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Ecricome Maths approfondies ECS 2011Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2011.

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Mathématiques
Option Scientifique

Mercredi 20 avril 2011 de 8h00 à 12h00

Durée : 4 heures

Candidats bénéficiant de la mesure "Tiers-temps" :
8h00-13h20
Aucun document n'est autorisé.
Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
L'énoncé comporte 8 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.

Ecricome Option Scientifique sujet principal

EXERCICE 1.

Soit n un entier naturel non nul, on considère E = ℝ_n[X] l'espace vectoriel sur ℝ des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Pour tout entier naturel j, on note P^((j)) la dérivée j-ième de P.
On définit la famille de polynômes (P_k)_(0 ⩽ k ⩽ n) par :
P_0(X) = 1 et ∀k ∈ {1, …, n}, P_k(X) = (X(X − k)^(k − 1))/(k!).
  1. (a) Prouver que la famille ( P_0, P_1, …, P_n ) est une base de E.
    (b) Montrer que pour tout entier k appartenant à {1, …n}, on a :
P_k^′(X + 1) = P_(k − 1)(X)
puis, pour tous les entiers k.j vérifiant 1 ⩽ j ⩽ k ⩽ n. donner une relation entre P_k^((j))(X) et P_(k − j)(X − j).
(c) Soit P ∈ E. justifier l'existence d'un (n + 1)-uplet (a_0.a_1, …, a_n) ∈ ℝ^(n − 1) tel que :
P = a_0 P_0 + a_1 P_1 + ⋯ + a_n P_n = ∑_(k = 0)^n a_k P_k
puis établir que :
∀j ∈ {0, 1, …, n}, P^((j))(j) = a_j.
Ainsi on a établi la relation :
∀P ∈ E, P = ∑_(l = 0)^n P^((k))(k)P_k.
  1. On considère l'application u définie sur E par :
∀P ∈ E, u(P)(X) = P^′(X + 1).
(a) Etablir que u est un endomorphisme de E.
(b) Ecrire la matrice A de l'endomorphisme u dans la base ( P_0, P_1, …P_n ) de E.
(c) Déterminer le rang de A ainsi que ses valeurs propres.
(d) La matrice A est-elle diagonalisable ? (Une réponse argumentée est attendue)
3. On définit sur E × E l'application ⟨.,. ⟩par :
∀(P : Q) ∈ E × E. ⟨P, Q⟩ = ∑_(k = 0)^n P^((k))(k)Q^((k))(k)
(a) Démontrer que ⟨,. ⟩définitunproduitscalairesurE.
(b) Justifier que la famille ( P_0, P_1, …, P_n ) est une base orthonormale de E.

EXERCICE 2.

On considère :
  • la fonction φ définie sur ℝ_+^∗ par :
∀t ∈ ℝ_+^∗. φ^(t) = (exp(t) − 1)/t − t(exp(1/t) − 1).
  • la fonction ψ définie sur ℝ_+^∗ par :
∀t ∈ ℝ_+^∗, ψ(t) = t − 1/t − ln(t).
  • U l'ouvert de ℝ^2 défini par :
U = 10, + ∞[^2 = {(x, y) ∈ ℝ^2/x > 0 et y > 0}.
  • f : U → ℝ la fonction définie sur l'ouvert U et à valeurs réelles par :
∀(x, y) ∈ U, f(x, y) = x^y − y^x = exp(yln(x)) − exp(xln(y)).
où exp(s) désigne l'exponentielle du réel s c'est-à-dire que exp(s) = e^s. On admet que f est de classe C^2 sur U.
L'objectif de cet exercice est de prouver que la fonction f n'admet aucun extremum sur U.
  1. Etudier les variations de ψ sur ℝ_+^∗, calculer ψ(1) et préciser le signe de ψ.
  2. Prouver la convergence de la série ∑_(n ⩾ 1)(n − 1)/(n!) et calculer sa somme.
  3. Soit t ∈ ℝ_+^∗. Exprimer la somme ∑_(n = 1)^(+ ∞)(ψ(t^(n − 1)))/(n!) en fonction de φ(t) et ln(t). On admettra la convergence de cette série.
  4. Justifier que :
∀t ∈ ]0, 1[. φ(t) < ln(t), ∀t ∈ ]1, + ∞[, φ(t) > ln(t).
  1. Soit (x.y) ∈ U. Montrer que ( x, y ) est un point critique de f si et seulement si :
{x > 1, y > 1;; ln(x)ln(y) = 1;; y^(x − 1) = x^(y − 1)ln(x).
  1. Soit (x, y) ∈ U un point critique de f. Justifier l'existence d'un réel t ∈ ℝ_+^∗ tel que :
{x = exp(t). y = exp(1/t);; φ(t) = ln(t).
  1. Prouver que (e.e) est l'unique point critique de f.
  2. En comparant les signes des fonctions t ↦ f(e, e + t) et t ↦ f(e + t.e). justifier que f n'admet aucun extremum sur U.

