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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2015Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2015

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Endomorphismes de polynômes s'annulant en 0 et 4 avec produit scalaire associé (problème 1) et transformée de Laplace (problème 2)
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Le sujet comporte deux problèmes indépendants. Le problème 1 étudie l'espace E des polynômes de degré au plus 4 s'annulant en 0 et 4, un endomorphisme f construit à partir de l'opérateur de différence finie, puis un produit scalaire sur R4[X] et la projection orthogonale sur E. Le problème 2 construit la transformée de Laplace L(u) d'une fonction u à croissance polynomiale, étudie ses propriétés (limites, dérivée d'une transformée, transformée d'une dérivée) puis l'applique à la résolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre.

  1. 1Problème 1, partie I : étude d'endomorphismesConstruction de l'isomorphisme φ entre R2[X] et E, de l'endomorphisme de différence finie Δ sur R2[X], puis de l'endomorphisme f = φ∘Δ∘φ⁻¹ sur E, dont on étudie la nilpotence, le noyau, l'image et la diagonalisabilité.
  2. 2Problème 1, partie II : étude d'un produit scalaireDéfinition d'un produit scalaire sur R4[X] par évaluation en 0,1,2,3,4, construction d'une base orthonormée de E à partir des polynômes de Lagrange, et calcul de la projection orthogonale sur E.
  3. 3Problème 2, parties I à III : transformée de LaplaceDéfinition de la transformée de Laplace L(u) pour u à croissance polynomiale, calcul sur des exemples (exponentielles, monômes), étude des limites en 0 et en l'infini, de la transformée d'une dérivée et de la dérivabilité de L(u).
  4. 4Problème 2, partie IV : application à une équation fonctionnelleRésolution d'une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre exponentiel, par passage à la transformée de Laplace.

Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2015.

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1^(ère) épreuve (option scientifique)

MATHÉMATIQUES

Mardi 28 avril 2015 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLÈME 1

Dans tout le problème, on confond polynôme et application polynomiale de ℝ dans ℝ.
On note, pour tout k de ℕ, ℝ_k[X] le sous-espace vectoriel de ℝ[X] formé des polynômes de degré inférieur ou égal à k.
On définit l'ensemble E = {P ∈ ℝ_4[X]; P(0) = P(4) = 0} et le polynôme W = X(X − 4).

Partie I: Étude d'endomorphismes

  1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel ℝ_4[X].
Pour tout polynôme Q de ℝ_2[X], on note φ(Q) = WQ.
2. Montrer que l'application φ : Q ⟼ WQ est un isomorphisme de ℝ_2[X] sur E.
3. En déduire une base de E et la dimension de E.
Pour tout polynôme Q de ℝ_2[X], on considère le polynôme Δ(Q) défini par :
Δ(Q) = Q(X + 1) − Q(X).
Ainsi, par exemple, si Q = X^2 − 3X + 5, alors
Δ(Q) = ((X + 1)^2 − 3(X + 1) + 5) − (X^2 − 3X + 5) = 2X − 2.
  1. a. Montrer que l'application Δ est un endomorphisme de ℝ_2[X].
    b. Déterminer, pour tout polynôme Q de ℝ_2[X], le degré de Δ(Q) en fonction du degré de Q.
    c. Déterminer le noyau et l'image de △ .
    d. Établir : Δ ∘ Δ ∘ Δ = 0.
On définit l'endomorphisme f de E suivant : f = φ ∘ Δ ∘ φ^(− 1), où φ^(− 1) désigne l'application réciproque de l'application φ.
5. a. Montrer : f ∘ f ∘ f = 0.
b. Déterminer une base du noyau de f et une base de l'image de f.
c. Démontrer que f admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci. Donner une base et la dimension du sous-espace propre pour f associé à cette valeur propre.
d. Est-ce que f est diagonalisable ?

