BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

Code épreuve :

298

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option économique

Vendredi 6 mai 2011 de 8h à 12h

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

1. a) Montrer que : ∀x ∈ ]0, + ∞[, ∀t ∈ [0, x], 1/(e^x + 1) ≤ 1/(e^t + 1) ≤ 1/2.
   b) Établir alors que, pour tout réel x strictement positif, on a : 1/(e^x + 1) ≤ f(x) ≤ 1/2.
   c) En déduire que la fonction f est continue (à droite) en 0 .
2. a) Montrer que f est de classe C^1 sur ]0, + ∞[, puis vérifier que, pour tout réel x strictement positif, on peut écrire : f^′(x) = − 4/(x^3)g(x), où g est une fonction que l'on déterminera.
   b) Étudier les variations, puis le signe de la fonction g. En déduire que f est décroissante sur ℝ_+.
3. a) Montrer que, pour tout réel t positif, on a : t/(e^t + 1) ≤ 1.
   b) En déduire la limite de f(x) lorsque x tend vers + ∞.

Exercice 2

1. a) Montrer que f est une application linéaire.
   b) En écrivant, pour tout réel x, P(x) = a + bx + cx^2, définir explicitement (f(P))(x) puis en déduire que f est un endomorphisme de E.
   c) Écrire f(e_0), f(e_1) et f(e_2) comme des combinaisons linéaires de e_0, e_1 et e_2, puis en déduire la matrice A de f dans la base B.
2. a) Vérifier que Imf = vect(e_1, e_0 + e_2) et donner la dimension de Imf.
   b) Déterminer Kerf.
3. a) À l'aide de la méthode du pivot de Gauss, déterminer les valeurs propres de A.
   b) En déduire que f est diagonalisable et donner les sous-espaces propres de f.
   c) Vérifier que les sous-espaces propres de f, autres que Kerf, sont inclus dans Imf.

Exercice 3

1. a) Pour tout i et pour tout k, éléments de {1, 2, …, n}, on note U_(i, k) l'événement « l'urne numéro i est choisie à la k^(ème) épreuve ».
   Écrire l'événement ( X_i = 1 ) à l'aide de certains des événements U_(i, k), puis montrer que :

Program edhec_2011 ;
Var x1, n1, n, k, tirage, hasard : integer;
Begin
Randomize ;
Writeln('donnez un entier naturel n supérieur ou égal à 2');
Readln(n);
n1:=0;x1:=1;
For k:= 1 to n do
    begin
    hasard:= random(n)+1;
    If hasard = 1 then begin x1:= __-_---; n1: , __-_-_-_ ; end ;
    end ;
Writeln(x1,n1);
End.

Problème

Notations et objectifs

Partie 1 : expression de la fonction de répartition de Z en fonction de celle de X.

1. Rappeler l'expression des fonctions de répartition d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [a, b] (avec a < b ) et d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ (avec λ > 0 ).
2. En utilisant le système complet d'événements {(Y = 1), (Y = − 1)}, montrer que la fonction de répartition F_Z de la variable aléatoire Z est donnée par :

Partie 2 : étude de deux premiers exemples

1. On suppose que la loi de X est la loi normale centrée réduite. Reconnaître la loi de Z.
2. On suppose que la loi de X est la loi uniforme sur [0, 1].
   a) Déterminer l'expression de F_X(− x) selon les valeurs prises par x.
   b) Déterminer F_Z(x) pour tout réel x, puis reconnaître la loi de Z.

Partie 3 : étude du cas où la loi de X est la loi exponentielle de paramètre 1.

1. a) Montrer que la fonction de répartition F_Z de la variable aléatoire Z est définie par :

2. a) Donner la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)xe^(− x)dx.
   b) Montrer que f_Z est une fonction paire et en déduire l'existence et la valeur de E(Z).
3. a) Donner la valeur de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)x^2 e^(− x)dx.
   b) En déduire l'existence et la valeur de E(Z^2), puis donner la valeur de la variance de Z.
4. a) Déterminer E(X)E(Y) et comparer avec E(Z). Quel résultat retrouve-t-on ainsi ?
   b) Exprimer Z^2 en fonction de X, puis en déduire de nouveau la variance de Z.
5. Soit U et V des variables aléatoires suivant respectivement la loi de Bernoulli de paramètre 1/2 et la loi uniforme sur [ 0,1 [.
   a) On pose Q = − ln(1 − V) et on admet que Q est une variable aléatoire. Déterminer la fonction de répartition de Q et en déduire la loi suivie par la variable aléatoire Q.
   b) On pose R = 2U − 1 et on admet que R est une variable aléatoire. Déterminer R(Ω) et donner la loi suivie par la variable aléatoire R.
   c) Informatique.