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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2013Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2013

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Présentation du sujet

Un opérateur intégral construit à partir de la fonction arctan et l'étude de ses valeurs propres
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Le problème commence par redéfinir la fonction arctan comme une intégrale et par établir ses propriétés usuelles. Il étudie ensuite un opérateur Φ qui, à une fonction continue bornée f, associe une intégrale à paramètre faisant intervenir arctan. Un exemple explicite permet de retrouver la somme des inverses des carrés des entiers impairs, avant que la dernière partie n'étudie les valeurs propres de Φ.

  1. 1Partie I : construction de la fonction arctanDéfinir arctan par une intégrale et établir ses propriétés : imparité, dérivée, limite en l'infini, caractère 1-lipschitzien, relation entre arctan(x) et arctan(1/x).
  2. 2Partie II : premières propriétés de Φ(f) et de ΦMontrer que Φ(f) est bien définie, bornée et continue pour f continue bornée, et que Φ est un endomorphisme continu de cet espace.
  3. 3Partie III : étude d'un exempleÉtudier la fonction g image par Φ de la fonction constante 1, calculer sa dérivée puis une expression explicite de g, et en déduire la somme des inverses des carrés des entiers impairs puis celle des inverses des carrés des entiers.
  4. 4Partie IV : retour à l'étude de ΦMajorer la norme d'opérateur de Φ, construire par une série une solution de l'équation (id − λΦ)(φ) = f, et en déduire une propriété des valeurs propres de Φ.

Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2013.

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Code épreuve : 281
CONCOURS D'ADMISSION DE 2013

Concepteur : ESSEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES

Vendredi 10 mai de 14 h à 18 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le problème comporte quatre parties.
On pose : E_0 = {f ∈ C^0(ℝ, ℝ), bornée sur ℝ}; si f ∈ E_0, on notera N_0(f) = sup_(x ∈ ℝ)|f(x)|.

Partie I - Construction de la fonction arctan.

On définit, sous réserve d'existence, la fonction arctan : x ∈ ℝ ↦ ∫_0^x(dt)/(1 + t^2).
  1. Vérifier que la fonction arctan est bien définie sur ℝ, impaire, de classe C^∞ sur ℝ et préciser une expression de d/(dx)(arctan).
  2. Montrer que arctan admet une limite finie, notée provisoirement L, en + ∞ et justifier que arctan est une bijection de ℝ sur ] − L, L[.
  3. Pour tout x ∈ ] − π/2, π/2[, calculer arctan[tan(x)], en déduire la valeur de L.
  4. Justifier que, pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, |arctanx − arctany| ≤ |x − y|.
  5. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ_+^∗, arctanx + arctan1/x = π/2.
Si f ∈ E_0, on définit, sous réserve d'existence, Φ(f) : x ∈ ℝ ↦ ∫_0^(+ ∞)arctan(tx)(f(t))/(1 + t^2)dt.
L'objectif du problème est d'obtenir quelques propriétés de Φ(f) et de Φ.

Partie II - Premières propriétés de Φ(f) et de Φ.

  1. Vérifier que E_0 est un sous-espace vectoriel de C^0(ℝ, ℝ).
  2. Soit f ∈ E_0, montrer que, pour tout x ∈ ℝ, ∫_0^(+ ∞)arctan(tx)(f(t))/(1 + t^2)dt est absolument convergente.
  3. Soit f ∈ E_0, montrer que Φ(f) est bornée et N_0[Φ(f)] ≤ (π^2)/4N_0(f).
  4. Continuité de Φ(f) pour f ∈ E_0.
Dans cette question, f désigne un élément de E_0 et x un réel.
a- Soit A un réel strictement positif et h ∈ ℝ^∗, vérifier que :
|[Φ(f)](x + h) − [Φ(f)](x)| ≤ N_0(f)(∫_0^A(|arctan(t(x + h)) − arctan(tx)|)/(1 + t^2)dt + ∫_A^(+ ∞)(|arctan(t(x + h)) − arctan(tx)|)/(1 + t^2)dt)
b- En déduire que, pour tout h ∈ ℝ^∗, pour tout A > 0,
|[Φ(f)](x + h) − [Φ(f)](x)| ≤ N_0(f)(|h|∫_0^A t/(1 + t^2)dt + π∫_A^(+ ∞)(dt)/(1 + t^2))
c- Soit h ∈ ℝ^∗, en choisissant A = 1/(|h|), établir que :
|[Φ(f)](x + h) − [Φ(f)](x)| ≤ |h|(N_0(f))/2ln(1 + 1/(h^2)) + πN_0(f)arctan|h|.
d- Montrer alors que Φ(f) est continue sur ℝ.
e- En déduire que Φ : f ∈ E_0 ↦ Φ(f) est un endomorphisme de E_0.

