Ecricome Maths approfondies ECS 2012Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2012

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Présentation du sujet

Point fixe d'une intégrale à paramètre, matrices idempotentes et suite associée, urnes gigognes et polynômes

Le sujet comprend deux exercices indépendants et un problème. Le premier exercice étudie une fonction définie par une intégrale à paramètre, montre l'existence et l'unicité d'un point fixe, puis établit sa dérivabilité et une expression logarithmique liée. Le deuxième étudie, pour une matrice vérifiant A(A-I)=0, la décomposition en somme de noyaux, puis une suite de matrices convergeant vers une matrice idempotente associée.

1Exercice 1 : point fixe d'une fonction définie par une intégrale à paramètreÉtudier la convergence et la monotonie d'une fonction f définie par une intégrale à paramètre, montrer l'existence d'un unique point fixe, construire une suite convergeant vers ce point fixe (avec un algorithme Turbo-Pascal), puis établir la dérivabilité de f et une expression logarithmique liée.
2Exercice 2 : matrices vérifiant A(A-I)=0 et suite de matrices associéeDécomposer l'espace en somme directe des noyaux de f et de f moins l'identité pour une matrice idempotente, puis étudier par récurrence une suite de matrices construite à partir d'une matrice vérifiant une relation de nilpotence itérée, convergeant vers une matrice idempotente.
3Problème, Partie I : étude de deux endomorphismesÉtudier deux endomorphismes réciproques l'un de l'autre sur l'espace des polynômes de degré au plus n, liés à une intégrale et une dérivée, et montrer qu'ils sont diagonalisables.
4Problème, Partie II : étude d'une suite de variables aléatoires (urnes gigognes)Modéliser un jeu de tirages successifs dans des urnes numérotées, établir des relations de récurrence sur les probabilités, en déduire l'espérance et la variance de la variable aléatoire donnant le numéro tiré à chaque étape.
5Problème, Partie III : loi de chacune des variables aléatoiresExpliciter la loi de chaque variable aléatoire à l'aide des résultats des parties I et II, et étudier la convergence de la série des probabilités associée.

Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2012.

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EXERCICE 1.

Soient

x \in ℝ_+

a \in ℝ_+^*

, on pose :

f(x) = \int_0^(+ \infty)(dt)/(x + e^t), g(x) = \int_0^(+ \infty)(dt)/((x + e^t)^2), I_a = \int_0^(+ \infty)e^(- at)dt

Soit $a \in ℝ_+^*$ . Justifier que l'intégrale $I_a$ converge et donner sa valeur.

Soit

x \in ℝ_+

. Justifier que l'intégrale

f(x)

converge.
Dans la suite de l'exercice, on admettra que l'intégrale

g(x)

converge.
2. Etablir que:

\forallx \in ℝ_+, \forallt \in ℝ_+, 2\sqrt(xe^t) ⩽ x + e^t

puis que :

\forallx \in ℝ_+^*, 0 ⩽ f(x) ⩽ 1/(\sqrtx)

Soient $x, y \in ℝ_+$ tels que $x < y$ . Etablir que : $0 < f(x) - f(y) ⩽ (y - x)/2$ .
Montrer que $f$ réalise une bijection continue strictement décroissante de $ℝ_+$ sur $]0, 1]$ .
Prouver que l'équation $f(x) = x$ admet une unique solution sur $ℝ_+$ . On note $α$ cette solution. Justifier que $α \in ]0, 1]$ .
On considère la suite $(u_n)_(n ⩾ 0)$ définie par : $u_0 = 0, \foralln \in ℕ, u_(n + 1) = f(u_n)$ .
(a) Etablir que: $\foralln \in ℕ, |α - u_n| ⩽ 1/(2^n)$ . En déduire la limite de $(u_n)_(n ⩾ 0)$ .
(b) On suppose qu'une fonction ECRICOME est déjà écrite en TurboPascal qui à un réel $x$ donné renvoie le réel $f(x)$ .
A l'aide de la fonction ECRICOME, écrire une fonction (ou procédure) SUITE en Turbo-Pascal qui, à un réel $ε > 0$ fourni par l'utilisateur, calcule le premier entier $N$ tel que $1/(2^N) ⩽ ε$ et renvoie la valeur de $u_N$ correspondante.
Soient $x \in ℝ_+^*$ et $h \in ℝ$ tel que $x + h \in ℝ_+^*$ . Démontrer que :

|f(x + h) - f(x) + hg(x)| ⩽ (h^2)/3

Justifier que

f

est dérivable sur

ℝ_+^*

avec:

