T

.
b) En déduire tous les cumulants de

T

.
10. Soit

Z

une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
a) Justifier pour tout

t \in R

, la convergence de l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)exp(tx - (x^2)/2)dx

.
b) Montrer que la fonction

M_Z

est définie sur

R

et donnée par :

\forallt \in R, M_Z(t) = exp((t^2)/2)

.
c) En déduire la valeur de tous les cumulants d'une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance

μ \in R

et d'écart-type

σ \in R_+^*

.
11. Soit

(T_n)_(n \in N^*)

une suite de variables aléatoires telles que, pour tout

n \in N^*

, la variable aléatoire

T_n

suit la loi de Poisson de paramètre

n

. Pour tout

n \in N^*

, on pose :

W_n = (T_n - n)/(\sqrtn)

.
a) Justifier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires

(W_n)_(n \in N^*)

vers une variable aléatoire

W

.
b) Déterminer la fonction

K_(W_n)

.
c) Montrer que pour tout

t \in R

, on a :

lim_(n \to + \infty)K_(W_n)(t) = K_W(t)

Partie III. Cumulant d'ordre 4

Dans cette partie, on considère une variable aléatoire

X

telle que

M_X

est de classe

C^4

sur un intervalle ouvert I contenant l'origine.
On admet alors que

X

possède des moments jusqu'à l'ordre 4 qui coïncident avec les dérivées successives de la fonction

M_X

en 0 . Autrement dit, pour tout

k \in [ [1, 4] ]

, on a

M_X^((k))(0) = E(X^k)

.
De plus, on pose :

μ_4(X) = E((X - E(X))^4)

.
12. Justifier les égalités :

Q_1(X) = E(X)

Q_2(X) = V(X)

.
13. Soit

X_1

X_2

deux variables aléatoires indépendantes et de même loi que

X

. On pose :

S = X_1 - X_2

.
a) Montrer que la variable aléatoire

S

possède un moment d'ordre 4 et établir l'égalité :

E(S^4) = 2μ_4(X) + 6(V(X))^2

b) Montrer que les fonctions

M_S

K_S

sont de classe

C^4

sur

I

et que pour tout

t \in I

, on a :

M_S^((4))(t) = K_S^((4))(t)M_S(t) + 3K_S^((3))(t)M_S^'(t) + 3K_S^('')(t)M_S^('')(t) + K_S^'(t)M_S^((3))(t)

c) En déduire l'égalité :

E(S^4) = Q_4(S) + 3(V(S))^2

.
14. Justifier que le cumulant d'ordre 4 de

X

est donné par la relation :

Q_4(X) = μ_4(X) - 3(V(X))^2

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