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BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2012

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Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Difficile
Trois exercices et un problème couvrant suites, algèbre linéaire et probabilités (variables à densité)
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L'épreuve comporte trois exercices et un problème balayant largement le programme, avec une place importante donnée aux probabilités. Elle étudie une suite définie par récurrence, un endomorphisme lié à la diagonalisabilité, une suite d'épreuves aléatoires de type pile ou face, puis une variable aléatoire à densité et son estimation par maximum de vraisemblance.

  1. 1Exercice 1Étudier une suite définie par une relation de récurrence et trouver un développement asymptotique de son terme général.
  2. 2Exercice 2Étudier un endomorphisme g de R3 pour montrer que la diagonalisabilité de g² n'entraîne pas celle de g.
  3. 3Exercice 3Étudier une suite d'épreuves aléatoires de pile ou face et les variables aléatoires associées, avec une simulation informatique.
  4. 4Problèmedeuxième annéeDéterminer l'espérance et la variance d'une variable aléatoire à densité, en déduire une simulation informatique, puis estimer un paramètre par la méthode du maximum de vraisemblance.

Difficile. Les correcteurs ont trouvé ce sujet équilibré, plus long, plus sélectif et plus déstabilisant que par le passé, avec une moyenne de 9,857/20 en baisse par rapport à l'année précédente.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,857 / 20 · écart-type 5,83 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,857/ 20
Écart-type
5,83
moyenne 9,8605101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

4 erreurs relevées
Identités remarquables non reconnues · Confusion entre famille génératrice et base · Notions de noyau et d'image floues
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Le sujet a permis de bien apprécier les connaissances et la capacité à raisonner des candidats grâce à des questions ouvertes dont la solution ne pouvait pas être devinée. Le niveau moyen est moins élevé que l'année précédente, avec un nombre plus important de copies très faibles.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Identités remarquables non reconnues

    Un nombre considérable de candidats ne reconnaissent pas une identité remarquable pourtant célèbre pour obtenir les variations de la suite étudiée.

  2. 2
    Confusion entre famille génératrice et base

    Un nombre non négligeable de candidats confondent famille génératrice et base, ainsi qu'inversibilité et diagonalisabilité.

  3. 3
    Notions de noyau et d'image floues

    Les notions de noyau et d'image restent floues pour un nombre significatif de candidats à l'exercice 2.

  4. 4
    Absence de connaissances sur les variables à densité

    Certains candidats n'ont visiblement aucune connaissance sur la partie du programme de seconde année consacrée aux variables à densité.

Ce qui a été bien réussi

  • La diversité des thèmes abordés a permis à tous les candidats de s'exprimer sur une partie du programme.
  • Le problème sur les variables à densité a été plutôt bien réussi par les candidats ayant eu le temps de s'y intéresser.
  • Les copies sont, dans l'ensemble, bien présentées.

Conseils du jury

  • Ne pas recopier les énoncés des questions avant de les traiter, ni tout un programme informatique si seules quelques instructions manquent.
  • Soigner la présentation et respecter la numérotation des questions.
  • Construire rigoureusement ses réponses plutôt que de faire du remplissage face à un résultat donné.
  • Revoir les identités remarquables et la distinction entre famille génératrice, base, inversibilité et diagonalisabilité.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2012.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On admet que, si une suite (a_n)_(n ∈ ℕ) converge vers le réel ℓ, alors on a : lim_(n → + ∞)1/n∑_(j = 0)^(n − 1)a_j = ℓ.
On se propose d'étudier la suite (u_n)_(n ∈ ℕ), définie par la donnée de u_0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : u_(n + 1) = (u_n^2 + 1)/2.
  1. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : 0 ≤ u_n < 1.
    b) Étudier les variations de la suite ( u_n ).
    c) Déduire des questions précédentes que la suite ( u_n ) converge et donner sa limite.
  2. Pour tout entier naturel n, on pose : v_n = 1 − u_n.
    a) Montrer que lim_(n → + ∞)(1/(v_(n + 1)) − 1/(v_n)) = 1/2.
    b) Utiliser le résultat admis en début d'exercice pour trouver un équivalent de v_n lorsque n est au voisinage de + ∞.
    c) En déduire que u_n = 1 − 2/n + o(1/n).
  3. a) Écrire une fonction Pascal d'en-tête function u ( n : integer) : real ; qui renvoie la valeur de u_n.
    b) En déduire un programme, rédigé en Pascal, qui permet de déterminer et d'afficher la plus petite valeur de n pour laquelle on a : 1 − u_n < 10^(− 3).