\forallx \in ℝ_+^*, f^'(x) = - g(x)

On considère la fonction $T$ définie sur $ℝ_+^*$ par : $\forallx \in ℝ_+^*, T(x) = xf(x)$ . Justifier que :

\forallx \in ℝ_+^*, T^'(x) = 1/(1 + x) puis que : \forallx \in ℝ_+^*, T(x) = ln(1 + x).

EXERCICE 2.

Pour tout entier naturel

n

non nul, on note :

$𝔐_n(ℝ)$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients réels;
$I_n$ la matrice identité de $𝔐_n(ℝ)$ et $0_n$ la matrice nulle de $𝔐_n(ℝ)$ .

Une matrice

W \in 𝔐_n(ℝ)

est dite nilpotente s'il existe

q \in ℕ^*

tel que

W^q = 0_n

.
On admettra que si

U, V

sont deux matrices de

𝔐_n(ℝ)

qui commutent alors :

$U^k$ et $V^q$ commutent pour tous entiers $k$ et $q$ ;
$U^(- 1)$ commute avec $V$ lorsque $U$ est inversible.

Deux résultats préliminaires.
(a) Soit $U \in 𝔐_n(ℝ)$ et $q \in ℕ^*$ tel que $U^q = 0_n$ .

Prouver que

I_n - U

est inversible et que

(I_n - U)^(- 1) = \sum_(k = 0)^(q - 1)U^k

.
(b) Soit

A \in 𝔐_n(ℝ)

telle que

A(A - I_n) = 0_n

. On désigne par

f

l'endomorphisme de

ℝ^n

dont la matrice dans la base canonique de

ℝ^n

est

A

Soit

x \in ℝ^n

. Vérifier que

x - f(x) \in ker(f)

f(x) \in ker(f - Id)

puis établir que

ℝ^n = ker(f) \oplus ker(f - Id)

. L'endomorphisme

f

est-il diagonalisable?
2. Etude d'une suite de matrices. Soient

B \in 𝔐_n(ℝ)

N \in ℕ^*

tels que :

(B(B - I_n))^N = 0_n.

On introduit la suite

(B_k)_(k \in ℕ)

de matrices de

𝔐_n(ℝ)

définie par :

B_0 = B \in 𝔐_n(ℝ) et \forallk \in ℕ, B_(k + 1) = (B_k)^2(2B_k - I_n)^(- 1).

On considère pour tout entier

k ⩾ 0

la proposition

$(H_k):≪2B_k - I_n$ est inversible, il existe $C_k, D_k \in 𝔐_n(ℝ)$ tels que $B_k - B = [B(B - I_n)]C_k$ , et $B_k(B_k - I_n) = [B(B - I_n)]^(2^k)D_k$ avec $B_k B = BB_k, C_k B = BC_k$ et $D_k B = BD_k$ »
(a) Justifier que $I_n - (2B - I_n)^2$ est nilpotente et que $2B - I_n$ est inversible. En déduire que la propriété ( $H_0$ ) est vraie.
(b) On suppose la propriété $(H_k)$ vraie pour un entier $k ⩾ 0$ . Montrer que:

2B_(k + 1) - I_n, = [I_n + 2B_k(B_k - I_n)] \times [2B_k - I_n]^(- 1); B_(k + 1) - B, = [(B_k - B)^2 - (B^2 - B)] \times [2B_k - I_n]^(- 1); B_(k + 1)(B_(k + 1) - I), = [B_k(B_k - I_n)(2B_k - I)^(- 1)]^2

En déduire que la propriété (

H_(k + 1)

) est vraie.
(c) Prouver l'existence d'un entier

p

tel que :

B_p(B_p - I_n) = 0_n

Etablir que la matrice

B_p

est diagonalisable, que la matrice

B - B_p

est nilpotente et que :

\forallk ⩾ p, B_(k + 1) = B_k

PROBLEME.

