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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2013Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2013

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Mathématiques approfondies Emlyon 2013 : fonction définie par une intégrale, densité de probabilité et matrices de rang 1
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Ce sujet ECS comporte deux problèmes. Le premier étudie une fonction f définie par une intégrale impropre, sa dérivabilité, une expression alternative à l'aide d'une fonction auxiliaire, puis une densité de probabilité construite à partir de f. Le second étudie la trace d'une matrice carrée, caractérise les matrices de rang 1 comme produits d'une colonne par une ligne, relie cette caractérisation à l'indépendance de deux variables aléatoires, puis construit un produit scalaire et un endomorphisme de projection sur l'espace des matrices carrées.

  1. 1Problème 1, partie I : étude asymptotique de fOn étudie la convergence de l'intégrale définissant f et son comportement aux bornes, avec un équivalent en plus l'infini.
  2. 2Problème 1, partie II : dérivabilité et fonction auxiliaireOn montre que f est de classe C2, on établit une équation la reliant à sa dérivée, puis on l'exprime à l'aide d'une fonction auxiliaire g liée à l'exponentielle intégrale.
  3. 3Problème 1, partie III : étude d'une densitéOn construit une densité de probabilité à partir de f et on calcule l'espérance de la variable aléatoire associée.
  4. 4Problème 2, partie I et II : exemple et traceOn étudie un exemple de matrice de rang 1 diagonalisable, puis les propriétés de linéarité et d'invariance par produit de la trace d'une matrice carrée.
  5. 5Problème 2, parties III à VI : matrices de rang 1, probabilités et projectionOn caractérise les matrices de rang 1 comme produits colonne-ligne, on relie cette caractérisation à l'indépendance de deux variables aléatoires, on étudie leur diagonalisation, puis on construit un produit scalaire sur les matrices carrées et un endomorphisme de projection symétrique.

Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2013.

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BOR

BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

Concepteur : EMLYON Business School

1^(ère) épreuve (option scientifique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril 2013 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLÈME 1

Partie I: Étude d'une fonction f définie par une intégrale
  1. Montrer que, pour tout x ∈ ]0; + ∞[, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/(x + t) dt converge.
On note f : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout x ∈ ]0; + ∞[ par : f(x) = ∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/(x + t) dt.
2. Montrer : ∀x ∈ ]0; + ∞[, f(x) ⩾ ∫_0^1(e^(− 1))/(x + t) dt. En déduire : f(x) ⟶ _(x → 0^+) + ∞.
3. Montrer : ∀x ∈ ]0; + ∞[, 0 < f(x) ⩽ 1/x. En déduire : f(x) ⟶ _(x → + ∞)0.
4. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)te^(− t) dt converge et que :
∀x ∈ ]0; + ∞[, |f(x) − 1/x| ⩽ 1/(x^2)∫_0^(+ ∞)te^(− t) dt.
En déduire : f(x) ∼ _(x → + ∞)1/x.
Partie II : Une autre expression intégrale de f

A - Dérivabilité et expression de la dérivée de f sous forme d'une intégrale

  1. Soit (x, h) ∈ ]0; + ∞[ × ℝ^∗ tel que h > − x/2.
    a. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/((x + t)^2) dt converge.
    b. Établir : ∀t ∈ [0; + ∞[, |1/h(1/(x + h + t) − 1/(x + t)) + 1/((x + t)^2)| ⩽ (2|h|)/(x^3).
    c. En déduire : |(f(x + h) − f(x))/h + ∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/((x + t)^2) dt| ⩽ (2|h|)/(x^3).
  2. En déduire que f est dérivable sur ]0; + ∞[ et que : ∀x ∈ ]0; + ∞[, f^′(x) = − ∫_0^(+ ∞)(e^(− t))/((x + t)^2) dt.
  3. Montrer, pour tout x ∈ ]0; + ∞[ et tout (ε, A) ∈ ]0; 1] × [1; + ∞[ :
∫_ε^A(e^(− t))/((x + t)^2) dt = − (e^(− A))/(x + A) + (e^(− ε))/(x + ε) − ∫_ε^A(e^(− t))/(x + t) dt
  1. En déduire : ∀x ∈ ]0; + ∞[, f^′(x) = − 1/x + f(x).
  2. Montrer que f est de classe C^2 sur ]0; + ∞[ et que : ∀x ∈ ]0; + ∞[, f^(′′)(x) = 1/(x^2) + f^′(x).