Exercice 2

  1. Montrer que, si f désigne un endomorphisme de ℝ^3 diagonalisable, alors l'endomorphisme f^2 est aussi diagonalisable (on rappelle que f^2 = f ∘ f ).
On se propose dans la suite de montrer que la réciproque de cette assertion est fausse. Pour ce faire, on considère l'endomorphisme g de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique de ℝ^3 est :
A = (0, 2, − 1; 2, − 5, 4; 3, − 8, 6)
On note I la matrice identité de M_3(ℝ).
2) a) Déterminer la matrice A^2 puis établir que A^4 = I. En déduire les valeurs propres possibles de la matrice A.
b) Donner une base ( u ) de Ker(g − Id).
c) Déterminer Ker(g + Id).
d) En déduire que g n'est pas diagonalisable.
3) a) Résoudre l'équation A^2 X = − X, d'inconnue le vecteur X élément de ℳ_(3, 1)(ℝ), et en déduire une base (v, w) de Ker(g^2 + Id).
b) Montrer que la famille ( u, v, w ) est une base de ℝ^3.
c) Écrire la matrice de g^2 dans la base (u, v, w) et conclure.

Exercice 3

On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On note p un réel de ]0, 1[ et on pose q = 1 − p.
On dispose d'une pièce donnant "Pile" avec la probabilité p et "Face" avec la probabilité q. On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l'une des deux situations suivantes :
  • Soit si l'on a obtenu "Pile".
  • Soit si l'on a obtenu n fois "Face".
Pour tout entier naturel k non nul, on note P_k (respectivement F_k ) l'événement « on obtient "Pile" (respectivement "Face") au k^(ème) lancer ».
On note T_n le nombre de lancers effectués, X_n le nombre de "Pile" obtenus et enfin Y_n le nombre de "Face" obtenus. On admet que T_n, X_n et Y_n sont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ) que l'on ne cherchera pas à préciser.
  1. Loi de T_n.
    a) Pour tout k de [ [1, n − 1] ], déterminer, en distinguant le cas k = 1, la probabilité P(T_n = k).
    b) Déterminer P(T_n = n).
    c) Vérifier que ∑_(k = 1)^n P(T_n = k) = 1.
    d) Établir que T_n possède une espérance et vérifier que E(T_n) = (1 − q^n)/(1 − q).
  2. Loi de X_n.
    a) Donner la loi de X_n.
    b) Vérifier que E(X_n) = 1 − q^n.
  3. Loi de Y_n.
    a) Déterminer, pour tout k de [ [0, n − 1] ], la probabilité P(Y_n = k).
    b) Déterminer P(Y_n = n).
    c) Écrire une égalité liant les variables aléatoires T_n, X_n et Y_n, puis en déduire E(Y_n).
  4. Montrer que la suite (T_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi vers une variable aléatoire T dont on donnera la loi.
  5. Simulation informatique.
Compléter les trois instructions manquantes pour que le programme suivant simule l'expérience aléatoire décrite ci-dessus et pour qu'il affiche, dans cet ordre, les valeurs prises par les variables aléatoires T_n, X_n et Y_n à l'exécution de l'instruction " Writeln (t, x, y); ".
Program EDHEC_2012 ;
Var n, t, x, y : integer ;
p : real ;
Begin
Randomize ; t:=0; x:=0; y:=0;
Readln(n) ;
While ( x = 0 ) and ( t < n ) do begin ------ ;
If random > p then ------; else ------
end ;
Writeln (t, x, y);
End.