Partie III - Etude d'un exemple.

Dans cette partie, on s'intéresse à l'application g : ℝ → ℝ, x ↦ g(x) = ∫_0^(+ ∞)(arctan(tx))/(1 + t^2)dt.
g est l'image par Φ de l'application constante égale à 1 : x ∈ ℝ ↦ 1.
10) Vérifier que g est impaire.
11) Dérivabilité de g sur ]0, + ∞[. Soit x un réel strictement positif.
a- Vérifier que, pour tout u ∈ ℝ, |arctan(u)| ≤ 1/(1 + u^2).
b- Soit a et b deux réels distincts et I le segment d'extrémités a et b. Montrer que :
|arctanb − arctana − (b − a)/(1 + a^2)| ≤ ((b − a)^2)/2max_(u ∈ I)(1/(1 + u^2))
c- Soit h ∈ ] − x/2, x/2[ et t un réel positif, établir :
|arctan[t(x + h)] − arctan(tx) − (th)/(1 + t^2 x^2)| ≤ (t^2 h^2)/21/(1 + (t^2 x^2)/4)
d- Montrer alors que, pour tout h ∈ ] − x/2, x/2[,
|g(x + h) − g(x) − h∫_0^(+ ∞)t/((1 + t^2 x^2))1/((1 + t^2))dt| ≤ 2h^2∫_0^(+ ∞)(t^2)/((4 + t^2 x^2))1/((1 + t^2))dt
e- En déduire que g est dérivable sur ]0, + ∞[ et justifier que, pour tout x > 0,
g^′(x) = ∫_0^(+ ∞)t/((1 + t^2 x^2))1/((1 + t^2))dt
f- g est-elle dérivable sur ] − ∞, 0[ ? Si oui, que vaut g^′(x) pour x < 0 ?
12) Calcul de g^′(x) pour x > 0.
a- Déterminer g^′(1).
b- Pour tout x ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, + ∞[, chercher des expressions A(x) et B(x), indépendantes de t, telles que, pour tout t ∈ ℝ, t/((1 + t^2 x^2)(1 + t^2)) = A(x)t/(1 + t^2 x^2) + B(x)t/(1 + t^2).
c- En déduire que, pour tout x ∈ ]0, 1[ ∪ ]1, + ∞[, g^′(x) = (lnx)/(x^2 − 1).
d- g est-elle de classe C^1 sur ]0, + ∞[ ?
13) Une nouvelle expression de g(x) pour x > 0.
a- Justifier, pour tout x > 0, la convergence de l'intégrale ∫_0^x(lnt)/(t^2 − 1)dt.
b- Montrer que, pour tout x > 0, que ∫_0^(+ ∞)(arctan(tx))/(1 + t^2)dt = ∫_0^x(lnt)/(t^2 − 1)dt.
14) Etude de la limite de g en + ∞.
a- Démontrer que, pour tout x > 0, g(x) = (π^2)/4 − ∫_0^(+ ∞)arctan(1/(tx))1/(1 + t^2)dt.
b- Ecrire, pour tout x > 0,
∫_0^(+ ∞)arctan(1/(tx))1/(1 + t^2)dt = ∫_0^(1/(√x))arctan(1/(tx))1/(1 + t^2)dt + ∫_(1/(√x))^(+ ∞)arctan(1/(tx))1/(1 + t^2)dt et montrer; alors que : |∫_0^(+ ∞)arctan(1/(tx))1/(1 + t^2)dt| ≤ π/21/(√x) + 1/x∫_(1/(√x))^(+ ∞)1/t1/(1 + t^2)dt ≤ π/(√x)
c- Déterminer alors lim_(x → + ∞)g(x).
15) Application au calcul de ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/((2n + 1)^2).
a- Montrer que ∫_0^(+ ∞)(lnt)/(1 − t^2)dt converge et calculer sa valeur à l'aide des questions précédentes.
b- Vérifier que ∫_0^(+ ∞)(lnt)/(1 − t^2)dt = 2∫_0^1(lnt)/(1 − t^2)dt.
c- Soit n ∈ ℕ, démontrer que ∫_0^1(lnt)/(1 − t^2)dt = ∑_(k = 0)^n∫_0^1 t^(2k)lntdt + ∫_0^1(lnt)/(1 − t^2)t^(2n + 2)dt (on justifiera l'existence des intégrales introduites).
d- Pour tout n ∈ ℕ, calculer ∫_0^1 t^(2n)lntdt.
e- Montrer que lim_(n → + ∞)∫_0^1(lnt)/(1 − t^2)t^(2n + 2)dt = 0.
f- Donner alors la valeur de ∑_(n = 0)^(+ ∞)1/((2n + 1)^2). En déduire celle de ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^2).