B - Intervention d'une fonction auxiliaire g

On note g : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout x ∈ ]0; + ∞[ par : g(x) = e^(− x)f(x).
10. Démontrer que g est dérivable sur ]0; + ∞[ et que : ∀x ∈ ]0; + ∞[, g^′(x) = − (e^(− x))/x.
11. Montrer que, pour tout x ∈ ]0; + ∞[, l'intégrale ∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/u du converge et que :
∀x ∈ ]0; + ∞[, g(x) = ∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/u du
puis : ∀x ∈ ]0; + ∞[, f(x) = e^x∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/u du.
12. Montrer : ∫_x^(+ ∞)(e^(− u))/u du ∼ _(x → + ∞)(e^(− x))/x.
13. Quelle est la nature de la série ∑_(n ⩾ 1)n^2∫_n^(+ ∞)(e^(− u))/u du ?

Partie III : Étude d'une densité

On note h : ℝ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout t ∈ ℝ, par : h(t) = {1/(f(1))(e^(− t))/(1 + t), si t ⩾ 0,; 0, si t < 0.
14. Montrer que h est une densité.
15. Soit X une variable aléatoire réelle admettant h pour densité. Montrer que X admet une espérance et calculer E(X) à l'aide de f(1).

PROBLÈME 2

Dans tout le problème, n est un entier tel que n ⩾ 2.
On note M_n(ℝ) l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n et M_(n, 1)(ℝ) l'ensemble des matrices réelles à une colonne et n lignes, nommées « matrices colonnes » dans la suite du problème.
Si A ∈ M_n(ℝ), alors ^t A désigne la matrice transposée de A.
Si V ∈ M_(n, 1)(ℝ), alors ^t V désigne la matrice transposée de V.
Si A ∈ M_n(ℝ) et si (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, alors le coefficient de la ligne numéro i et de la colonne numéro j de A est noté a_(i, j), la matrice A est notée A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n).
Si V = (v_1; ⋮; v_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ), alors la matrice colonne V est notée V = (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n).
Si A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ), alors pour tout j ∈ [ [1; n] ], on note C_j(A) la matrice colonne de M_(n, 1)(ℝ) constituée des coefficients de la colonne numéro j de A. Ainsi : C_j(A) = (a_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n).

Partie I: Un exemple

Soient U_0 = (1; 2; 3; 4), V_0 = (1; − 1; 2; − 1) et A_0 = U_0^t V_0.
  1. Vérifier que 0 est valeur propre de A_0 et déterminer une base du sous-espace propre associé.
  2. a. Calculer A_0 U_0.
    b. Montrer que A_0 est diagonalisable dans M_4(ℝ).
    c. Déterminer une matrice diagonale D de M_4(ℝ) et une matrice inversible P de M_4(ℝ) telles que A_0 = PDP^(− 1).

Partie II : Trace d'une matrice carrée

Pour toute matrice carrée A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ), on appelle trace de A et on note Tr(A) la somme des coefficients diagonaux de A, c'est à dire Tr(A) = ∑_(i = 1)^n a_(i, i).
3. Montrer que l'application Tr : M_n(ℝ) ⟶ ℝ, A ⟼ Tr(A), est linéaire.
4. Montrer : ∀(A, B) ∈ M_n(ℝ)^2, Tr(AB) = Tr(BA).
5. Vérifier : ∀A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) ∈ M_n(ℝ), Tr(^t AA) = ∑_(i = 1)^n∑_(j = 1)^n a_(j, i)^2.

Partie III : Une caractérisation des matrices de rang 1

  1. Soient U = (u_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) et V = (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) deux matrices colonnes non nulles de M_(n, 1)(ℝ).
    a. Justifier : U^t V ∈ M_n(ℝ). Déterminer les coefficients de U^t V l'aide des coefficients de U et de V.
    b. Exprimer Tr(U^t V) à l'aide des coefficients de U et de V.
    c. Quel est le rang de U^t V ?
  2. Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice de rang 1 .
    a. Montrer qu'il existe j_0 ∈ [ [1; n] ] tel que, pour tout j ∈ [ [1; n] ], il existe α_j ∈ ℝ vérifiant :
C_j(A) = α_j C_(j_0)(A)
b. En déduire qu'il existe deux matrices colonnes non nulles U et V de M_(n, 1)(ℝ) telles que A = U^t V.
8. Énoncer une caractérisation des matrices de M_n(ℝ) de rang 1.