Problème

On désigne par λ un réel strictement positif et on considère la fonction f, définie sur ℝ, par :
∀x ∈ ℝ, f(x) = λ|x|e^(− λx^2)
  1. a) Montrer que f est paire.
    b) Établir que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f(x)dx converge et donner sa valeur.
    c) Montrer que la fonction f peut être considérée comme densité d'une variable aléatoire X que l'on suppose, dans la suite, définie sur un certain espace probabilisé ( Ω, A, P ).
  2. a) Justifier la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)xf(x)dx.
    b) En déduire que la variable aléatoire X possède une espérance, notée E(X), et donner sa valeur.
  3. a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)x^2 f(x)dx converge et donner sa valeur.
    b) En déduire que la variable aléatoire X possède une variance, notée V(X), et donner sa valeur.
  4. On pose Y = X^2 et on admet que Y est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie sur l'espace probabilisé ( Ω, A, P ).
    a) Donner l'expression de la fonction de répartition F_Y de la variable aléatoire Y à l'aide de la fonction de répartition F_X de la variable aléatoire X.
    b) Déterminer une densité f_Y de Y, puis vérifier que Y suit la loi exponentielle de paramètre λ.
    c) Retrouver alors sans calcul la valeur de V(X).
  5. Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1[.
    a) On pose W = − 1/λln(1 − U) et on admet que W est une variable aléatoire. Déterminer la fonction de répartition de W et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire W.
    b) En déduire une fonction Pascal dont l'en-tête est

function vax (lambda: real) : real ;

qui simule la loi de |X|.
c) Vérifier que la probabilité que X prenne des valeurs positives est égale à la probabilité que X prenne des valeurs négatives.
En déduire une fonction Pascal, utilisant random(2), dont l'en-tête est
function x(lambda : real) : real ;
qui simule la loi de X.
On suppose, dans la suite, que le paramètre λ est inconnu et on souhaite l'estimer en utilisant la loi de Y. On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on considère un échantillon (Y_1, Y_2, …, Y_n) de la loi de Y. Les variables Y_1, Y_2, …, Y_n sont supposées définies sur ( Ω, A, P ) et on rappelle qu'elles sont indépendantes et de même loi que Y.
6) On considère des réels x_1, …, x_n strictement positifs, ainsi que la fonction L, à valeurs dans ℝ, définie sur ]0, + ∞[ par :
L(λ) = ∏_(k = 1)^n f_Y(x_k)
a) Exprimer L(λ), puis ln(L(λ)) en fonction de λ, x_1, …, x_n.
b) On considère la fonction φ, définie pour tout réel λ de ]0, + ∞[, par :
φ(λ) = nlnλ − λ∑_(k = 1)^n x_k
Montrer que la fonction φ admet un maximum, atteint en un seul réel que l'on notera z et que l'on exprimera en fonction de x_1, …, x_n. Que peut-on dire de z pour la fonction L ?
7) On pose dorénavant, toujours avec n supérieur ou égal à 2 : Z_n = n/(∑_(k = 1)^n Y_k).
On admet que Z_n est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur l'espace probabilisé ( Ω, A, P ).
La suite (Z_n)_(n ≥ 2) est appelée estimateur du maximum de vraisemblance pour λ.
On admet que la variable aléatoire ∑_(k = 1)^n Y_k admet pour densité la fonction f_n définie par :
f_n(t) = {0 si t < 0; (λ^n)/((n − 1)!)t^(n − 1)e^(− λt) si t ≥ 0
a) En remarquant que ∫_0^(+ ∞)f_(n − 1)(t)dt = 1, montrer que Z_n possède une espérance et que:
E(Z_n) = n/(n − 1)λ
b) Déterminer un estimateur Z_n^′, fonction simple de Z_n, qui soit un estimateur sans biais de λ.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths EDHEC ECE 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths EDHEC ECE 2012 ?

Le sujet porte sur les suites numériques, la réduction des endomorphismes et les probabilités, avec une place importante donnée aux variables aléatoires discrètes et à densité.

Quelle est la moyenne du sujet de maths EDHEC ECE 2012 ?

La moyenne des 3131 candidats ayant composé était de 9,857/20, avec un écart-type de 5,83.

Le sujet de maths EDHEC ECE 2012 est-il difficile ?

Les correcteurs l'ont trouvé équilibré mais plus long, plus sélectif et plus déstabilisant que les années précédentes, avec une moyenne en baisse.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths EDHEC ECE 2012 ?

Le jury signale des identités remarquables non reconnues, des confusions entre famille génératrice et base, et un manque de connaissances sur les variables aléatoires à densité.

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