Partie IV - Retour à l'étude de Φ.

  1. Montrer que sup_(f ∈ E_0{0})(N_0[Φ(f)])/(N_0(f)) = (π^2)/4.
Dans toute la suite du problème, on considère :
  • λ ∈ ℝ tel que |λ| < 4/(π^2), on pourra poser γ = (π^2)/4|λ|.
  • pour tout n ∈ ℕ, Φ^n = Φ ∘ ⋯ ∘ Φ_()_(n fois), autrement dit Φ^0 = id_(E_0) et, pour tout n ∈ ℕ, Φ^(n + 1) = Φ ∘ Φ^n.
  • f ∈ E_0∖{0}, on posera M = N_0(f).
  • pour tout n ∈ ℕ, φ_n = λ^n Φ^n(f).
  1. Vérifier que, pour tout n ∈ ℕ, φ_(n + 1) = λΦ(φ_n) et N_0(φ_(n + 1)) ≤ γN_0(φ_n).
  2. Peut-on avoir λΦ(f) = f ? Que peut-on alors dire de id_(E_0) − λΦ ?
  3. Démontrer que, pour tout n ∈ ℕ, N_0(φ_n) ≤ γ^n M et que la série ∑_(n ≥ 0)N_0(φ_n) converge.
  4. Montrer alors que, pour tout x ∈ ℝ, la série ∑_(n ≥ 0)φ_n(x) converge.
On note alors φ : x ∈ ℝ ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)φ_n(x).
21) Montrer que φ est bornée sur ℝ.
22) Continuité de φ.
a- Vérifier que, pour tout n ∈ ℕ, pour tout x ∈ ℝ, pour tout h ∈ ℝ^∗,
|φ_(n + 1)(x + h) − φ_(n + 1)(x)| ≤ |λ|N_0(φ_n)[(|h|)/2ln(1 + 1/(h^2)) + πarctan|h|].
b- En déduire que, pour tout x ∈ ℝ, pour tout h ∈ ℝ^∗,
|φ(x + h) − φ(x)| ≤ |λ|(∑_(n = 0)^(+ ∞)N_0(φ_n))[(|h|)/2ln(1 + 1/(h^2)) + πarctan|h|] + |f(x + h) − f(x)|.
c- Justifier que φ est continue sur ℝ.
23) Application aux valeurs spectrales de Φ.
a- Pour tout n ∈ ℕ, calculer (id_(E_0) − λΦ)(∑_(k = 0)^(n + 1)φ_k) et montrer que
lim_(n → + ∞)N_0[(id_(E_0) − λΦ)(∑_(k = 0)^(n + 1)φ_k) − f] = 0
b- Montrer alors que (id_(E_0) − λΦ)(φ) = f. Que peut-on dire de id_(E_0) − λΦ ?
c- Soit μ ∈ ℝ^∗ tel que Φ − μid_(E_0) ne soit pas bijective, montrer que |μ| ≤ (π^2)/4.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies BCE ECS 2013 (ESSEC) ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies BCE ECS 2013 (ESSEC) ?

Le sujet mobilise les intégrales à paramètre (continuité, dérivabilité sous le signe intégral), les intégrales généralisées, les séries numériques et les endomorphismes d'espaces vectoriels normés, autour de la fonction arctan.

Quelles parties de ce sujet ESSEC ECS 2013 sont indépendantes ?

La partie I fournit les notations utilisées dans toute la suite. La partie III peut se traiter en admettant les résultats généraux de la partie II. La partie IV réutilise les résultats des parties II et III.

Que faut-il savoir sur les intégrales à paramètre pour ce sujet ?

Il faut maîtriser les théorèmes de continuité et de dérivabilité d'une fonction définie par une intégrale dépendant d'un paramètre, ainsi que les techniques de majoration pour justifier la convergence des intégrales généralisées introduites.

Quel résultat final obtient-on dans ce sujet ESSEC ECS 2013 ?

Le sujet permet de retrouver, par un calcul explicite de l'opérateur Φ appliqué à la fonction constante 1, la valeur de la somme des inverses des carrés des entiers impairs, puis celle des inverses des carrés de tous les entiers.

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