PROBLEME

La partie I consiste à justifier que les variables Y_n = max(X_1…X_n) et Z_n = ∑_(i = 1)^n(X_i)/i possèdent la même loi lorsque (X_1, …, X_n) est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1.
La partie II a pour objectif d'établir que, pour chaque variable aléatoire X possédant une densité f avec f continue sur ℝ_+et f nulle sur ℝ_−^∗. il n'existe aucune variable aléatoire Y à densité dérivable g sur ℝ^∗, nulle sur ℝ_−^∗ et vérifiant g − g^′ = f.
La partie III consistera à étudier les valeurs propres et vecteurs propres de l'application
linéaire introduite à la partie II..
Les parties I, II et III sont largement indépendantes.

PARTIE I. Etude des variables Y_n et Z_n.

Toutes les variables aléatoires considérées ici sont définies sur un même espace probabilisé ( Ω.A.P ).
Soit X une variable aléatoire, rappelons que :
  • F_X désigne sa fonction de répartition définie par : ∀t ∈ ℝ. F_X(t) = P(X ⩽ t).
  • X suit la loi exponentielle de paramètre a ∈ ]0. + ∞[ si et seulement si sa fonction de répartition est définie par :
F_X(t) = {0, si t < 0;; 1 − exp(− at), si t ⩾ 0.
où exp(y) désigne l'exponentielle du réel y c'est-à-dire que : exp(y) = e^y.
On considère une suite (X_n)_(n ∈ ℕ^∗) de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant la même loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout entier naturel n non nul, on note Y_n et Z_n les deux variables aléatoires définies respectivement par:
Y_n, = max(X_1, X_2, …X_n) = max_(1 ⩽ i ⩽ n)X_i.; Z_n, = (X_1)/1 + (X_2)/2 + ⋯ + (X_n)/n = ∑_(i = 1)^n(X_i)/i.
où max(X_1…X_n) désigne le maximum des valeurs de X_1, …X_n.
Pour finir, on désigne par f_n la fonction définie sur ℝ par :
{f_n(t) = 0 si t < 0; f_n(t) = n ⋅ exp(− t)(1 − exp(− t))^(n − 1) si t ⩾ 0.
  1. On considère un tableau X de nombres récls de taille 2011 (c'est-à-dire «X = array[1...2011] of real>>) préalablement rempli.
    (a) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant les réels :
max(X[1], X[2]) et max(X[1], X[2], X[3]).
(b) Ecrire un programme en Pascal calculant et affichant le réel :
max(X[1], X[2], …X[2011]) = max_(1 ⩽ i ⩽ 2011)(X[ij).
  1. (a) Pour tout réel t, exprimer le réel F_(Y_n)(t) à l'aide des réels F_(X_1)(t), …. F_(X_n)(t).
    (b) Pour tout réel t, donner alors l'expression de F_(Y_n)(t) en fonction de n et t en distinguant le cas t < 0 et le cas t ⩾ 0.
    (c) Vérifier alors que la fonction f_n est une densité de probabilité de la variable aléatoire Y_n.
  2. (a) Préciser la fonction de répartition de la variable aléatoire (N_(n + 1))/(n + 1).
    (b) Démontrer que (X_(n + 1))/(n + 1) est une variable aléatoire à densité et proposer une densité d_(n + 1).
  3. Pour tout réel x. vérifier que : ∫_0^r n ⋅ exp(nt)(1 − exp(− t))^(n − 1)dt = (exp(r) − 1)^n.
  4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul. Z_‖est une variable aléatoire à densité dont f_n est une densité. Indication : Pour l'hérédité, on remarquera que Z_(n + 1) = Z_n + (X_(n + 1))/(n + 1).

PARTIE II. Existence et unicité de la solution d'une équation différentielle.