L'objectif du problème est d'étudier une suite de variables aléatoires

(Z_k)_(k \in ℕ)

. Les deux premières parties sont indépendantes et la troisième utilise certains résultats obtenus dans les deux premières parties. La partie

I

est consacrée à l'étude de deux endomorphismes sur

ℝ_n[X]

. La partie II consiste à calculer l'espérance et la variance de

Z_k

ainsi qu'à calculer la somme

\sum_(k = 0)^(+ \infty)P(Z_k = r)

sous réserve de convergence. La partie III fournira la loi de

Z_k

ainsi que l'étude de la convergence de la série

\sum_(k ⩾ 0)P(Z_k = r)

Partie I: Etude de deux endomorphismes.

Soit

n

un entier naturel. On note

ℝ_n[X]

l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré au plus

n

. Pour tout entier

k \in {0, 1, \dotsn}

, on désigne par

e_k

le polynôme de

ℝ_n[X]

défini par :

e_k = X^k

Rappelons que (

e_0, e_1, \dots, e_n

) est une base de

ℝ_n[X]

. Si

P \in ℝ_n[X]

, on définit les fonctions

f(P)

g(P)

par:

∀x ∈ ℝ∖{1}, f(P)(x) = 1/(x − 1)∫_1^x P(t)dt et f(P)(1) = P(1); ∀x ∈ ℝ, g(P)(x) = [(X − 1)P]^′(x) = (x − 1)P^′(x) + P(x)

Prouver que $g$ est un endomorphisme de $ℝ_n[X]$ .
Soit $P \in ℝ_n[X]$ . Calculer $f(g(P))$ puis justifier que $ker(g) = {0}$ .
Démontrer que $g$ est un isomorphisme, que $g^(- 1) = f$ et que $f$ est un endomorphisme de $ℝ_n[X]$ .
Ecrire la matrice $A$ de $f$ dans la base ( $e_0, e_1, \dots, e_n$ ) ainsi que la matrice $B$ de $g$ dans cette même base.
Montrer que $f$ et $g$ sont diagonalisables.

Partie II : Etude d'une suite de variables aléatoires.

Soit

n

un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On dispose de

n + 1

urnes notées

U_0, U_1\dots, U_n

et on suppose que

\foralli \in {0, .., n}

, l'urne

U_i

contient

i + 1

boules numérotées

0, 1, \dots, i

. On s'intéresse au jeu suivant :

au premier tirage, on pioche une boule dans l'urne $U_n$ . Si la boule porte le numéro $r$ alors on repose la boule dans l'urne $U_n$ puis le tirage suivant seffectue dans l'urne $U_r$ .
Plus généralement, pour tout entier $k$ non nul, si la boule numéro $s$ a été piochée au $k$ -ième tirage dans une certaine urne, on repose cette boule dans la même urne puis on effectue le ( $k + 1$ )-ième tirage dans l'urne $U_s$ .
Pour tout entier naturel $k$ , on note:
$Z_k$ est la variable aléatoire égale au numéro de la boule piochée au $k$ -ième tirage. On convient que $Z_0 = n$ .
$F_k$ est le polynôme de $ℝ_n[X]$ défini par: $\forallx \in ℝ, F_k(x) = \sum_(r = 0)^n P(Z_k = r)x^r$ .
$E(Z_k)$ l'espérance de la variable $Z_k$ .

A l'aide de la formule des probabilités totales, prouver que :

∀k ∈ ℕ, ∀r ∈ {0, 1, …, n}, P(Z_(k + 1) = r) = ∑_(i = r)^n(P(Z_k = i))/(i + 1).

Etablir les deux formules suivantes valables pour tous entiers $k \in ℕ$ et $r \in {0, 1, .., n - 1}$

{(R_1) : (n + 1)P(Z_(k + 1) = n) = P(Z_k = n); (R_2) : (r + 1)P(Z_(k + 1) = r) − (r + 1)P(Z_(k + 1) = r + 1) = P(Z_k = r)

On admet dans cette question que la série $\sum_(k ⩾ 0)P(Z_k = r)$ converge pour tout $r \in {1, .., n}$ et on pose $S_r = \sum_(k = 0)^(+ \infty)P(Z_k = r)$ .