PARTIE II : Étude d'un produit scalaire

On considère l'application ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ de ℝ_4[X] × ℝ_4[X] dans ℝ définie par :
∀(P_1, P_2) ∈ ℝ_4[X] × ℝ_4[X], ⟨P_1, P_2⟩ = ∑_(k = 0)^4 P_1(k)P_2(k)
  1. Montrer que ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ est un produit scalaire sur ℝ_4[X].
On munit dorénavant ℝ_4[X] de ce produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ et de la norme associée ‖. ‖.
On considère les trois polynômes suivants :
L_1 = (X − 2)(X − 3), L_2 = (X − 1)(X − 3), L_3 = (X − 1)(X − 2).
  1. Montrer que la famille ( L_1, L_2, L_3 ) est une base de ℝ_2[X].
  2. a. Exprimer, pour tout polynôme P de ℝ_2[X], les coordonnées de P dans la base ( L_1, L_2, L_3 ) en fonction de P(1), P(2), P(3).
    b. Exprimer Δ(L_1), Δ(L_2), Δ(L_3) sur la base (L_1, L_2, L_3) de ℝ_2[X] et en déduire que la matrice de l'endomorphisme Δ dans la base (L_1, L_2, L_3) de ℝ_2[X] est (− 1, − 1/2, 0; 0, − 1, − 2; 1, 3/2, 2).
    On note, pour tout i de {1, 2, 3}, M_i = WL_i.
  3. a. Montrer que, pour tout i de {1, 2, 3}, M_i(i) est non nul.
On note alors, pour tout i de {1, 2, 3}, N_i = 1/(M_i(i))M_i.
b. Montrer que ( N_1, N_2, N_3 ) est une base orthonormée du sous-espace vectoriel E de ℝ_4[X].
10. Déterminer la matrice de l'application linéaire φ dans les bases ( L_1, L_2, L_3 ) de ℝ_2[X] et (N_1, N_2, N_3) de E.
11. Déterminer la matrice de l'endomorphisme f dans la base ( N_1, N_2, N_3 ) de E.
12. On note, pour tout polynôme P de ℝ_4[X] : u(P) = ∑_(i = 1)^3 P(i)N_i.
a. Montrer que u est un endomorphisme de ℝ_4[X].
b. Montrer : ∀P ∈ ℝ_4[X], ∀j ∈ {1, 2, 3}, ⟨P − u(P), N_j⟩ = 0.
c. En déduire que u est la projection orthogonale sur E.
d. Déterminer le projeté orthogonal de Q = X^2(X − 2)(X − 3) sur E.

PROBLÈME 2

Dans tout le problème, on note E l'ensemble des fonctions u : ℝ^+ ⟶ ℝ continues sur ℝ^+vérifiant :
il existe p ∈ ℕ tel que : lim_(t → + ∞)(u(t))/(t^p) = 0.
On remarquera que l'entier p dépend a priori de la fonction u considérée.

Partie I: Définition de la transformée de Laplace

  1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel du ℝ-espace vectoriel des fonctions définies sur ℝ^+et à valeurs dans ℝ.
  2. Soit u un élément de E.
Montrer, pour tout x ∈ ]0; + ∞[ : lim_(t → + ∞)t^2 u(t)e^(− xt) = 0.
En déduire que, pour tout x ∈ ]0; + ∞[, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)u(t)e^(− xt) dt est convergente.
Dans toute la suite du problème, pour tout élément u de E, on définit la fonction L(u) sur ]0; + ∞[ par :
∀x ∈ ]0; + ∞[, L(u)(x) = ∫_0^(+ ∞)u(t)e^(− xt) dt
  1. Montrer, pour tout α ∈ ℝ et pour tout (u, v) ∈ E^2 : L(αu + v) = αL(u) + L(v).

Partie II : Quelques exemples

  1. Soit a ∈ ℝ^(+ ∗) fixé. On considère, pour tout i de {0, 1, 2}, la fonction v_i : ℝ^+ ⟶ ℝ définie par :
∀t ∈ ℝ^+, v_i(t) = t^i e^(− at)
Pour tout i de {0, 1, 2}, montrer que la fonction v_i appartient à E et, en utilisant par exemple des résultats sur la loi exponentielle, calculer, pour tout x ∈ ]0; + ∞[, L(v_i)(x).
5. Soit n ∈ ℕ fixé. On considère la fonction w_n : ℝ^+ ⟶ ℝ définie par : ∀t ∈ ℝ^+, w_n(t) = t^n.
Montrer que la fonction w_n appartient à E et montrer, pour tout x ∈ ]0; + ∞[ : L(w_n)(x) = (n!)/(x^(n + 1)).