On désigne par E l'ensemble des fonctions f continues de [ 0. + ∞ [ dans ℝ telles que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)|f(t)|dt converge. On admet que E est un ℝ-espace vectoriel.
Pour toute fonction f appartenant à E. on considère l'équation différentielle
(D_f) : y − y^′ = f
dont l'inconnue est la fonction y : ℝ_+ → ℝ qui est dérivable sur ℝ_+. On fixe dans cette partie une fonction f appartenant à E. Pour tout réel positif x. on note :
k_f(x) = exp(x)∫_x^(+ ∞)exp(− t)f(t)dt
  1. Soient φ, ψ deux fonctions appartenant à E, dérivables sur ℝ_+et vérifiant l'équation ( D_f ). On introduit la fonction h définie sur ℝ_+par:
∀x ∈ ℝ_+. h(x) = (φ(x) − v(x))exp(− x)
(a) Prouver que la fonction h est constante sur ℝ_+.
(b) En utilisant le fait que la fonction φ − ψ appartient à E, montrer que ρ = ψ.
Nous avons ainsi établi qu'il existe au plus une solution dans E à P'équation ( D_j ) lorsque f ∈ E.
2. Pour tout réel positif x. justifier la convergence de l'intégrale ∫_x^(+ ∞)exp(− t)f(t)dt.
3. Etablir que la fonction k_f : x ↦ exp(x)∫_x^(+ ∞)exp(− t)f(t)dt est dérivable sur ℝ_+et que :
∀x ∈ ℝ_+. k_f(x) − k_f^′(x) = f(x).
  1. On suppose uniquement dans cette question que f est à valeurs dans ℝ_+ c'est-à-dire que :
∀x ∈ ℝ_+, f(x) ⩾ 0.
(a) Vérifier les relations suivantes:
(α) :, ∀x ∈ ℝ_+,; (β) :, ∀A ∈ k_f(x) ⩽ ℝ_+^(+ ∞)f(t)dt; ∫_0^A k_f(x)dx = k_f(A) − k_f(0) + ∫_0^A f(x)dx
(b) Prouver que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)k_f(x)dx converge et que:
∫_0^(+ ∞)k_f(x)dx = ∫_0^(+ ∞)(1 − exp(− x))f(x)dx
  1. On revient au cas général où f : ℝ_+ → ℝ prend des valeurs non nécessairement positives.
    Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)|k_f(x)|dx converge.
  2. Soit X une variable aléatoire possédant une densité f avec f continue sur ℝ_+et f nulle sur ℝ_−^∗.
    Justifier qu'il n'existe aucune densité g dérivable sur ℝ^∗, nulle sur ℝ_−^∗ et vérifiant g − g^′ = f sur ℝ_+.

PARTIE III. Etude de l'application f ↦ k_f.

A la partie II, on a établi que si f appartient à E. il existe une unique fonction
k_f : x ↦ exp(x)∫_x^(+ ∞)exp(− t)f(t)dt
appartenant à E telle que :
k_f − k_f^′ = f.
On considère alors l'application φ définie sur E par :
∀f ∈ E. p(f) = k_f.
  1. Etablir que φ est un endomorphisme de E.
Définition : On dit que le réel λ est valeur propre de r¯ s'll existe une fonction f de E non identiquement nulle telle que τ(f) = λf. On dit que f est un vecteur propre de φ associé à la valeur propre λ et on appelle sousespace propre de φ associé à λ l'espace vectoriel
E_λ(φ) = {f ∈ E telle que γ(f) = λf}
La suite de cette partie est consacrée à la détermination des valeurs propres et des vecteurs propres de φ.
2. Pour tout réel a > 0. on considère la fonction f_a définie sur ℝ_+par :
∀x ∈ ℝ_+; f_a(x) = exp(− ax).
Vérifier que f_a appartient à E, que f_a est un vecteur propre de φ et préciser la valeur propre associée.
3. Soit λ une valeur propre de p et f ∈ E un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
(a) Montrer que λ est nécessairement non nul.
(b) Etablir que f est dérivable et vérifie l'équation différentielle : f^′ = (1 − 1/λ)f.
(c) Pour tout réel positif x. donner l'expression de f(x) en fonction de λ. x et dune certaine constante.
(d) Montrer que λ ∈ ]0, 1[.
4. Préciser l'ensemble Sp(φ) des valeurs propres de φ et, pour chaque valeur propre λ de φ. proposer une base de l'espace propre E_λ(φ).

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