En sommant les relations (

R_1

) sur tous les entiers

k \in ℕ

, donner la valeur de

S_n

.
En sommant les relations

(R_2)

sur tous les entiers

k \in ℕ

, donner la valeur de

S_(n - 1)

et montrer que la suite

(rS_r)_(1 ⩽ r ⩽ n - 1)

est constante.
4. Soit

k \in ℕ

. Démontrer la relation

(S) : \forallx \in ℝ, (x - 1)F_(k + 1)^'(x) + F_(k + 1)(x) = F_k(x)

(a) Soit $k \in ℕ$ . Etablir que $F_k^'(1) = E(Z_k)$ et $F_k^('')(1) = E(Z_k(Z_k - 1))$ .
(b) En dérivant une fois puis deux fois la relation $(S)$ , donner la relation de récurrence vérifiée par la suite $(F_k^'(1))_(k \in ℕ)$ ainsi que la relation de récurrence vérifiée par la suite $(F_k^('')(1))_(k \in ℕ)$ .
(c) Donner la valeur de $F_k^'(1)$ et de $F_k^('')(1)$ en fonction de $k$ et $n$ . Expliciter alors la variance $V(Z_k)$ de $Z_k$ en fonction de $k$ et $n$ .

Partie III : Loi de chacune de ces variables aléatoires.

On reprend toutes les notations des parties

I

II

et on pourra admettre tous les résultats établis dans ces deux parties. Rappelons également qu'à la question II. 4 la relation (

S

) est démontrée ce qui revient à écrire :

\forallk \in ℕ, g(F_(k + 1)) = F_k.

Pour finir, pour tout entier

k \in {0, 1, .., n}

on désigne par

u_k

le polynôme de

ℝ_n[X]

définie par :

u_k = (X - 1)^k.

Montrer que: $\forallk \in ℕ, \sum_(r = 0)^n P(Z_k = r)e_r = F_k = f^k(e_n)$ .
Prouver que ( $u_0, u_1, .., u_n$ ) est une base de $ℝ_n[X]$ .
Calculer $f(u_r)$ pour $r \in {0, 1, \dots, n}$ . Retrouver ainsi que $f$ est diagonalisable.
Justifier que : $e_n = \sum_(r = 0)^n(n/r)u_r$ et que: $∀r ∈ {0.1…n}. u_r = ∑_(j = 0)^r(− 1)^(r − j)(r/j)e_j$ .
Démontrer que : $\forallk \in ℕ, f^k(e_n) = \sum_(r = 0)^n((n/r))/((r + 1)^k)u_r$ .
Soient $k \in ℕ$ et $j \in {0, 1, .., n}$ . A l'aide des questions précédentes, établir que :

P(Z_k = j) = \sum_(r = j)^n(- 1)^(r - j)((n/r)(r/j))/((r + 1)^k).

Application.
(a) Soit $j \in {0, 1, \dots, n}$ . Déterminer un réel $M_(j, n)$ tel que :

\forallk \in ℕ, |P(Z_k = j)| ⩽ (M_(n, j))/((j + 1)^k)

puis justifier que la série

\sum_(k ⩾ 0)P(Z_k = j)

converge lorsque

j \in {1, .., n}

.
(b) Déterminer un réel

C_n

tel que:

\forallk \in ℕ, |P(Z_k = 0) - 1| ⩽ (C_n)/(2^k)

La série

\sum_(k ⩾ 0)P(Z_k = 0)

est-elle convergente?

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies Ecricome ECS 2012 ?

Il porte sur les intégrales à paramètre et les suites récurrentes, l'algèbre linéaire (matrices idempotentes, diagonalisation) et les probabilités discrètes à travers un modèle d'urnes gigognes.

Les exercices de ce sujet sont-ils indépendants du problème ?

Oui, les deux exercices sont indépendants entre eux et du problème, qui est lui-même organisé en trois parties, les deux premières indépendantes et la troisième utilisant leurs résultats.

Ce sujet demande-t-il de programmer en Turbo-Pascal ?

Oui, l'exercice 1 demande d'écrire une procédure en Turbo-Pascal calculant une approximation du point fixe étudié.

Le problème porte-t-il sur les probabilités ?

Oui, le problème étudie un jeu de tirages successifs dans des urnes numérotées et détermine la loi, l'espérance et la variance du numéro tiré à chaque étape.

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