Partie III : Propriétés des transformées de Laplace

  1. Limite de L(u) en + ∞
Soit u un élément de E. Justifier qu'il existe p ∈ ℕ et A, M ∈ ℝ^+tels que :
∀t ∈ [A; + ∞[, |u(t)| ⩽ t^p et ∀t ∈ [0; A], |u(t)| ⩽ M.
Établir : ∀t ∈ ℝ^+, |u(t)| ⩽ M + t^p. En déduire : lim_(x → + ∞)L(u)(x) = 0.
7. Limite de L(u) en 0
Soit u un élément de E tel que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)u(s)ds converge.
On note, pour tout t de ℝ^+, R(t) = ∫_t^(+ ∞)u(s)ds.
a. Déterminer la limite en + ∞ de R. Montrer que R appartient à E.
b. Montrer que R est de classe C^1 sur ℝ^+et : ∀t ∈ ℝ^+, R^′(t) = − u(t).
c. En déduire : ∀x ∈ ]0; + ∞[, L(u)(x) = R(0) − xL(R)(x).
d. Soit ε ∈ ]0; + ∞ [. Justifier qu'il existe B ∈ [0; + ∞[ tel que : ∀t ∈ [B; + ∞[, |R(t)| ⩽ ε/2. En déduire : ∀x ∈ ]0; + ∞[, |L(u)(x) − R(0)| ⩽ x∫_0^B|R(t)|dt + ε/2.
e. Conclure : lim_(x → 0)L(u)(x) = ∫_0^(+ ∞)u(t)dt.

8. Transformée de Laplace d'une dérivée

Soit u : ℝ^+ ⟶ ℝ une fonction de classe C^1 sur ℝ^+telle que u^′ ∈ E.
a. Montrer qu'il existe p ∈ ℕ et A ∈ [0; + ∞[ tels que : ∀t ∈ [A; + ∞[, |u(t)| ⩽ |u(A)| + (t^(p + 1))/(p + 1).
b. En déduire que u appartient à E.
c. Établir : ∀x ∈ ]0; + ∞[, L(u^′)(x) = − u(0) + xL(u)(x).

9. Dérivée puis dérivée n-ième d'une transformée de Laplace

Soit u un élément de E. On considère, pour tout n de ℕ^∗, la fonction u_n : ℝ^+ ⟶ ℝ définie par :
∀t ∈ ℝ^+, u_n(t) = t^n u(t)
a. Montrer que, pour tout n de ℕ^∗, la fonction u_n appartient à E.
b. Montrer : ∀a ∈ ℝ, |e^a − 1 − a| ⩽ (a^2)/2e^(|a|).
c. Soient x ∈ ]0; + ∞[ et h ∈ ℝ^∗ tel que |h| ⩽ x/2.
Montrer : ∀t ∈ [0; + ∞[, |(e^(− (x + h)t) − e^(− xt))/h + te^(− xt)| ⩽ |h|(t^2)/2e^(− xt/2).
En déduire : |(L(u)(x + h) − L(u)(x))/h + L(u_1)(x)| ⩽ (|h|)/2∫_0^(+ ∞)t^2|u(t)|e^(− xt/2) dt.
d. Montrer que L(u) est dérivable sur ]0; + ∞[ et exprimer (L(u))^′ à l'aide de L(u_1).
e. Montrer que L(u) est de classe C^∞ sur ]0; + ∞[ et exprimer, pour tout n de ℕ^∗, (L(u))^((n)) à l'aide de L(u_n).

Partie IV: Application à la résolution d'une équation fonctionnelle

Dans cette partie, on cherche à déterminer une fonction u : ℝ^+ ⟶ ℝ de classe C^2 sur ℝ^+vérifiant :
∀t ∈ ℝ^+, u^(′′)(t) + 5u^′(t) + 6u(t) = e^(− t) et u(0) = 1 et u^′(0) = − 2.
  1. On suppose qu'il existe une fonction u : ℝ^+ ⟶ ℝ de classe C^2 sur ℝ^+, solution du problème et telle que u^(′′) ∈ E.
    a. Montrer que u appartient à E et : ∀x ∈ ]0; + ∞[, L(u^(′′))(x) = − xu(0) − u^′(0) + x^2 L(u)(x).
    b. En déduire: ∀x ∈ ]0; + ∞[, (x^2 + 5x + 6)L(u)(x) = 1/(x + 1) + 3 + x, puis : ∀x ∈ ]0; + ∞[, L(u)(x) = 1/21/(x + 1) + 1/21/(x + 3).
  2. En déduire une fonction u : ℝ^+ ⟶ ℝ solution du problème posé.

- FIN -

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques approfondies EMLyon ECS 2015 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques approfondies EMLyon ECS 2015 ?

Le problème 1 porte sur l'algèbre linéaire (endomorphismes, produit scalaire, projection orthogonale) appliquée à des espaces de polynômes. Le problème 2 porte sur les intégrales impropres et la transformée de Laplace, avec une application aux équations différentielles.

Les deux problèmes sont-ils indépendants ?

Oui, le problème 1 sur les endomorphismes de polynômes et le problème 2 sur la transformée de Laplace sont indépendants.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour le problème 2 ?

Il faut maîtriser les intégrales impropres à paramètre, la convergence dominée par comparaison, ainsi que la résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.

Pas de description pour le moment