Partie IV : Une application en probabilités

On considère deux variables aléatoires X et Y définies sur le même espace probabilisé ( Ω, A, P ).
On suppose de plus : X(Ω) = Y(Ω) = [ [1; n] ].
On note, pour tout (i, j) ∈ [ [1; n] ]^2, m_(i, j) = P((X = i) ∩ (Y = j)), puis
M = (m_(i, j))_(i, j) ∈ M_n(ℝ), U_X = (P(X = i))_(1 ⩽ i ⩽ n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) et U_Y = (P(Y = i))_(1 ⩽ i ⩽ n) ∈ M_(n, 1)(ℝ).
9. On suppose, dans cette question, que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
Calculer U_X^t U_Y. En déduire que la matrice M est de rang 1 .
10. On suppose, dans cette question, que la matrice M est de rang 1.
a. Montrer : C_1(M) + ⋯ + C_n(M) = U_X.
b. En déduire que, pour tout j ∈ [ [1; n] ], il existe β_j ∈ ℝ tel que C_j(M) = β_j U_X.
c. Montrer : ∀j ∈ [ [1; n] ], P(Y = j) = β_j.
d. En déduire que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

Partie V : Une caractérisation des matrices de rang 1 diagonalisables

Soit A ∈ M_n(ℝ) une matrice de rang 1 . On note U et V deux matrices colonnes non nulles de M_(n, 1)(ℝ) telles que A = U^t V et on note a = Tr(A).
11. Montrer que 0 est valeur propre de A et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
12. Montrer : ^t VU = (a), puis : A^2 = aA.
13. Montrer que si a = 0, alors A n'est pas diagonalisable dans M_n(ℝ).
14. On suppose a ≠ 0. Calculer AU. Déduire des questions précédentes que A est diagonalisable.
15. Énoncer une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de M_n(ℝ) de rang 1 soit diagonalisable.

Partie VI : Construction d'un produit scalaire et d'un endomorphisme symétrique

  1. Montrer que l'application : (M, N) ↦ ⟨M, N⟩ = Tr(^t MN) est un produit scalaire sur M_n(ℝ).
On munit dorénavant M_n(ℝ) de ce produit scalaire.
On considère une matrice colonne V = (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) telle que ∑_(j = 1)^n v_j^2 = 1. On note S = V^t V.
17. Montrer que S est une matrice symétrique de M_n(ℝ) et que S^2 = S.
18. a. Montrer que l'application Φ : M ⟼ SM est un endomorphisme symétrique de M_n(ℝ).
b. Vérifier Φ^2 = Φ. Que peut-on dire des valeurs propres de Φ ?
c. On note e l'application identité de M_n(ℝ). Montrer que les sous-espaces vectoriels Ker(Φ) et Ker(Φ − e) sont supplémentaires orthogonaux dans M_n(ℝ).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies Emlyon ECS 2013 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies Emlyon ECS 2013 ?

Il porte sur les intégrales impropres à paramètre et les variables à densité dans le premier problème, et sur la trace, le rang des matrices et la réduction des endomorphismes dans le second.

Les deux problèmes sont-ils liés ?

Non, le problème 1 sur la fonction f et le problème 2 sur les matrices de rang 1 sont entièrement indépendants.

Quel est le lien entre matrices de rang 1 et probabilités dans le problème 2 ?

La partie IV montre qu'une matrice de covariance jointe M de deux variables X et Y est de rang 1 si et seulement si X et Y sont indépendantes.

Quelles notions d'algèbre bilinéaire apparaissent en fin de sujet ?

La dernière partie construit un produit scalaire sur l'espace des matrices carrées à partir de la trace, puis un endomorphisme symétrique de projection orthogonale.

Pas de description pour le moment